WEBSITE VAN FRANK BOON

Website op het gebied van Wiskunde, Natuurkunde, Scheikunde, Technische Zaken, Sterrenkunde, planten en dieren, Filosofie en Economie

KWANTUMMECHANICA. (Binnenkort komt hier een inhoudsopgave van deze pagina). MEER OVER KWANTUMMECHANICA OOK OP DE PAGINA ONDERWERPEN NATUURKUNDE VAN DEZE WEBSITE.

Vanaf september 2018 tot voorjaar 2019 zijn er weer de 3 cursussen Kwantummechanica op advanced (gevorderd) niveau, ook van het MIT. Ik zal dan ook zeker weer meer gaan publiceren over kwantummechanica op deze pagina . .(zie hier naar beneden , vanaf item 122). Cursus 1 : Golffuncties, operatoren en verwachtingsvariabelen. Cursus Kwantummechanica in 1-Dimensionale potentialen...Cursus 3 1-Dimensionale "scattering"en centrale potentialen. De 1e cursus geeft een overzicht van de Kwantummechanica, de 2e en 3e cursus geven toepassingen in specefieke situaties----------------Eind april-mei 2017 had ik de cursus kwantummechanica voor iedereen , welke cursus weinig wiskunde bevat en 4 weken duurde . Inmiddels heb ik deze cursus voltooid en ben ik ervoor geslaagd. Helemaal onderaan deze pagina schrijf ik een verslag over de inhoud van deze cursus .**************************( Begin maart 2014 is de publicatie -hier beneden- voltooid van de AFLEIDING van de ( wiskundige ) onzekerheids-relaties van de Kwantummechanica van de Duitse Natuurkundige Werner Heisenberg . Begin april 2014 is de publicatie -ook hier beneden- voltooid van de AFLEIDING van de ( wiskundige ) golf-vergelijkingen van de Kwantummechanica van de Oostenrijkse Natuurkundige Erwin Schrodinger )----Ik heb een begin gemaakt , inmiddels , met een nadere uitleg over de matrixmechanica van Heisenberg en de golfmechanica van Schrodinger. De natuur dobbelt uiteraard wel ,zie item-14 . Vanaf zo 18 april 2015 , zijn er op de pagina onderwerpen wiskunde van deze website , naar beneden enkele nieuwe items met nieuwe beschouwingen over de kwantummechanica gekomen . En zeer binnenkort (omstreeks 13 mei 2015 ) , hoop ik op deze subpagina kwantummechanica van deze website, vooral naar beneden op deze pagina , vanaf item-87 ,88 , 89 , 90 , 91 , 92 , 93 ,94 , 95 tm. 101 weer verder te gaan met publiceren over verschillende wiskundige aspecten van de kwantummechanica -verschillende onderwerpen ervan , nader toegelicht . En binnen enkele maanden , vanaf item-102 een nog nadere uitleg van de Kwantummechanica.
Eerst enkele beschouwingen. De kwantummechanica is in het begin van de vorige eeuw ontstaan, toen de Duitse natuurkundige Max Planck de eigenschappen van zogenaamde zwarte stralers bestudeerde.(meer hierover ook naar beneden). Een zwarte straler is een voorwerp dat zelf geen kleur heeft. Dat wil niet zeggen dat zo'n voorwerp er altijd zwart uitziet. Wanneer we het opwarmen, straalt het licht van elke golflengte uit, in een intensiteit die afhangt van die golflengte, maar verder alleen bepaald wordt door de temperatuur. Een stuk ijzer bijvoorbeeld wordt roodgloeiend als we hem (in een vuur bijvoorbeeld) opwarmen, en hoe warmer dat stuk ijzer wordt hoe meer de kleur ervan wit wordt en bij nog grotere verhitting blauwachtig. Rood licht, zo weten wij, is elektromagnetische straling met een relatief lage frequentie, terwijl geel licht en blauw licht nog meer, een hogere frequentie heeft. In 1900 slaagde Max Planck erin een wiskundige vergelijking op te stellen die de straling van zwarte stralers nauwkeurig beschreef, zowel bij lage frequenties (dus lange golflengtes) als bij hoge frequenties (korte golflengten) . Planck kon deze vergelijking ook uit fundamentele principes afleiden, waarbij hij uit moest gaan van een EXTRA AANNAME, namelijk de aanname dat licht niet in willekeurige hoeveelheden kon voorkomen, maar alleen in "ENERGIE-PAKKETJES" , WAARVAN DE GROOTTE AFHING VAN DE GOLFLENGTE. Zo'n energiepakketje noemde Planck een KWANTUM.****************
#Was het invoeren voor Planck van deze kwantums nog vooral een wiskundige truc die noodzakelijk was om zijn formule af te leiden (zie ook de hoofdpagina onderwerpen natuurkunde hierover) het was eveneens Duitse natuurkundige Albert Einstein die in 1905 postileerde dat de kwanta wel degelijk fysisch waren en dat het het elektromagnetische veld zelf was dat gekwantiseerd was.
