NIET OPGELOSTE PROBLEMEN VAN DE WISKUNDE. (Er is geen streven naar volledigheid op deze pagina . Ik kom alleen met enkele voorbeelden. Binnenkort komt hier een inhoudsopgave van deze pagina).
________________________________________________________
Hoe werken wiskundigen hedentendage ? Ik ben daarvoor publikaties van wiskunde in tijdschriften gaan bekijken. Deze zijn vaak enkele tientallen bladzijden op A4-formaat , boordevol formules en vooral ook netjes en verzorgd .
Ik ga nu de komende weken een wiskunde-artikel bestuderen , dat in 2007 is gepubliceerd . ( in het Engels ). De titel ervan is : OVER HET SPECTRUM VAN MAGNETISCHE DIRAC-OPERATOREN MET COULOMB-TYPE-PERTUBATIES .--Van de universiteit van Lyon-Frankrijk , van de auteurs Serge Richard en Rafael Tiedra de Aldecoa , tegenwoordig gratis publicatie op internet , op www.sciencedirect.com .(Nou , oktober 2015 , moet ik nog ongeveer 8 pagina,s van de publicatie hier publiceren . Ik hoop er eens de tijd voor te hebben en dan kan ik ook weer verder gaan met de analyse van het artikel)******* Het is een studie naar de (spectraal-)eigenschappen van bepaalde wiskundige operatoren die van toepassing zijn in een reele in de elektrotechniek voortkomende situaties met een puntdeeltje en bepaalde magnetische velden .-----De inhoud samengevat : We behandelen de spectraal-analyse van singulaire matrix waardige pertubaties van 3-dimensionale Dirac-operatoren met variabel magnetisch veld met constante richting .Onder passende omstandigheden voor het magnetisch veld en voor de perturbaties , verkrijgen we een begrenzend absorptie-principe , we bewijzen de afwezigheid van singulair continu spectrum in bepaalde intervallen en stellen eigenschappen van het punt-spectrum vast . Constante zowel als periodieke en divergerende magnetische velden worden gedekt ,en Coulomb-potentialen naar aanleiding van de fysieke nucleaire lading Z kleiner dan 137 zijn toegestaan . Het belang van een "interval"-type operator (een 2-dimensionale Dirac-operator) is ook betrokken in onze studie . De bewijzen steunen op commutator-methoden .-------------------------------------------Wat is een Dirac-operator ? Van internet (googelen) heb ik gevonden :dat een Dirac-operator in de wiskunde en in de kwantummechanica een zogenaamde differentiaal-operator is die ""een formele wortel van een tweede-orde operator zoals een Laplaciaan is ."" Laat in het algemeen D een eerste-orde differentiaal-operator zijn , die werkt op een vectorbundel V over een Riemannvarieteit M . Als D-kwadraat = DELTA , waar DELTA de Laplaciaan van V is , wordt D een Dirac-operator genoemd . Wat is een differentiaal-operator ? Een functie van de afgeleide operator . Voorbeeld d/dx in d/dx f = df/dx is een differentiaaloperator . Wat is een Laplaciaan ? Voor een scalaire functie f is DELTA-f = de som van i=1 tot n van de tweede partiele afgeleide van f naar x-i . N.B. : In de kwantummechanica stelt de Laplace-operator de kinetische energie voor in de Schrodinger-vergelijking .--zie ook hierover de subpagina kwantummechanica van de pagina onderwerpen natuurkunde .---------------Wat is perturbatie ? Op google kom ik niet verder dan de taalkundige betekenis : ontstemdheid , ontsteltenis , onrust en vooral ook verstoring . In de natuur en de techniek heb je bepaalde situaties waar de kwantummechanica van toepassing is . iets kan dan zowel perturbated als collapsed . Collapsed zou de kwantummechanische gebeurtenis zijn , waarbij het systeem van een verstoorde , beter aangeslagen toestand , terugkeert naar de oorspronkelijke toestand . Het is vast ook iets uit de elektriciteitsleer met deeltjes en een magnetisch veld , waar de wiskunde van deze publicatie van toepassing is . Uit de discrete waarden van de eventuele eigenwaarden van het bij bovenstaane eigenwaarden-probleem ( het spectrum van een operator , het onderzoek ernaar , de zogenaamde spectraalanalyse ) kun je , omdat die eigenwaarden ermee samenhange , de zogenaamde discrete , discontinu , eindig aantal verscillende kwantumtoestanden van het elektrotechische systeem bepalen .........De publicatie bestaat uit 4 paragrafen . In paragraaf 1 wordt onder andere al een stelling gegeven en bewezen . In de publicatie staat in het begin onder andere : dat we een relativistische spin-1/2 -deeltje beschouwen in R-3 in de aanwezigheid van een variabel magnetisch veld met constante richting . Met de Maxwell vergelijkingen , mogen we aannemen , zonder verlies van algemeenheid , dat het magnetische veld van de vorm is : B(x-1 , x-2 , x-3) = ( 0 , 0 , B (x-1 . x-2)) . Volgens de theorie is het niet-perturbated systeem in de Hilbertruimte L-2(R-3 ,C-4) beschreven met de Dirac-operator ( zie boven ) H-0 := alfa-1*pi-1 + alfa-2*pi-2 + alfa-3*P-3 + beta*m , waar beta = alfa-0 , alfa-1 , alfa-2 , alfa-3 de gebruikelijke Dirac-Pauli -matrices zijn , m is de strikt positieve massa van het deeltje en pi-j := mini*delta-j - alfa-j de generatoren zijn van de magnetische translaties met een vectorpotentiaal a(x-1 , x-2 , x-3) = (a-1(x-1 , x-2 ) , a-2(x-1 , x-2) , 0) dat voldoet B = delta-1*a-2 - delta-2*a-1 . Daar a-3 = 0 schrijven we P-3 := -i*delta-3 in plaats van pi-3 .