Over GOLVEN. Een golf wordt wel gedefinieerd als een verstoring die zich in de ruimte en de tijd voortplant. De manier waarop een golf zich voortplant, bijvoorbeeld de geluidsgolf ontstaan door het slaan op een trommel, is met behulp van natuurkundige formules heel nauwkeurig te beschrijven. WANNEER WE NU BIJVOORBEELD TWEE STENEN OP VERSCHILLENDE PLAATSEN IN HET WATER GOOIEN; ONTSTAAT OP BEIDE PLAATSEN EEN CIRKELVORMIGE GOLF IN HET WATER. DE GOLVEN BEWEGEN NAAR BUITEN TOE EN ZULLEN ELKAAR OP EEN GEGEVEN MOMENT TEGENKOMEN. WAAR DE GOLVEN ELKAAR TETGENKOMEN KUNNEN ZE ELKAAR TEGENWERKEN OF JUIST VERSTERKEN. -----DIT HEET INTERFERENTIE. ------Zoals bekend (zie de hoofdpagina onderwerpen natuurkunde) is licht ook een golfverschijnsel. Lichtgolven zijn een trilling van het elektromagnetische veld. ----------------------Het zogenaamde tweespleten-experiment, met licht voor het eerst uitgevoerd in 1803 door Thomas Young. Neem een stuk dun karton en snijd daarin dicht bij elkaar twee spleten. Schijn vervolgens vanaf de achterkant licht op het karton en nou verschijnt op een scherm, op enige afstand van de voorkant van het karton, een interferentiepatroon, waaruit dus blijkt dat licht inderdaad een golfverschijnsel is. Maar nu. We kunnen ook experimenten doen waaruit blijkt dat licht uit deeltjes bestaat. Voer hiervoor het tweespletenexperiment nu weer uit met het licht met een heel lage intensiteit (zodat het met het blote oog niet eens zichtbaar is), en laat het licht op enige afstand van de voorkant van het karton met de twee spleten, vallen op een stuk fotopapier (of moderner op een geschikte camera) en doe deze proef in een donkere kamer. Als de intensiteit van het licht maar laag genoeg is, krijgen we op de uiteindelijke foto een aantal spikkeltjes, waarmee het er dus op lijkt dat het licht in deeltjes aankomt. Met de kwantummechanica kun je ervan uitgaan, dat licht beide is: zowel deeltjes als een golf. Maar dit kan toch helemaal niet, zou je zeggen op het eerste gezicht, op je intuitie afgaande. Het ONZEKERHEIDS-PRINCIPE VAN DE KWANTUMMECHANICA van de Duitse natuurkundige Werner Heisenberg geeft hierover echter heel goed uitsluitsel. (zie ook de hoofdpagina onderwerpen natuurkunde en later meer hierover).--------Ook met andere deeltjes dan met de fotonen van het (zichtbare) licht kunnen we een tweespeten-experiment doen. Met kleine golflengtes is dit experiment wel veel ingewikkelder en pas in 1961 slaagde Claus Jonsson erin om een tweespleten-experiment met elektronen uit te voeren. Jonsson vond inderdaad het verwachte interferentiepatroon, een bewijs dus dat ook elektronen door golven worden beschreven. Ook voor andere deeltjes, tegenwoordig zelfs voor relatief grote moleculen, waarvan de bijbehorende golflengte dus heel klein is, is het mogelijk en gelukt tweespleten-experimenten te doen.
DE CRUX VAN DE KWANTUMTHEORIE . We kunnen aan elke positie van een deeltje, die beschreven wordt met de kwantummechanica, een bepaalde kans toekennen, dat dat deeltje zich op die positie bevindt en deze kansverdeling hangt af van de plaats en tijd en is dus niets anders dan een GOLF. Bij ieder experiment dat we uitvoeren zijn twee momenten van belang: de beginsituatie die we geconstateerd hebben, en de eindsituatie : de situatie op het moment van meting. Bij het experiment van het afschieten van een elektron met een elektronenkanon bijvoorbeeld is het elektron op die momenten op een duidelijk gedefinieerde plaats, en nemen we het dus als een deeltje waar. Maar tussen die twee momenten in kunnen we, in tegenstelling tot in de klassieke fysica, alleen spreken van een kansverdeling voor de plaats van het elektron. Deze kansverdeling heeft de vorm van een golf. In deze kansverdeling is in feite de wiskundige beschrijving van het betreffende deeltje vervat.-------------------Vraag nu: waarom voldoet de baan van een elektron aan de wetten van de kwantummechanica, maar die van een bal, bijvoorbeeld een tennisbal, aan de wetten van de klassieke mechanica ? Antwoord: ook de baan van een bal echter voldoet aan de wetten van de kwantummechanica. Beter gezegd: de baan van elk elementair deeltje in de bal voldoet aan deze wetten. Voor elk van deze deeltjes is een bepaalde "klassieke" baan het meest waarschijnlijk. De deeltjes die niet of bijna niet de klassieke baan volgen, worden echter door de invloed (wisselwerking) die (en ingeval van een bal is dit een aantal-van-meer-dan-twintig-cijfers deeltjes) de deeltjes van de bal op elkaar uitoefenen door de elektromagnetische krachten ertussen. Het totale macroscopische object (de bal, dus van een grootte-orde van voorwerpen uit ons dagelijkse leven) zal een baan volgen die hoogstens met maar een minuscule kans afwijkt van het klassieke gemiddelde.------We kunnen de klassieke natuurwetten dus beschouwen als een soort GEMIDDELDE VAN DE KWANTUMNATUURWETTEN. Dit verband tussen klassieke en kwantum-natuurkunde wordt ook wel het correspondentie-principe genoemd.****************
Stel nu dat we in het elektromagnetische veld een golf van en bepaalde golflengte willen maken. We weten, dat de kansverdeling die aangeeft waar een FOTON zich kan bevinden golfvormig zijn. (N.B. een foton is de minimale hoeveelheid energie,dat kwantum, waarin een elektromagnetisch verschijnsel zoals zichtbaar licht, kan voorkomen). Het foton is zelf een deeltje en we zullen hiebeneden zien dat voor het creeren van zo'n deeltje een bepaalde minimale hoeveelheid energie nodig is. Het minimale energiepakketje dat Max Planck ontdekte is aldus niets anders dan vervat is met de "golfbeschrijving" van een enkel foton. Voor het maken van een golf die de kansverde4ling van twee fotonen van de gekozen golflengte beschrijft heb je tweemaal de minimale hoeveelheid energie nodig, enzovoorts. De Oostenrijker Erwin Schrodinger ontwikkelde in 1926 de formulering van de kwantummechanica in termen van golven die een kans-verdeling bepalen In datzelfde jaar 1926 beschreven Max Born, Pascual Jordan en Werner Heisenberg voor het eerst het elektromagnetische veld in termen van kwantummechanische golfpakketjes --een beschrijving die in 1927 door Paul Dirac werd verfijnd door ook te beschrijven hoe elektrisch geladen deeltjes in INTERACTIE met dit veld krachten uitwisselen.....Met de (wiskundige) vergelijkingen van Schrodinger ("Schrodingers golven") wordt de KANS OP EEN BEPAALDE TOESTAND van het systeem weergegeven. De grootheid die Schrodingers golven weergeven is niet direct de kans op een bepaalde toestand --die is in het algemeen nul-- maar de KANSDICHTHEID rond die toestand. Het is goed om deze golven te zien als het equivalent van een golf in een gitaarsnaar, die niet in een maar in twee richtingen kan trillen : omhoog en omlaag, en naar links en naar rechts. Om de kans uit de golf af te leiden, moeten we de hoogte van de golf nemen (onafhankelijk van de richting waarin die trilt) en hiervan het kwadraat.