--Op internet heb ik gevonden dat kwantumveld-theorie in de theoretische natuurkunde een theoretisch raamwerk is om kwantummechanische modellen van subatomaire deeltjes in deeltjesfysica te construeren en kwasideeltjes in "condensed matter" fysica . Een kwantumveld-theorie behandeld deeltjes als "opgewonden status" van een onderliggend veld , dus deze heten veld-kwanta . De Dirac-bispinor in de vlakke golf oplossing omega = w-p *e-tot-de-macht -i*p*x van de vrije Dirac-vergelijking (i*eta-tot-de-macht mu *delta-mu - m )omega = 0 . Een relativistische spin-1/2 veld heeft met de relativiteitstheorie te meken en ieder elementair deeltje heeft een spin , zie hiervoor ook de subpagina snaartheorie van de pagina onderwerpen natuurkunde . Pauli-matrices zijn een aantal matrices van een bepaald type en het zou kunnen zijn , wordt nader onderzocht , dat deze standaard-matrices hier gebruikt worden als de alfa's en beta , als onderdeel van de Hilbertoperator H-0 die we in het vervolg gaan bestuderen . Met deze matrices wordt dan in feite de pi-i vermenigvuldigd , en ook de massa van het deeltje in het probleem van de publicatie en het staat er dat depi-i voor het magnetisch veld staan dus H-0 lijkt te zijn een operator gedefinieerd als een bewerking op de vermelde natuurkundige eigenschappen ( de kracht van het magnetisch veld en de massa -niet de lading - van het deeltje ).---De publicatie gaat verder : We gaan nou de stabiliteit van bepaalde gedeelten van het Spectrum van H-0 onder een matrix-waardige perturbatie V bestuderen . Als V aan de natuurlijke hypothesen hierbeneden voldoet ( die Coulomb-singulariteiten toestaan ) , en als H is de passend gedefinieerde zelfadjuncte operator horende bij de formele som H-0 + V is , dan bewijzen we een begrenzend absorptie-principe en stellen we eigenschappen van het puntspectrum van H vast , in intervallen van R corresponderende met "gaten" in het gesymmetreerde spectrum van de operator H-0 := sigma-1*pi-1 + sigma-2*pi-2 + sigma-3*m in L-2(R-2 : C-2) . De matrices sigma-j zijn de Pauli-matrices (zie boven ) en het gesymmetreerde spectrum sigma-0-sym van H-0 is de vereniging van de spectra van H-0 en -H-0 . Wij houden aan dat onze analyse geen beperking vereist van het gedrag van het megnetisch veld in oneindig . Niettemin hangt het doel van ons werk af van een zekere eigenschap van de internal-type operator H-0 : namelijk de afmeting en het aantal van gaten in sigma-0-sym . Bijvoorbeeld in het speciale maar belangeijke geval van een niet-nul constant magnetisch veld B-0 , sigma-0-sym is gelijk aan {+/- de wortel uit (2*n*B-0 + m-kwadraat) | n = 0 , 1 , 2 , .......} , welke inhoudt dat er genoeg gaten zijn waar onze analyse resultaat geeft . (.............) Om onze resultaten precies vast te stellen , introduceren we enkele notaties : B-h(C-4) staat voor de verzameling van 4 bij 4 Hermitische matrices en ||.|| betekent de norm van de Hilbertruimte H := L-2(R-3 : C-4) , als ook de norm van B(H) , de verzameling van begrensde lineaire operatoren op H .---------P-3 wordt beschouwd als een operator in H of in L-2(R) , afhankelijk van de context . N := {0 , 1 , 2 ,....} is de verzameling van de natuurlijke getallen . v is een willekeurige C-oneindig ([0 , oneindig))-functie zodat v = 0 dichtbij 0 en v = 1 dichtbij oneindig . Q-j is de vermenigvuldig operator bij de coordinaat x-j in H , en Q := (Q-1 , Q-2 , Q-3 ) . De notatie a.e staat voor "bijna overal" , en wijst naar de Lebesgue maat (zie funktionaalanalyse op de pagina onderwerpen wiskunde) , en de uitdrukking (.) correspondeert met de-wortel-uit (1+ (.)-kwadraat) . We schrijven D(S) voor het domein van een zelfadjuncte operator (of een vorm) S . Tenslotte , gaat het begrenzende ABSORPTIE-PRINCIPE voor H uitgedrukt worden in termen van de Banachruimte K := (D(<Q-3>),H)-1/2-1 gedefinieerd door reele interpolatie . Voor passendheid , herhalen we dat de gewogen ruimte H-S := D(<Q-3>-S) in K vervat is voor iedere s>1/2 .--Wat is absorptie principe hier ? Wellicht is dit natuurkundig dat eventuele elektromagnetische straling naar aanleiding van een bepaalde perturbatie door een deeltje geabsorbeerd wordt dat is verdwenen gaat worden in het bestaande , heersende , magnetische veld . Zie hierover de literatuur, over theoretische fysica in verband met kwantumvekden met name . Wat is de fysische betekenis van de operatoren H en aanverwanten en wat leiden we af als natuurkundige interpretatie , na ohet onderzoek van het spectrum van deze operatoren H en aanverwanten ? hierbeneden komt meer hierover .------------------De PERTURBATIE V ( is verstoring , zie boven ook) , splijt in twee delen : een regulaire matrixwaardige functie en een singulairwaardige functie met compacte "support" . De volgende DEFINITIES betreffen het afgelopen deel : Laat V een vermenigvuldig-operator zijn , geassocieerd met een element van L-oneindig(R-3 ; B-h(C-4)) , (a) V is klein in oneindigheid als lim r naar oneindig||v(|Q|/r)V| = 0 , (b) V is kort.van-bereik als de integraal van 1 naar oneindig van dr||v(|Q-3|(r)V|| kleiner dan oneindig , (c) Neem aan dat V continu differentieerbaar is met betrekking tot x-3 , en dat de afbeelding x naar <x-3|(delta-3V)(x) hoort tot L-oneindig(R-3;B-h(C-4)) , dan is V lang-van-bereik als de integraal van 1 naar oneindig van dr/r||v(|Q-3|(r)<Q-3>(sigma-3V)|| kleiner dan oneindig .........--In het vervolg beschouwen we een magnetisch veld B behorende tot L-oneindig-loc(R-2 ;R) en kiezen we altijd een vectorpotentiaal a = (a-1 , a-2 , 0) in L-oneindig-loc(R-2 ; R-3)--------WE KUNNEN NU HET HOOFDRESULTAAT GEVEN . STELLING 1.2 . Neem aan , dat B hoort tot L-oneindig-loc(R-2 ; R) en dat V(x) hoort tot B-h(C-4) voor a.e. KSI behorend tot R-3 . Veronderstel dat er bestaat een KSI behorend tot C-oneindig-0(R-3 ;R) , een eindige verzameling RO behorend tot R-3 , en een positief getal v < 1 zo dat : (i) V-reg := (1-KSI)V behoort tot L-oneindig(R-3 ;B-h(C-4)) , is klein met oneindig en kan geschreven worden als de som van een korte-bereik en een lang-bereik POTEWNTIAAL . (ii) V-sing := KSI-V kan geschreven worden als desom van twee matrix-waardige BOREL-functies V-loc be\sigma-0-sym . n de som van -a behoort tot RO-v/|x-a| voor alle x behorend tot R-3 . Dan bestaat er een unieke zelfadjuncte operator H in H , formeel gelijk aan H-0 + V , met domein D(H) behorend tot H-1/2-loc(R-3 ;C-4) , zo dat (a) sigma-ess(H) = sigma(H-0) N.B. sigma-ess is hier het essentiele spectrum (b) het punt-spectrum van de operator H in R\sigma-0-sym bestaat uit eigenwaarden van eindige multipliciteit en zonder accumulatiepunt in R\sigma-0-sym . (c) de operator H heeft geen singulair continu spectrum in R\sigma-0-sym . (d) de limieten lim-epsilon-gaat-naar-0(omega,(H-lambda-minus-plusi*epsilon)-1omega) bestaan voor iedere omega behorend tot K , uniform in lambda op iedere compacte deelverzameling van R\{sigma-0-symVsigma-pp(H)} .--------Zoals gebruikelijk , leidt het BEGRENZENDE ABSORPTIE PRINCIPE (wat is dit ; ik heb het opgezocht op internet-googelen) verkregen in (d) tot H-gladde operatoren , welke voor passende korte-bereik perturbaties het bestaan inhouden van lokale golf-operatoren . Het bewijs van de stelling (1.2) komt in stappen in de volgende 3 paragrafen van de publicatie .-------Wat is begrenzende absorptie principe ? Het is een methode waarmee je wiskundige vergelijkingen kunt oplossen , bijvoorbeeld vergelijkingen met een Dirac-operator.-Tot zover hoofdsuk 1 ( van de 4).-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nou een beschrijving van de opzet van deze publicatie . In hoofdstuk 2 bestuderen we de operator H-0 en construeren we een passende operator conjugated tot H-0 . De Mourre schatting aan het eind van hoofdstuk 2.2 . In hoofdstuk 3 worden reguliere perturbaties geintroduceerd en hun eigenschappen met betrekking tot de conjugate operator worden verkregen . Een versie van stelling 1.2 (zie boven) voor reguliere perturbaties wordt bewezen in stelling 3.3 . In hoofdstuk 4 wordt het singuliere deel van de potentiaal toegevoegd en een beschrijving van de zelfadjuncte operator H-0 + V wordt gegeven in propositie 4.3 . Het laatste deel van hoofdstuk 4 is gewijd aan het bewijs van ons hoofdresultaat (stelling 1.2 -zie boven ) in het algemeen .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hoofdsuk 2 . ---------Laten we beginnen met enkele reeds bekende resultaten . Daar a hoort tot L-loc-oneindig(R-2 ; R-3) , volgt uit resultaten in vorige publicaties dat H-0 essentieel zelfadjunct is op D := C-0-oneindig (R-3 ;C-4) , met D(H-0) behorend tot H-loc-1/2 (R-3 ;C-4) ( de lokale zogenaamde Sobolevruimte-wat dit precies is zal ik opzoeken met google- met orde 1/2 van functies op R-3 met waarden in C-4) . Meer ook is het SPECTRUM van H-0 symmetrisch met respect tot 0 en bevat niet het interval (-m , m) ....................We introduceren nou een passende representatie van de Hilbert-ruimte H . We beschouwen de partiele Fouriertransformatie F : D is de integraal-overR-de som van d.eteaH-12 ,met (FW)(eta) := (1/de-wortel-uit2*pi)*de-integraal-overR van dx-3*e-tot-de-macht -i*eta*x-3 *W(. , x-3) , waar H-12 = L-2( R-2 ; C-4) .N.B. wat is e-tot-de-macht een imaginair getal , een veelvoud van i? Waarschijnlijk is het een modernere notatie dan een sinus dan wel cosinusterm van een Fourierreeks . Ik zal het in een studie boek opzoeken ; net zo als : wat is e-tot-de-macht een matrix ? vervolg : Deze afbeelding breidt uniek uit naar een unitaire operator van H op de integraal-overR de som van deta*H-12 , welke wij noteren met hetzelfde symbool F . Men krijgt dan de volgende directe integraal-decompositie van H-0 : FH-0F- -1 = de integraal -overR de som van detaH-0(eta) ,waar H-0(eta) de zelfadjuncte operator in H-12 is , die zich gedraagt als alfa-1*PI-1 + alfa-2*PI-2 + alfa-3*eta + beta*m op C-0-oneindig (R-2 ; C-4) .N.B. Kijk in hoofdstuk 1 hierboven na , dat dit het effect is van het magnetische veld B . In de volgende OPMERKING schetsen we het verband tussen de operatoren H-0 , H-0(0) en de internal-type operator H-0 . OPMERKING 2.1 . De operator H-0(0) werkend op C-0-oneindig (R-2;C-4) is unitair equivalent met de directe som (m PI-) plus (m PI+) PI+ -m PI- -m , werkend op C-0-oneindig (R-2;C-2) plus (R-2 ;C-2) , waar PI := PI-1 +/- i*PI-2 .N.B. waarom worden hier , in verband met magnetisch veld B complexe getallen geintroduceerd. Welnu , zo werkt de kwantumveldentheorie (zie boven en op de subpagina kwantummechanica van de pagina