Alles wat Planck en zijn opvolgers over fotonen ontdekten is op ieder deeltje toepasbaar. De plaats van een elektron bijvoorbeeld, is in de kwantummechanica ook niet vast bepaald, maar voldoet TUSSEN TWEE METINGEN IN aan een bepaalde kansverdeling. Een belangrijk verschil tussen het elektron en het foton is dat de golflengte van een elektrongolf nog vele malen kleiner is dan die van een lichtgolf --in de orde van enkele duizendsten van een nanometer (een miljardste meter). Later zullen we zien, dat fotonen en elektronen tot twee heel verschillende klassen van deeltjes behoren: fotonen zijn zogenaamde bosonen en elektronen zijn fermionen.......Dat de golflengte van een elektron zoveel kleiner is dan die van een foton houdt direct verband met de hoeveelheid energie die nodig is om deze deeltjes te creeren. Voor het elektron, dat veel zwaarder is, is deze energie veel groter dan voor een foton.
(binnenkort meer over kwantummechanica)
Omstreeks 1990 is er een wiskundig verband aangetoond tussen de onzekerheidsrelaties van de kwantummechanica van Heisenberg en de kans (golf-)vergelijkingen van de kwantummechanica van Schrodinger . Binnen afzienbare tijd hoop ik daarover op de site , deze pagina , te publiceren.
(Hierbeneden , de komende weken nog meer , met ook de wiskundige onderbouwing en de afleiding ervan , de onzekerheidsrelaties-- het onzekerheidsprincipe van de kwantummechanica van Werner Heisenberg en ook komt binnenkort hierbeneden, met ook de wiskundige onderbouwing en de afleiding ervan, van de kansvergelijkingen van de kwantummechanica van Erwin Schrodinger . Eerst nog " IN KLAD " , met kans op typ-fouten en andere slordigheden/onvolkomenheden en bepaalde dingen zoals nader uitgelegd , nog niet...(voor beide van de kwantummechanica, zie ook : de hoofdpagina onderwerpen natuurkunde van deze website) -en nog meer van de kwantummechanica).------------
*******SCHRODINGERS GOLFVERGELIJKING (1926)..........(Erwin Schrodinger-Oostenrijk (1887-1961)).....( Hier eerst een beschrijving van een (wiskundige) golfvergelijking ; daarna een AFLEIDING van Schrodingers (wiskundige) golfvergelijking )- ............"SCHRODINGERS GOLFVERGELIJKING MAAKTE GEDETAILLEERDE VOORSPELLINGEN OVER HET GEDRAG VAN MATERIE MOGELIJK"......................De golfvergelijking van Schrodinger beschrijft de ultieme realiteit in termen van golffuncties en waarschijnlijkheden. We kunnen er de golffunctie van een deeltje mee berekenen : i*h delta/delta-t W(r , t ) = - h-kwadraat / z*m * §§-kwadraat W( r , t ) + V (r) W( r , t ) . Nu gaan we niet in op de details van deze formules, maar we vermelden dat W( r , t ) de golffunctie is die de waarschijnlijkheid aangeeft dat een deeltje op een gegeven tijdstip een gegeven positie r inneemt. §§-kwadraat wordt gebruikt om te beschrijven hoe W( r , t ) in de ruimte verandert. V ( r ) is de potentiele energie van het deeltje op elke positie r . ....Zoals een gewone GOLFVERGELIJKING de verbreiding van een rimpeling over een vijver beschrijft, zo beschrijft Schrodingers vergelijking hoe een bij een deeltje (bijvoorbeeld een elektron) behorende WAARSCHIJNLIJKHEIDSGOLF door de ruimte reist. De top van de golf bepaalt de meest waarschijnlijke POSITIE van het deeltje.....----------******
HIERBENEDEN IETS OVER HET KWANTUMMECHANISCH FORMALISME......--- :
Iets over het kwantummechanisch formalisme....We bespreken nou enkele basisprincipes van het WISKUNDIGE FORMALISME. We blijven de natuurkundige hoofdlijnen volgen en gaan ook in op wiskundige details ........: -----
DE NATUUR DOBBELT WEL !! Het klassieke Newtoniaanse wereldbeeld is deterministisch . (beneden meer hierover).Een van de uitgangspunten van dit wereldbeeld is dat we , gegeven de plaats en de snelheid van een voorwerp op een bepaald tijdstip , de toekomstige plaats van dat voorwerp kunnen voorspellen indien de krachten op het voorwerp bekend zijn .Onder invloed van de kwantummechanica onderging de klassieke deterministische opvatting van de fysische wereld een radicale verandering .Het enige waartoe de kwantummechanica ons in staat stelt is voor een verzameling punten de kans te berekenen dat bijvoorbeeld een elektron in een bepaald punt wordt waargenomen . DE KWANTUMMECHANICA ZEGT DUS DAT ONVOORSPELBAARHEID INHERENT IS AAN DE NATUUR .Overigens dient men in te zien dat er een verschil bestaat tussen de waarschijnlijkheid die door de kwantummechanica wordt beschreven en het begrip waarschijnlijkheid zoals dat in de negentiende-eeuwse natuurkunde gebruikt werd om themodynamica en het gedrag van gassen te begrijpen in termen van moleculen. In de thermodynamica wordt gebruik gemaakt van kansrekening en van het begrip waarschijnlijkheid omdat het hier om zo veel