onderwerpen natuurkunde ) . Deze twee matrix-operators werken in L-2( R-2 ;C-2 ) en zijn essentieel zelfadjunct op C-0-oneindig (R-2 ;C-2) . (uit een eerdere publicatie) . De eerste is gelijk aan H-0 , terwijl de tweede unitair equivalent is met -H-0 . Daarom is H-0(0) essentieel zelfadjunct op C-0-oneindig( R-2 ;C-4 ) , en H-0(eta) = H-0(0) + alfa-3*eta voor iedere eta behorend tot R . Omdat alfa-3*H-0(0) + H-0(0)*alfa = 0 volgt dat H-0(eta)-kwadraat = H-0(0)-kwadraat + eta-kwadraat , en sigma[H-0(eta)-kwadraat] = sigma[H-0(0)-kwadraat + eta-kwadraat] = (sigma-0-sym)-kwadraat + eta-kwadraat . N.B. sigma staat voor het spectrum van de operator ...Aldus hebben we de identiteit H-0-kwadraat = H-0(0)-kwadraat plus 1 + 1 plus P-3-kwadraat met betrekking tot de TENSORISCHE dcompensatie (wat is een TENSOR ? op google opzoeken :.....) L-2(R-2 ; C-4) plus L-2(R) van H . In het bijzonder is het spectrum van H-0-kwadraat zuiver absoluut continu en gelijk aan het interval [ mu-0-kwadraat , oneindig ) , waar mu-0 := inf|sigma-sym-0| groter of gelijk m . Daar het spectrum van H-0 symmetrisch is , met betrekking tot 0 , volgt dat sigma (H-0) = (-oneindig , -mu-0] vereniging [mu-0 , +oneindig) .--------------------------------------------------We bepalen nu drie technische LEMMA'S , die voortdurend in het volgende gebruikt worden . Bewijzen in de APPENDIX A . --LEMMA 2.2 . (a) voor iedere n behorend tot N , H-0--nD en |H-0|--nD zijn inclusief in D(Q-3) , (b) P-3|H-0|--1 is een begrensde zelfadjuncte operator gelijk aan |H-0|--1P-3 op D(P-3) . In het bijzonder , is |H-0|--1H inclusief in D(P-3) . ---LEMMA 2.3 . Laat g zijn in C-1(R) met g' begrensd , en laat n behorend tot N . Dan is D(Q-3) inclusief in D[g(Q-3)] , en de volgende gelijkheid geldt op H-0-nD : H-0--1g(Q-3) - g(Q-3)H-0--1 = i*H-0--1*alfa-3*g'(Q-3)H-0--1 . De laatste uitdrukking heeft tot gevolg dat de commutator van H-0--1 en g(Q-3) , gedefinieerd op de core D van g(Q-3) , uniek uitbreidt naar een begrensde operator .------------------Gegeven twee benaderende functies f en g , zullen we enkele eigenschappen van de commutator [f(P-3) , g(Q-3)] weer geven , in de gewogen ruimte H-s optredend , s behorende tot R . We gebruiken de notatie f voor de Fourier-transformatie van f en S-m(R) voor de vectorruimte van symbolen met graad m op R .---------LEMMA 2.4 .Laat s groter of gelijk 0 en g behorend tot S'(R) . Veronderstel dat f behoort tot BC-oneindig(R) zo is dat x naar <x>-sf'(x) hoort tot L-1(R) . Dan laat f(P-3) D(Q-3) invariant , en de operator f(P-3)*g(Q-3) - g(Q-3)f(P-3) gedefinieerd op D(Q-3) breidt uniek uit naar een operator in B(H) , die genoteerd wordt door [f(P-3) , g(Q-3)] . Verder beperkt deze operator tot een element van B(H-s) .------Bekijk nou goed wat voor eigenschappen met bovenstaade 3 lemma's precies bewezen zijn .-----------------PARAGRAAF 2.2 .Strikte Mourre schatting voor de vrije Hamiltoniaan . We verzamelen nu enkele resultaten over de regulariteit van H-0 met betrekking tot een conjugate operator . Deze operator wordt geconstrueerd met een functie F die aan de volgende hypothese voldoet . AANNAME 2.5 . F is een niet-afnemende element van C-oneindig (R ; R) met F(x) = 0 voor x kleiner-of-gelijk 0 en F (x) = 1 voor x groter-of-gelijk 1 . ----Een nuttige eigenschap van zo'n functie is dat F-(k) behoort tot de Schwarz-ruimte (wat is dat ?) op R , voor iedere k groter of gelijk 0 . In het vervolg nemen we altijd aan dat F een functie is die aanname 2.5 voldoet . In het bijzonder volgt dat de formele uitdrukking A:= 1/2*[Q-3F(P-3) + F(P-3)Q-3] leidt tot een goed-gedefinieerde symmetrische operator op D . ..LEMMA 2 . 6 . De operator A is essentieel zelfadjunct op D , en zijn sluiting is essentieel zelfadjunct op iedere core voor (Q-3) . Bewijs .De stelling is een consequentie van Nelsons criterium van essentiele zelf-adjunctheid , toegepast op het trio {(Q-3) , A , D } . Dus gaan we eenvoudigweg de twee hypothesen van die stelling na . Met gebruik van Lemma 2 . 4 krijgen we eerst dat voor alle W behorend tot D : ||AW|| = ||(F(P-3)Q-3 - 1/2*[F(P-3) , Q-3])W|| kleiner of gelijk C||(Q-3) W|| , voor een bepaalde constante C>0 onafhankelijk van W . Verder hebben we voor alle W behorend tot D : <AW , <Q-3>W> - <<Q-3>W , AW> = 1/2*{<Q-3W , [F(P-3) , <Q-3>]W> - <[F(P-3) , <Q-3>W , Q-3W>} . Daar [F(P-3) , <Q-3> ] behoort tot B(H-1/2) , krijg je makkelijk de schatting |<AW , <Q-3>W> - <<Q-3>W , AW>| kleiner of gelijk D||<Q-3>1/2W||-kwadraat voor alle w behorend tot D en een constante D > 0 onafhankelijk van W .---------------Vanaf nou zetten we G := D(H-0) en we schrijven G* voor de adjuncte ruimte van G . We hebben de continue dicht-in inbeddingen G naar H naar G* , waar H geidentificeerd wordt met zijn adjunct door het Riesz -isomorfisme . In het vervolg gebruiken we voortdurend het feit dat de begrensde operatoren H-0--1 en F(P-3) commuteren . ----PROPOSITIE 2.7 . (a) De kwadratische vorm D(A) hier behoort tot W naar <H-0--1W , i*AW> - <AW , i*H-0--1W> breidt uniek uit naar de begrensde vorm gedefinieerd door de operator -H-0--1*alfa-3F(P-3)H-0--1 behoort tot B(H) . (b) De groep {e-tot de macht-i*t*A} t behorend tot R laat G invariant . (c) De kwadratische vorm D(A) die behoort tot W met <H-0--1alfa-3F(P-3)H-0--1W , i*AW> - <AW , i*H-0--1alfa-3(P-3)H-0--1W> , breidt uniek uit tot een begrensde vorm op H . Bewijs . van(a) Voor iedere W behorend tot D krijgen we 2*[<H-0--1W , i*AW> - <AW , i*H-0--1W>] = <i*[H-0--1 , Q-3]W , F(P-3)W> + <F(P-3)W , i*[H-0--1 , Q-3]W> = -2*<W , H-0--1alfa-3F(P-3)H-0--1W> , met gebruik van Lemma 2.3 . Daar D een core is voor A , volgt de stelling door dichtheid . We zullen schrijven i*[H-0--1 , A] voor de begrensde uitbreiding van de kwadratische vorm D(A) daar behoort tot W met <H-0--1W , i*AW> - <AW , i*H-0--1W> .(2.5) . bewijs van (b) Laat i[H-0 , A] de operator in B( G , G*) zijn , geassocieerd met de unieke uitbreiding naar G van de kwadratische vorm W met <H-0W , iAW> - <AW , iH-0W> gedefinieerd voor alle W behorend tot G verenigd met D(A) . Dan is G invariant onder {e tot-de-macht i*t*A } t behorend tot R als H-0 van de klasse C'(A) is en als i[H-0 , A]G behoort tot H . Uit vergelijking (2.5) en een eerdere publicatie , verkrijgt men de volgende gelijkheden geldig in hun vorm op H : -H-0--1alfa-3F(P-3)H-0--1 = i*[H-0--1 , A] = -H-0--1i*[H-0 , A]H-0--1 . Aldus i*[H-0 , A] en alfa-3F(P-3) zijn gelijk als operatoren in B(G , G*) . Maar omdat de laatste G toepast in H , i[H-0 , A]G is inbegrepen in H. Bewijs van (c) . De begrensdheid op D van de kwadratische vorm (2.4) volgt uit het inplaatsen van (2.3) in de rechterhand-zijde van (2.4) , door herhaaldelijk toepassen van Lemma 2.3 met g (Q-3) -Q-3 , en door rekening te houden met Lemma 2.4 . Dan komen we tot de conclusie door de dichtheid van D in D(A) te gebruiken .----------Het is ook nuttig aan te tonen dat |H-0| van de klasse C'(A) is . LEMMA 2.8 . De kwadratische vorm D(A) daartoe behoort W met <|H-0|--1W , i*AW> - <AW , i|H-0|--1W> breidt uniek uit naar de begrensde vorm gedefinieerd door -|H-0|--1F(P-3)|H-0|--1 behoort tot B(H) . Bewijs .Een directe berekening die de transformatie (2.1) en Lemma 2.2 gebruikt geeft voor iedere W behorend tot D i*[|H-0|--1 , Q-3]W = -P-3|H-0|--3W . Aldus hebben we de gelijkheden 2*(<|H-0|--1W , i*AW> - <AW , i|H-0|--1W>) = <i[|H-0|--1 , Q-3]W , F(P-3)W> + <F(P-3)W , i[|H-0|--1 , Q-3]W> = -2|W ,|H-0|--1F(P-3)P-3|H-0|--2W> . Daar D een core is voor A , volgt de stelling door dichtheid .--------------Ten gevolge van Lemma 2.8 en een publicatie is de operator i[|H-0| , A] geassocieerd met de unieke uitbreiding van de kwadratische vorm G vereniging met D(A) daartoe behoort W met <|H-0|W , i*AW> -<AW , i|H-0|W> is gelijk aan F(P-3)P-3|H-0|--1 behoort tot b(H) . Van nu af aan schrijven we eenvoudig R voor deze operator en T voor de operator alfa-3F(P-3) == i[H-0 , A] behorend tot B(H) .---------In de volgende definitie introduceren we twee functies gegeven de optimale waarde naar de Mourre-type ongelijkheid .-------------DEFINITIE 2.9 . Laat H een zelfadjuncte operator zijn in een Hilbertruimte H en neem aan dat S een symmetrische operator is in B(D(H) , D(H)*) . Laat E-H(lambda , epsilon) := E-H((lambda-epsilon , lambda + epsilon)) de spectrale projectie zijn van H voor het interval (lambda-epsilon , lambda + epsilon ) . Dan voor alle lambda behorend tot R en epsilon groter dan 0 zetten we ro-H-S(lambda , epsilon) : = sup {a behorend tot R)E-H (lambda, epsilon)SE-H(lambda , epsilon) groter of gelijk a*E-H(lambda , epsilon) , ro-H-S(lambda) := sup epsilon groter dan 0 ro-H-S(lambda , epsilon). Laten we drie observaties maken : de ongelijkheid ro-H-S(lambda , epsilon') kleiner of gelijk ro-H-S(lambda , epsilon) geldt wanneer epsilon' groter of gelijk epsilon , ro-H-S (lambda) = +oneindig als lambda niet behoort tot het spectrum van H , en ro-H-S(lambda) groter of gelijk voor alle lambda behorend tot R als S groter of gelijk 0 . We melden ook dat in het geval van twee zelfadjuncte operators H en a in H , met H van klasse C'(A) en S = i*[H , A ] , de functie ro-H-S(.) is gelijk aan de functie ro-H-A(.) gedefinieerd in een eerdere publicatie .--------------LEMMA 2.10 Voor lambda > 0 en epsilon behoort tot (0 , lambda) , hebben we ro-H-T(lambda , epsilon) = ro-H-0-R(lambda , epsilon) . Dergelijk voor lambda < 0 en epsilon(0 , |lambda|) , heeft men ro-H-0--T(lambda ; epsilon) = ro-H-0-R (lambda ; epsilon) . Bewijs We geven het bewijs voor de eerste gelijkheid , de tweede kan op dezelfde manier verkregen worden . Laat FI behorend tot C-0-oneindig (R , R) met supp(FI) behoort tot (0 , oneindig) , en laat W behoort tot D(A) . Dan FI(H-0) behoort tot C'(A) , dan FI(H-0)W behoort tot G doorsnede D(A) . Aldus met gebruik van de spectraal-stelling krijgen we <W , FI(H-0)TFI(H-0)W> = = = Daar D(A) dicht is in H , geldt de identiteit <W , FI(H-0)TFI(H-0)W> = <W , FI(H-0)RFI(H-0)W> zelfs voor iedere W behorend tot H . Nou voor lambda groter dan 0 en epsilon(0 , lambda) vastgelegd , mogen we kiezen n behoort tot C-0-oneindig (R,R) met supp(n) behoort tot (0 , oneindig) voldoend aan n(x) = 1 voor alle x behoort tot [lambda-epsilon , lambda+epsilon] . Dan E-H-0(lambda ;epsilon)TE-H-0(lambda;epsilon) = E-H-0(lambda ; epsilon)n(H-0)Tn(H-0)E-H-0(lambda ; epsilon) = E-H-0(lambda ; epsilon)n(H-0)Rn(H-0)E-H-0(lambda ,; epsilon) = E-H-0(lambda ;epsilon)RE-H-0(lambda ; epsilon) , en het bewijs is volledig . Ga dit bewijs stap voor stap na ; ga nahoe de verschillende operatoren en variabelen in deze Lemma zijn gedefinieerd -in het voorafgaande en ga na welke spectraalstelling is toegepast en wat precies be4doeld is met in Definitie 2.9 dat de E de spectrale projectie van H is en wat de definities van de ro de FI en de W zijn .