moleculen gaat , dat we ze onmogelijk afzonderlijk kunnen volgen. Er wordt echter nog steeds van uit gegaan dat de moleculen zich deterministisch bewegen . De waarschijnlijkheid echter die we in de kwantummechanica tegenkomen , is van een heel andewre aard ; hier wordt waarschijnlijkheid gezien als inherent aan de natuur en niet als een beperking van ons vermogen berekeningen te maken . Tegenwoordig wordt de kwantummechanica en het waarschijnlijkheidskarakter van de natuur door de meeste natuurkundigen aanvaard .Deze opvatting wordt -ter ere van de woonplaats van Niels Bohr - de Kopenhaagse INTERPRETATIE van de kwantummechanica genoemd , omdat de theorie voor een groot deel in Kopenhagen werd ontwikkeld , in DISCUSSIES tussen Bohr en andere vooraanstaande natuurkundigen .Overigens is het onzekerheidsprincipe van Heisenberg het gevolg van het golfkarakter van de materie en het deeltjeskarakter van elektromagnetische golven . Ook elders heb ik erover gezegd dat een golf geen vaststaande positie/plaats heeft en een deeltje , dat is materie , heeft geen golflengte en geen frequentie . Welnu ; uit de relaties van de kwantummechanica : E = h*f en p = h/lambda ,en ook uit de onzekerheidsrelaties van Heisenberg , waarin zowel enerzijds golflengte en frequentie ( lambda en f) en anderzijds positie/plaats en impuls (p = m*v is massa maal snelheid) staan , spreekt ook het duale karakter van de materie (is het golf-deeltjes-karakter van de materie) .
WAT IS EEN TOESTAND ? ..SYSTEEM. Allereerst het begrip : "systeem" of "fysisch systeem" . Hiermee bedoelen we eigenlijk niets anders dan het OBJECT dat we willen bestuderen ! En daartoe denken we het dan los van zijn omgeving. Zo'n systeem kan van alles zijn , namelijk al datgene waarvan we het natuurkundig gedrag zouden willen beschrijven . De vraag is eerst : hoe komen we aan eerste kennis over zo'n systeem ? WEL , NATUURLIJK DOOR AAN ONS SYSTEEM WAARNEMINGEN TE DOEN !--Maar dat betekent , dat de kennis die we van een fysisch systeem kunnen hebben , volledig bepaald is door de waarneembare eigenschappen van zo'n systeem .---We gaan nou van het systeem weten, door er waarnemingen aan te doen : Waarneembare grootheden zijn eigenschappen van het systeem, die in een KWANTITATIEVE maat te kunnen uitdrukken. We kunnen zeggen : een fysisch systeem wordt volledig gekenmerkt en beschreven door de waarden van zijn waarneembare grootheden.....**TOESTAND.... We zeggen nu : de WAARDEN die de waarneembare grootheden van een bepaald systeem op een zeker MOMENT aannemen, bepalen te zamen de TOESTAND van het systeem. Je zou kunnen zeggen , de toestand van een systeem is zoiets als een momentopname . Dat betekent dan dat , als we maar de TOESTAND van een systeem IN DE TIJD ZOUDEN KUNNEN VOLGEN door als het ware een continue tijdopname te maken , we ook alles van ons systeem zouden kunnen afweten wat er maar van te weten valt ; en daar gaat het om in de Natuurkunde !!!...---
OVER TOESTANDSFUNCTIES EN HUN BETEKENIS... Hoe kom je aan die kennis van de toestand van een systeem en hier met name van een kwantummechanisch systeem ?....Hoe kun je daaraan rekenen ? Zijn daar regels voor ?..Op grond van het voorafgaande , ook , is het zo dat het begrip TOESTAND in de Kwantummechanica een zeer centrale rol speelt .....Welnu de kwantummechanica is gebaseerd op die axioma's . op drie axioma's . (axioma's zijn in feite niet-bewezen stellingen, eigenlijk eigenschappen, die ten grondslag liggen aan bijvoorbeeld de planimetrie (vlakke meetkunde), de gewone algebra en hier dus de kwantummechanica. Zie hierover ook : de pagina : onderwerpen wiskunde).****************
Axioma-I van de kwantummechanica :******* Met elke toestand van een kwantummechanisch systeem correspondeert een bepaalde functie W , die toestandsfunctie wordt genoemd .***********.....Deze toestandsfunctie ( of GOLFFUNCTIE , zoals die meestal genoemd wordt ) van een kwantummechanisch systeem wordt vaak golffunctie genoemd, en er zal dan wel de waarden van waarneembare grootheden door kunnen worden berekend. En daarmee kennen we dan immers het systeem !..............Hoe werkt dat ? Stel nou bijvoorbeeld dat we als systeem een deeltje beschouwen dat zich eenvoudigheidshalve alleen in een dimensie, de x-richting, kan bewegen. Dan zegt axioma-I dus dat we aan dit deeltje steeds een toestandsfunctie W( x , t ) kunnen toekennen die op een of andere manier het gedrag van het deeltje moet kunnen beschrijven . De betekenis van deze GOLF wordt nu vastgelegd door een tweede axioma : *************
Axioma-II :***************** Als op het ogenblik t een meting wordt gedaan om de plaats van een deeltje dat correspondeert met de toestandsfunctie W( x , t ) te bepalen, dan wordt de waarschijnlijkheid P (x,t)dx om het deeltje ten tijde t tussen x en x + dx aan te treffen, gegeven door : P ( x, t )dx = absolute-waarde-van ( W( x, t ) )-kwadraat dx . -***************-----------------Dit is een geweldig belangrijke en fundamentele regel. Dit tweede axioma zegt immers, omdat de toestandsfunctie alle kennis geeft, die we van een systeem kunnen hebben (zie boven) , dat deze kennis altijd VAN STATISTISCHE AARD zal zijn .*****Hiermede wordt dus de experimentele uitkomst van ons gedachten-experiment met de twee spleten, tot fundamenteel uitgangspunt van de theorie gemaakt.********Door deze WAARSCHIJNLIJKHEIDS-INTERPRETATIE VAN DE TOESTANDSFUNCTIE zullen we in kwantummechanica alleen uitspraken kunnen doen omtrent de WAARSCHIJNLIJKHEID VAN HET GEDRAG VAN SYSTEMEN...En meer hoeft ook niet , omdat we immers EXPERIMENTEEL OOK ALLEEN WAARSCHIJNLIJKHEDEN KUNNEN METEN ..We zien uit dit tweede axioma dat het kwadraat van de toestandsfunctie, absolute-waarde-van (W( x , t) )-kwadraat , moet overeenkomen met een meetbare waarschijnlijkheid P ( x, t ) en niet de toestandsfunctie zelf. Deze functie zelf heeft dus kennelijk geen directe fysische interpretatie . Dit kan ook niet , want in de praktijk blijken deze functies in het algemeen complexe functies te zijn , dat wil zeggen functies met complexe getallen als functiewaarden . En een complex getal kan nooit overeenkomen met iets uit de reele werkelijkheid . Maar het KWADRAAT van een complexe functiewaarde , of beter het kwadraat van de absolute waarde , is altijd weer wel een reeel getal en dit kan dus wel een reele betekenis hebben . De toestandsfunctie zelf is eigenlijk niet meer dan een puur abstract wiskundig hulpmiddel .Als we over het KWADRAAT VAN DE TOESTANDSFUNCTIE praten , associeren we die met eerder gebruikte """golventaal""" . Andere namen voor de toestandsfunctie zijn bijvoorbeeld golffunctie of waarschijnlijkheids-amplitude . Iets anders nog is dat we in AXIOMA-2 spreken over het interval tussen x en x + dx . De zin hiervan is vooral in te zien vanuit een experimenteel standpunt . Het axioma gaat immers over het meten van de plaats van een deeltje . MAAR elke detector zal altijd een zekere UITGEBREIDHEID dx hebben . Dat betekent dat elke meting altijd een UITSPRAAK zal doen over de PLAATS VAN EEN DEELTJE BINNEN DE UITGEBREIDHEID VAN DE DETECTOR EN NOOIT OVER DE EXACTE PLAATS . En : daarom hoeft de theorie alleen een uitspraak daarvoor op te leveren .--Nou gaat het over de vragen : 1) hoe komen we aan de toestandsfunctie van een systeem ? en 2 ) Aan welke voorwaarden moeten ze voldoen en 3 ) Op welke manier kunnen we ze vinden ?......-------------------
Over stationaire toestanden en hun vergelijkingen. Deze toestandsfuncties zijn in het algemeen complexe functies.We beperken ons nou tot het bespreken van reele toestandsfuncties , aldus beperken we ons tot het bespreken van slechts een bepaald soort problemen . Wat houdt deze beperking nou precies in ? DE TOESTAND VAN EEN SYSTEEM WORDT VOLLEDIG BEPAALD DOOR DE WAARDEN DIE DE WAARNEEMBARE GROOTHEDEN IN DIE TOESTAND KUNNEN AANNEMEN . IN HET ALGEMEEN ZULLEN DIE WAARDEN OOK VAN DE TIJD AFHANGEN . ( anders zouden er immers nooit veranderingen kunnen gebeuren in de natuur ! We gaan nou eerst deze tijdsafhankelijkheid buiten beschouwing laten ! )...We zullen ons dus nou beperken tot DE BESCHRIJVING VAN DE STABIELE TOESTANDEN VAN EEN SYSTEEM ; dat is tot de stationaire toestanden ...Als we denken aan de interpretatie van de toestandsfunctie, zoals gegeven in het tweede axioma, dan betekent de beperking tot stationaire toestanden, dat de waarschijnlijkheid P ( x , t )dx , om het deeltje tussen x en x + dx aan te treffen op elk willekeurig tijdstip t hetzelfde moet zijn . De plaats van het deeltje is immers ook een waarneembare grootheid !.....Ofwel : deze waarschijnlijkheid hangt helemaal niet meer van de tijd af , en dus ook W( x , t )-kwadraat.dx niet meer . We beschouwen nou verder alleen de vorm van tijdsonafhankelijke toestandsfuncties . Want : het is juist altijd de tijdsafhankelijkheid die de toestandsfunctie in ieder geval complex maakt .-----
DE SCHRODINGER-VERGELIJKINGEN...De vraag is nu : Wat bepaalt de vorm van deze stationaire toestandsfuncties ? We zullen deze voortaan, kortheidshalve , voortaan steeds golffuncties noemen. En wat betekent nu precies zo'n stationair bestand ? Hoe "ziet" die eruit ? Het antwoord hierop is weer gebaseerd op een axioma. We zullen dit ( 3e )axioma toespitsen op een eenvoudig systeem. We beschouwen daartoe EEN DEELTJE , dat alleen eendimensionaal kam bewegen en waarvan de POTENTIELE ENERGIE gegeven wordt door de functie V (x) . Hiervoor geldt dan dat : ..