------------------De operator FRF--1 is te ontbinden , meer precies : fRF--1 = de integraald-etaR(eta) met R(eta) = F(eta)eta|H-0(eta)|--1 behorend tot B(H-12) . Gebruik makend hiervan en van de directe integraal decompensatie van H-0 , krijgen we voor iedere lambda behorend tot R en epsilon groter dan 0 de formule ro-H-0-R(lambda ; epsilon) = ess inf eta behoort tot R ro-H-0(eta)-R(eta)(lambda ; epsilon ) . Nu kunnen we een benedengrens voor ro-H-0-T(.) afleiden . PROPOSITIE 2.11 . Voor lambda groter of gelijk 0 hebben we ro-H-0-T(lambda) groter of gelijk inf {F(wortel(lambda-kwadraat - mu-kwadraat)wortel(lambda-kwadraat - mu-kwadraat)/lambda | mu behoort tot sigma-sym-0 doorsnede [0 , lambda] } met de conventie dat het minimum over een lege verzameling is +oneindig . Bewijs . (i) Herhaal van opmerking 2.1 dat mu-0 = inf|sigma-sym-0| = inf{sigma(H-0) doorsnede [0 , +oneindig)} . Aldus voor lambda behoort tot [0 , mu-0) is de linkerkant-zijde van (2.7) gelijk aan +oneindig , daar lambda niet tot het spectrum van H-0 behoort . Dan is aan (2.7) duidelijk voldaan op [0 , mu-0) . (ii) Als lambda behoort tot sigma-sym-0 , is de rechterhand -zijde term van (2.7) gelijk aan 0 . Echter , door Lemma 2.10 en de positiefheid van R , hebben we ro-H-0-T (lambda) groter of gelijk 0 . Daarom is weer aan de relatie (2.7) voldaan . (iii) Laat 0 < epsilon < mu-0 < lambda . Directe berekeningen die de expliciete vorm van R(eta) gebruiken en de spectraalstelling voor de operator H-0(eta) laten zien dat voor vastliggende eta , we hebben ro-H-0(eta)-R(eta)(lambda ; eta) = inf{F(eta)eta/|ro| | ro behoort tot 8lambda - epsilon , lambda + epsilon) doorsnede sigma[H-0(eta)]} groter of gelijk F(eta)eta/(lambda + epsilon) . (2.8) . Anderszins hebben we ro-H-0(eta)-R(eta)(lambda ; epsilon) = +oneindig als (lambda - epsilon , lambda + epsilon) doorsnede sigma[H-0(eta)-kwadraat] = lege verzameling . Aldus , rekening houdend met de vergelijkingen (2.6) en (2.8) , en de voorafgaande observatie (2.2) , verkrijgen we dat ro-H-0-R(lambda ; epsilon) groter of gelijk ess inf {F(eta)eta/(lambda + eta) behorend tot ((lambda - epsilon)-kwadraat , (lambda + epsilon)-kwadraat) - (sigma-sym-0)-kwadraat} . (2.9) . Veronderstel nu dat lambda behoort niet tot sigma-sym-0 , definieer mu : = sup {sigma-sym-0 doorsnede [ 0, lambda]} en kies epsilon > 0 zo dat mu < lambda - epsilon . Dan impliceert de gelijkheid (2.9) dat ro-H-0-R(lambda ; epsilon) groter of gelijk F(wortel((lambda - epsilon)-kwadraat -mu-kwadraat ) wortel((lambda - epsilon)-kwadraat - mu-kwadraat)/(lambda + epsilon) . Daar ro-H-0-T(lambda ; epsilon) = ro-H-0-R(lambda ; epsilon) , volgt de relatie (2.7) uit de bovenstaande formule wanneer epsilon van boven gaat naar 0 .------------OPMERKING 2.12 . Gebruikmakend van de conjugate operator -A in plaats van A , en aldus handelend met -T in plaats van T , kunnen we laten zien , zoals in propositie 2.11 , dat -A strikt conjugate is tot H-0(-oneindig , 0]\sigma-sym-0 ; preciezer , we hebben voor iedere lambda kleiner of gelijk 0 ro-H-0--T(lambda) groter of gelijk inf { F(wortel(lambda-kwadraat - mu-kwadraat)wortel(lambda-kwadraat - mu-kwadraat)/|lambda| | mu behoort tot sigma-sym-0 doorsnede [0 , |lambda|]} , met de conventie dat het maximum over een lege verzameling is +oneindig . In de rest van deze publicatie zullen we voor eenvoudigheid ons meestal concentreren op het positieve deel van het spectrum van H-0 , en geven we een paar aanwijzingen voor de triviale toepassingen voor het negatieve deel van het spectrum .---------------------------------HOOFDSTUK 3 . De begrensde perturbatiecorollary , . In hoofdstuk 3 staan 1 lemma , 1 propositie en 1 stelling met hun bewijs . In hoofdstuk 3 beschouwen we de operator H := H-0 + W met een potentiaal W die behoort tot L-oneindig(R-3 ; B-h(C-4)) . De operator H is zelfadjunct en zijn domein is gelijk aan het domein G == D(H-0) van H-0 . We geven eerst een resultaat over het verschil van de resolvents ( H-z )--1 - (H-0 - z )--1 en , als een corollary , krijgen we de lokalisatie van het essentiele spectrum van H . Voor dat doel herhalen we dat een zelfadjuncte operator S in H lokaal compact heet als n(Q)(S+i)--1 een compacte operator is voor iedere n behorend tot C-0(R-3) . LEMMA 3.1 . Neem aan dat W klein is op oneindig . Dan is voor alle z behorend tot C \ {sigma (H) vereniging met sigma(H-0)} het verschil (H - z)--1 - (H-0 - z)--1 een compacte operator . In het bijzonder sigma-ess (H) = sigma-ess(H-0) . Bewijs . Daar W begrensd is en klein op oneindig , is het voldoende na te gaan dat H-0 lokaal compact is . Echter , zoals al genoemd in paragraaf 2.1 heeft men G behoort tot H-loc-1/2 . Daarom volgt het resultaat met gebruikelijke argumenten .