AXIOMA-III.....De mogelijke golffuncties van een deeltjessysteem worden gegeven door de oplossingen van de vergelijking : (- h-kwadraat / 8*pi-kwadraat * m ) * ( d-kwadraat W / d-x-kwadraat ) + V ( x ) W = E W . daarin is : W( x ) de golffunctie van het deeltje . m is de massa van het deeltje . E is de totale energie -dit is de som van kinetische en potentiele energie . ......************-----Waarom dit voorschrift ?..Hiermee hebben we dus een voorschrift met welk we kunnen UITREKENEN of er in ons systeem stationaire toestanden mogelijk zijn en welke golffuncties daar dan bijhoren . In een voorbeeld zien we straks hoe , in meer detail , dit voorschrift moet worden toegepast. Eerst : Waar komt dit voorschrift vandaan ? En : Waarom ziet het eruit zoals het eruit ziet ? En : Hoe kan het worden afgeleid ? ...Het antwoord echter hierop : --dat weten we niet ! Waarom de vergelijking ( AXIOMA-III van de kwantummechanica )deze vorm heeft, is onbekend. Dat de beschrijving van de natuurkundige werkelijkheid (dat is : "de-wereld-om-ons-heen") , in dit geval -de kwantummechanica- er uit ziet , zoals die er uit ziet , is zo als het is ; HET IS ZOALS HET IS ; ___DE NATUURKUNDIGE WERKELIJKHEID ( DAT IS : "DE_WERELD_OM_ONS_HEEN" ) , IS ZO ALS DIE IS :""""JE HEBT HET TE AANVAARDEN""""!!!!!.---En ook niet WAAROM de golffuncties alleen een STATISTISCHE BETEKENIS hebben . ---------------En ook : waarom de golffuncties alleen een -statische betekenis-- hebben is ook onbekend. We weten alleen dat als je op deze manier de golffunctie uitrekent en interpreteert zoals is aangegeven, dat DAN DE BEREKENINGEN BLIJKEN TE KLOPPEN MET DE EXPERIMENTELE WAARNEMINGEN . En daarmee concluderen we dan dat deze regels "werken". We weten dus wel "HOE" , maar niet "WAAROM" . VANDAAR DAT WE DEZE REGELS AXIOMA'S HEBBEN GENOEMD. ....HET ZIJN DE UITGANGSPUNTEN VAN HET ZOGENAAMDE FORMALISME, EN DIE UITGANGSPUNTEN KUNNEN VERDER NIET AFGELEID WORDEN. Deze bovenstaande (wiskundige) vergelijking werd in 1926 voor het eerst bekend gemaakt door de Oostenrijker Erwin Schrodinger , en vandaar dat ze nou (tijdsonafhankelijke) Schrodinger-vergelijking wordt genoemd . Schrodinger kon uiteraard deze vergelijking ook niet afleiden. Hij "---******" haar, zou je kunnen zeggen , maar hij gokte niet in het wilde weg !!!. Hij werd sterk beinvloed door het werk van Einstein en De Broglie (zie elders op deze subpagina ) , maar ook door een formulering van de wetten van de klassieke mechanica die bekend staat als het Hamilton-formalisme. Trouwens met het bovenstaande "---******" van de Schrodinger-vergelijking is niets bijzonders aan de hand. --Ik citeer :-- "Verstandig ---******" is een procedure die juist erg belangrijk is in de natuurkunde. Want als je vooruitgang wilt boeken op nog onbekend terrein -en dat is toch de essentie van nieuwe wetenschappelijke ontwikkelingen , dan kun je van tevoren nooit zeker weten of de weg die je kiest , wel de goede is. Dat blijkt altijd pas achteraf .-Einde citaat....--Je kunt de rol die de bovenstaande gegeven axioma' s spelen in de kwantummechanica , heel goed vergelijken met de rol van de wetten van Newton in de klassieke mechanica. -----Ook Newton (zie de hoofdpagina : onderwerpen natuurkunde) rond het jaar 1675, ontdekte met zijn (4) wetten van de klassieke mechanica , bijvoorbeeld met de wet F = m*a (de kracht is de massa keer de versnelling ) , niet "het waarom" van deze wet ook , maar alleen het "hoe" . Hij was de eerste die deze vorm "---******" , en het bleek nog te werken ook ! ..............................................................
*************************************************************
OVER DE ZOGENAAMDE "PUT" , het deeltje , en de KANS dat het deeltje er in zit ! )------We gaan nu een concreet voorbeeld in "detail" uitwerken , om te zien hoe het voorschrift van bovenstaande voorschrift ( is axioma-III van de kwantummechanica ) werkt. We kiezen daartoe als SYSTEEM weer een eendimensioneel bewegend deeltje . We veronderstellen daarbij dat de potentiele energie , V ( x ) van dit deeltje , gegeven wordt door de volgende functie : V ( x ) = 0 voor 0 kleiner dan x kleiner dan a en V (x ) = oneindig voor x kleiner dan 0 of x groter-of-gelijk a . We zeggen dat het deeltje zich bevindt in een eendimensionale , oneindig diepe potentiaalput met breedte a .Over de potentiele energie als functie van de plaats van het deeltje 1 .Ook : de plaats van het deeltje is echter altijd gebonden aan het interval ( 0 , a ) van de x-as . Het deeltje bevindt zich altijd ergens in dit interval op de x -as. Het beweegt immers slechts in een dimensie ! Omdat daar de potentiele energie constant is , op het interval ( 0 , a ) beweegt het deeltje binnen dat interval volledig vrij, dat wil zeggen : daar werken geen krachten op het deeltje , omdat de potentiele energie daar constant is . Buiten dit interval kan het deeltje nooit komen want dat zou een oneindige hoeveelheid arbeid kosten .---Daarmee is al een deel van ons probleem opgelost .
HET VERDER OPLOSSEN VAN HET PROBLEEM.---Als het deeltje nooit buiten dit interval ( 0 , a ) kan komen , betekent dit dat de waarschijnlijkheid dat we het deeltje daar ooit zullen meten uiteraard gelijk is aan nul . Dus : absoluut W ( x ) -kwadraat.dx = 0 voor x groter-gelijk a of x kleiner-gelijk 0 en dus moet ook : W ( x ) = 0 voor x groter-gelijk a of x kleiner-gelijk 0 . Binnen het interval ( 0 , a ) krijgt de Schrodinger-vergelijking nu de volgende vorm : -h-kwadraat/8*pi-kwadraat*m * d-kwadraat*W ( x )/dx-kwadraat = E W ( x ) , en deze moeten wij nu oplossen . Daartoe is het handig deze vergelijking eerst als volgt te BESCHRIJVEN : d-kwadraat W ( x ) / dx-kwadraat = -8*pi-kwadraat *m*E/h-kwadraat * W ( x ) = -k-kwadraat W ( x ) , waarbij we nu dus een nieuw symbool te hebben ingevoerd , zodanig dat : k-kwadraat = 8*pi-kwadraat*m*E/h-kwadraat . Wat betekent deze k precies ? Dat wordt duidelijk alswe bedenken dat de totale energie E "in de put" gegeven wordt door : E = E-kin + E-pot = 1/2*m*v-kwadraat . Als we dit INVULLEN in de formule voor k-kwadraat , krijgen we : k-kwadraat = 4*pi-kwadraat/lambda-kwadraat en dus : k = plusminus 2*pi/lambda . We zien dat deze k niet zo maar een loos symbool is , maar direct te maken heeft met de "golflengte van het deeltje" ; k wordt het GOLFGETAL van het deeltje genoemd . We zien ook , dat GOLFEIGENSCHAPPEN en DEELTJESEIGENSCHAPPEN als het ware door elkaar heen in deze golfvergelijking verweven zitten . Laten we nu eerst proberen de vergelijking verder op te lossen . Deze kunnen we inmiddels schrijven als : d-kwadraatW 8 x ) / dx-kwadraat = - ( 2*pi/lambda )-kwadraat *W ( x ) . HET OPLOSSEN VAN ZO'N "DIFFERENTIAALVERGELIJKING" IS IN HET ALGEMEEN EEN KWESTIE VAN "VERSTANDIG PROBEREN." Hier is dat niet zo moeilijk . We zoeken immers naar een functie die , nadat je die 2 keer gedifferentieerd hebt , op een constante en een minteken na weer in zichzelf is overgegaan . Dit soort functies kennen we . We zien , door te proberen , direct dat functies als : W-a( x ) = A*cos2*pi*x/lambda en W(x) = B*sin2*pi*x/lambda , inderdaad voldoen aan de gegeven vergelijking . We hebben dus de oplossingen gevonden . Maar we zijn er nog niet.-----........
RANDVOORWAARDEN.---We moeten steeds in gedachten houden DAT DEZE WISKUNDIGE FUNCTIES UITEINDELIJK BEDOELD ZIJN OM DE NATUURKUNDIGE WERKELIJKHEID TE BESCHRIJVEN . Dat betekent dat de natuur nog bepaalde extra voorwaarden zou kunnen opleggen aan deze functies . "randvoorwaarden" noemen we die . Welnu : continue functie van de plaats x en 2 )natuurkundig gezien verwachten we dat de waarden die de waarneembare grootheden in een bepaalde toestand kunnen aannemen in ieder geval CONTINU van de plaats zullen afhangen. In het bijzonder verwachten we bijvoorbeeld dat de WAARSCHIJNLIJKHEID om het deeltje in een bepaald interval, tussen x en x + dx , aan te treffen continu van de plaats x afhangt. En natuurlijk moet de waarschijnlijkheid om het deeltje uberhaupt ergens, waar dan ook , aan te treffen , per definitie gelijk aan 1 zijn . De wiskundige vertaling van deze randvoorwaarden is dat we op zijn minst van een goede golffunctie moeten eisen dat 1 ) W( x ) is een continue functie van de plaats x ..en 2 ) de integraal van min-oneindig naar plus-oneindig van het kwadraat vande absolute waarde van W ( x ) dx = 1 ......