------------Om een begrenzend absorptie principe voor H te verkrijgen zullen we enkele abstracte resultaten bereiken . PROPOSITIE 3 .2 . Laat W de som zijn van een kort-bereik en een groot-bereik potentiaal . Dan H = H-0 + W is van de klasse C-1,1(A) (zie eerdere publicatie) . Bewijs .Daar {e tot-de-macht i*t*A} t behoort tot R D(H) == G invariant laat , is het equivalent te bewijzen dat H behoort tot C-1,1 (A ; G , G*) . (zie eerdere publicatie) . Maar in propositie 2.7(c) is het al laten zien dat H-0 van de klasse C-2(A) is , zo dat H-0 behoort tot C-1,1(A ; G , G*) . Aldus is het voldoende te bewijzen dat W behoort tot C-1,1 (A ; G , G*) , wat direct zo is als W behoort tot C-1,1(A) . In het korte-bereik geval zullen we een eerdere publicatie gebruiken , voor het koppel H en <Q-3> . De niet-triviale voorwaarden nodig voor die stelling worden verkregen in punt (i) , hierna . In het lange-bereik geval , volgt de claim ook uit een eerdere publicatie , die toegepast kan worden vanwege punt (ii) , hierna ....(i) Aan de eerste voorwaarde wordt triviaal voldaan daar {e tot-de-macht i*t*<Q-3>} een unitaire C-0 -groep is in H . Voor de tweede voorwaarde moeten we nagaan dat <Q-3>--2A-2 gedefinieerd op D(A-2) uitbreidt naar een operator in B(H) . Na enkele commutator berekeningen uitgevoerd op D , verkrijgen we dat <Q-3>--1A en <Q-3>--2A respectievelijk gelijk zijn op D naar sommige operatoren S-1 en S-2<Q-3>--1 in B(H) , waar S-1 en S-2 lineaire combinaties zijn van produkten van operatoren f(P-3) , g(G-3) en [h(P-3) , <Q-3>] met f , g , h behorend tot BC-oneindig(R , R) en h#-dakje behorend tot L-1(R) . Daar D een core is voor A , gelden deze gelijkheden zelfs op D(A-2) : <Q-3>--2A--2 = (<Q-3>--2A)A = S-2<Q-3>--1A = S-2S-1 . Consequent is <Q-3>--2A--2 gelijk op D(A--2) aan een operator in B(H) . De bewering volgt dan door dichtheidi . (ii) In lemma 2.6 is bewezen dat de inclusie D(<Q-3> behoort tot D(A) geldt . Verder is aan de ongelijkheid r||(<Q-3> + i*r)--1|| <= const voor alle r>0 triviaal voldaan . Aldus is overgebleven dat we moeten bewijzen dat de commutator i[W,A] , gedefinieerd als een kwadratische vorm op D(A) , met W een lang-bereik potentiaal , begrensd is en aan de schatting de integraal van 1 tot oneindig van dr/r||v(<Q-3>/r)[W , A]|| kleiner dan oneindig voldoet voor een willekeurige functie v behoort tot C-oneindig([ 0,oneindig)) met v = 0 nabij 0 en v = 1 nabij oneindig . Echter zo'n schatting kan verkregen worden met het bewijs in een eerdere publikatie en door rekening mee te houden met de bijzondere eigenschappen van F . ------------------STELLING 3.3 . Neem aan dat B tot L-loc-oneindig (R-2 ; R) behoort , en dat W behoort tot L-oneindig (R-3 ; B-h(C-4)) , klein is op oneindig en geschreven kan worden als de som van een kort-bereik en een lang-bereik potentiaal . Dan gelden de onderdelen (a) - (d) van stelling 1.2 voor H = H-0 + W . Bewijs . Statement (a) is al in Lemma 3.1 bewezen . Propositie 3.2 heeft tot gevolg dat zowel H-0 en H van de klasse C-1,1(A) zijn . Verder is het verschil (H + i)-tot-de-macht--1 - (H-0 + i)-tot-de-macht--1 compact volgens Lemma 3.1 , en ro-T-H-0 > 0 op [0 , oneindig)\sigma-0-sym volgens propositie 2.11 . Dientengevolge is A strikt conjugate naar H op [0 , oneindig)\{sigma-0-sym vereniging sigma-pp(H)} volgens een eerdere publicatie . Soortgelijke argumenten rekening houdend met opmerking 2.12 laten zien dat A strikt conjugate is naar H op (-oneindig , 0]\{sigma-sym vereniging sigma-pp(H)} . De vaststellingen (b) en (c) volgen dan door de abstracte conjugate operator methode (zie een eerdere publicatie) .------Het begrensde absorptie principe direct verkregen (zie een eerdere publicatie) wordt uitgedrukt in termen van de interpolatie-ruimte ( D(A) , H)-1/2,1 , en van zijn adjunct . Daar beide geen standaard-ruimten zijn , mag men een eerdere publicatie gebruiken om te laten zien dat K behoort tot ( D(A) , H)-1/2,1 en om vaststelling (d) te verkrijgen . De enige niet-triviale hypothese die men moet nagaan is de inclusie D(<Q-3>) behoort tot D(A) , wat al in Lemma 2.6 is laten zien .********* Merk op dat deze resultaten tot gevolg hebben dat H een spectraal ""gat"" heeft . We zijn nu zover dat we een singulair deel aan de verstoring (perturbation) W toevoegen . HOOFDSTUK 4 (laatste hoofdstuk) Lokale singulaire verstoringen (perturbations) ......In hoofdsuk 4 2 Lemma's met hun bewijzen en 1 propositie met zijn bewijs . En dan het bewijs van het belangrijkste resultaat van deze publicatie : stelling 1.2 . Verder nog een opmerking en ineen appendix het bewijs van Lemma 2.2 , 2.3 en 2.4 . . ********In dit hoofdstuk gaat het over perturbations ("verstoringen") die lokaal singulair zijn . Een bijzondere aandacht is er voor Coulomb-type interacties . Deze benadering is diep , geinspireerd door een eerdere publicatie . In een Lemma hierin , laten de auteurs zien dat als H en H-- twee zelfadjuncte operatoren i9n H zijn , die overeenstemmen in een omgeving van oneindigheid en als een van hen een zekere regulairheid eigenschap heeft met respect tot de operator Q , dat dan het verschil van hun resolvents short-range is (zie boven) in de gebruikelijke betekenis . Dit resultaat is het "sleutel"-ingredient voor wat volgt .--------Laten we eerst enkele notaties herhalen . Als V behorend tot R-3 een open verzameling is , dan is H-V gedefinieerd als de restrictie van de zelfadjuncte operator H naar de deelverzameling D(H-V) := {W behoort tot D(H)|supp(W) behoort tot A} . We schrijven H-V behoort tot H-- als voor ieder W behoort tot D(H-V) je W behoort tot D(H) en --W = HW hebt . Het volgende Lemma is een toepassing van het abstracte resultaat , boven genoemd , dat zaken in eerdere publicaties , in overweging neemt ...................LEMMA 4.1 . Laat H als in stelling 3.3 en laat H-- een zelfadjuncte operator in H zijn zo dat H-V behorend tot H-- voor een omgeving V behorend tot R-3 van oneindigheid . Dan voor iedere z behorend tot C\{sigma(H) vereniging sigma(H--)} en voor iedere v behorend tot C-oneindig([0,oneindig )) met v = 0 nabij 0 en v = 1 nabij oneindig : er is de integraal van 1 naar oneindig dr ||v(|Q|/r)*[(H-- - z)--1 - (H-z)--1]|| < oneindig . BEWIJS .Daar de vaststelling een toepoassing is van een bevinding uit een eerdere publicatie , hebben we alleen zijn niet-triviale veronderstellingen , namelijk (i) teta(Q)D(H) behoort tot D(H) voor alle teta behoort tot C-oneindig-0(R-3) na te gaan , en (ii) voor alle teta behoort tot C-oneindig-0(R-3\{0} heb je de integraal van 1 naar oneindig dr{||[teta[Q/r) , H]||-kwadraat-D(H) --> H +||[teta(Q/r) , [teta(Q/r) , H]]||D(H) -->H } < oneindig . Voorwaarde (i) volgt uit de identiteit teta(Q)(H+i)--1 = (H+i)--1*teta(Q) -i(H+i)alpha(LAPteta)(Q)(H+i)--1 , geldig op H (het bewijs van deze relatie is gelijk aan dat van Lemma 2.3 , maar eenvoudiger omdat teta een begrensde functie is ). Voor (ii) merken we op dat [teta(Q(r) , H--] = ir--1*alpha*(LAPteta(Q/r) en dat [teta(Q/r)*[teta(Q/r) , H]] = 0 . Daar ||alpha*(LAPteta)(Q/r)|| uniform begrensd is in r en daar r--> r--1 tot L-2([1,oneindig) , dr) behoort , heeft men weldra het bewijs voltooid .------------Als we het laatste lemma beschouwen , kunnen we bewijzen dat H en H-- verschillende gelijke eigenschappen hebben .--PROPOSITIE 4.3.................................BEWIJS . Met de bedoeling om publicatie 4 , stelling 1.2 , toe te passen , gaan we de eerste twee hypothesen van die stelling na . De eerste is te laten zien dat voor iedere pi behorend tot C-oneindig-0 (R-3 , [0,1]) , je pi (Q)(-alpha.a+V) behorend tot B(H-1/2 , H--1/2) hebt . Gelukkig is het bekend dat pi(Q)V-c H-m-begrensd is met relatieve grens 0 en dat pi(Q)V-c H-m-begrensd is met relatieve grens 2*v . Meer is dat V-reg tot beta(H) behoort en dat de vector potentiaal a in L-oneindig-loc (R-2,R-3) is . Aldus is duidelijk aan de hypothese pi(Q)(-alpha.a+V) behoort tot beta (H-1/2, H--1/2) voldaan. Hieruit volgt dat H-m + pi(Q)(-alpha.a+V) gedefinieerd kan worden als een operator som in beta(H-1/2,H--1/2) . De tweede hypothese vereist dat voor iedere pi behoort tot C-oneindig-0(R-3, [0,1]) de operator H-pi := H-m + pi(Q)(-alpha.a+V) gedefinieerd op D-pi := {phi behoort tot H-1/2|[H-m + pi(Q)(-alpha.a+V)]-phi behoort tot H} een zelfadjuncte operator is . Nou volgt die bewering uit het hoofdresultaat uit de eerdere publicaties : onder onze aannames op V , bestaat er een unieke zelfadjuncte operator H-pi zo dat D(H-pi) behoort tot H-1/2 en {H-pi phi , eta} = h H-m (phi , eta)+ h-pi(Q)(-alpha.a+V) (pi, eta) , eta behoort tot H-1/2 . Omdat H-pi dezelfde eigenschappen heeft , is H-pi gelijk aan H---pi door uniekheid en de tweede hypothese is aldus voldaan ....................................................................................................................
WE KUNNEN NU TENSLOTTE ONS HOOFD-RESULTAAT BEWIJZEN.---BEWIJS VAN STELLING 1.2. Het is duidelijk dat de operator Hreg =H-0 + V-reg zelfadjunct is en voldoet aan de hypothesen van stelling 3.3 . Laat A behorend tot R-3 een omgeving van oneindigheid zijn , zodat de doorsnede van A met supp (xhi) de lege verzameling is . Dan gebruikmakend van de definities van D[(H-reg)-A] , D(H) en V-reg , krijgen we D[(H-reg)-A] = {phi behoort tot H-1/2-loc| Hmphi + (-alpha.a+Vreg)phi behoort tot H , supp (phi) behoort tot A} = {phi behoort tot H-1/2-loc| H m phi +(-alpha.a+V)phi behoort tot H , supp (phi) behoort tot A} behoort tot { phi behoort tot H-1/2-loc|H m phi + (-alpha.a+V) phi behoort tot H} =D(H). Aldus is de eigenschap (H-reg)-A behoort tot H van toepassing . Verder is de operator H lokaal compact door de inclusie D(H) behoort tot H-1/2-loc (propositie 4.3(a)) Aldus voldoet het koppel (H, H-reg) beide hypothesen van Lemma 4.2 . Dan volgt bewering (a) uit Lemma 3.1 en van de eerste bepaling van Lemma 4.2 . Beweringen (b) en (c) volgen uit de andere bepalingen van Lemma 4.2 en uit de abstracte cojugate operator methode uit eerdere publicaties . Bewering (d) wordt verkregen als in stelling 3.3 .**************---------------------------Er volgen nu nog een APPENDIX , met het bewijs van Lemma 2.2 , het bewijs van Lemma 2.3 , het bewijs van Lemma 2.4) en de referenties.
BEWIJS van Lemma 2.2 (binnenkort)
BEWIJS van Lemma 2.3 (binnenkort)
BEWIJS van Lemma 2.4 (binnenkort).
*******************************************************************-Uit bovenstaande wiskunde-publicatie , naar aanleiding van een probleem uit de kwantummechanica , zal ik iets eruit halen , bijvoorbeeld het bepalen van het spectrum van een specefiek type operators en daar onderzoek naar verrichten. (14 juni 2017)