Verder met oplossen.....Omdat ons deeltje niet "buiten de put" kon komen, hadden we gevonden dat voor de ""randen"" van de ""put"" moest gelden dat W ( 0 ) = W ( a ) = 0 . Daar moeten de golffuncties "binnen de put" , dus onze oplossingen W-alfa en W-b in ieder geval continu op aansluiten . Er moet gelden : W-a( 0 ) = A*cos2*pi*0/lambda = A , en dat kan alleen 0 zijn als A = 0 . En daarmee is deze cosinusfunctie geen aanvaardbare oplossing !.....Nu de tweede oplossing ( zie boven ) . Daarvoor moet gelden : W ( 0 ) = B*sin2*pi*0/lambda = 0 , en dus is aan de continuiteitsvoorwaarde in het punt x = 0 altijd voldaan . Maar ook moet gelden : w ( a ) = B*sin2*pi*a/lambda = 0 . Dit zou kunnen voor B = 0 , maar dan : W = 0 voor alle x , dus niet acceptabel . De enige resterende mogelijkheid is dan ook : sin2*pi*a/lambda = 0 en dit is alleen het geval als : 2*pi*a/lambda = n*pi met n = 1,2,3,...... en dus : lambda = 2*a/n of a = n*lambda/2 . Hier verder naar beneden de betekenis hiervan . Eerst het rekenwerk afmaken . Toepassen van de randvoorwaarden levert kennelijk een voorwaarde op voor de golflengte lambda van het deeltje . DE MOGELIJKE ""TOEGELATEN"" WAARDEN VAN LAMBDA WORDEN BEHALVE DOOR DE "BREEDTE VAN DE "PUT" " a OOK BEPAALD DOOR DE WAARDE VAN EEN GEHEEL GETAL N . Dat geeft de mogelijkheid de golflengte-waarden te nummeren , volgens lambda-n . Hetzelfde geldt dan ook voor de mogelijke golffuncties .Immers, substitutie van lambda-n iun W ( x ) levert : W-n( x ) = B*sin( (n*pi/a )*x ) . Bij elke waarde van lambda gegeven door lambda-n hoort dus een golffunctie W-n . Tenslotte : de "normeringsvoorwaarde" voor de golffuncties geeft ons de mogelijkheid om de constante B verder uit te rekenen . Dat gaat zo : de integraal-van min-oneindig naar plus-oneindig van de absolute waarde van ( W-n ( x )) in-het-kwadraat .dx = de integraal van min-oneindig naar plus-oneindig van B-kwadraat + sin-kwadraat ( ( n*pi/a)*x).dx = de integraal van = naar a van B-kwadraat * sin-kwadraat( (n*pi/a)).dx = 1 . Hieruit volgt dan B = wortel uit( 2/a ) , zodat uiteindelijk de volgende functies de oplossingen zijn van de Schrodinger-vergelijking voor een systeem van een deeltje in een oneindig diepe , rechthoekige POTENTIAALPUT : W-n( x ) = wortel-uit( 2/a ) *sin((n*pi/a)*x) n = 1,2,3,......... . Tot zover het rekenwerk . Nu terug naar ""de natuurkunde achter de formules"".Kunnen we de oplossing begrijpen ?. DE ENERGIE IS GEKWANTISEERD ! -----------------------...........................--Dit doet het vermoeden rijzen dat naarmate het kwantumgetal groter is , de klassieke situatie beter benadert wordt. Dit vermoeden is inderdaad juist. Het staat bekend als het CORRESPONDENTIE-PRINCIPE VAN BOHR. Het geeft aan, zo zou je kunnen zeggen , dat de klassieke natuurkunde en de kwantummechanica niet twee werelden beschrijven die niets met elkaar te maken hebben , maar veel meer dat de klassieke natuurkunde een limiet of grensgeval is van de kwantummechanica , en wel de "limiet voor grote kwantumgetallen".-----De eindige put en haar toestanden . (binnenkort meer hierover ).
NOG EVEN WEER OVER RANDVOORWAARDEN. ----------- ( WE MOETEN STEEDS WETEN , DAT DEZE WISKUNDIGE FUNCTIES IN FEITE BEDOELD ZIJN OM DE _NATUURKUNDIGE WERKELIJKHEID TE BESCHRIJVEN ). De """"natuur""""" zou nog bepaalde extra voorwaarden aan deze functies kunnen opleggen . We noemen die ""RANDVOORWAARDEN"" , en we zullen deze door de natuur opgelegde zogenaamde randvoorwaarden dus moeten ""VERTALEN"" IN WISKUNDIGE TERMEN om te zien of onze gevonden functies eraan kunnen voldoen . Natuurkundig gezien verwachten we dat de waarden die de waarneembare grootheden in een bepaalde toestand kunnen aannemen , in ieder geval CONTINU VAN DE VAN DE PLAATS ZULLEN AFHANGEN------------..................................................
TOT ZOVER HET "REKENWERK" . Nu terug naar "de Natuurkunde achter de formules"" . --We zijn begonnen met een deeltje in een ""oneindig diepe potentiaalput"" . Daarvan wilden we de stationaire toestanden berekenen . Daartoe was een "Schrodinger-vergelijking" ter beschikking , waarvan de oplossingen tevens moesten voldoen aan de gegeven randvoorwaarden . En wat bleek toen ? Er waren alleen oplossingen mogelijk , voor zeer bepaalde discrete waarden van lambda . Wat betekent dit ? Het deeltje moet steeds bewegen tussen de grenzen x = 0 en x = a van de "put" . Omdat we hier slechts stationaire systemen beschouwen ( zie hierboven ) , moet het in ieder geval steeds net zo waarschijnlijk zijn , dat het deeltje naar rechts als dat het naar links beweegt . Maar uitgaande van het GOLFKARAKTER van het deeltje , is dit dat we in zekere zin te maken moeten hebben met zoiets als ""heen en weer gaande golven"" , die kennelijk op een of andere manier ""samenwerken""" . Nou : we weten dat het niet zo is dat door ""samenwerking"" , of INTERFERENTIE , van heen en weer gaande ( dus lopende ) golven een STAANDE golf kan worden opgebouwd . Maar zo'n STAANDE golf , bijvoorbeeld in een SNAAR , is alleen blijvend mogelijk wanneer aan een bepaalde VOORWAARDE is voldaan . Deze is : de lengte van de snaar ( a ) moet gelijk zijn aan EEN GEHEEL AANTAL MALEN 8 n ) de halve golflengte van de staande golf , ofwel : a = n*pi/2 . Dus de "inperking" van de lengte van de snaar tot e3indige afmetingen heeft discrete mogelijke golflengten tot gevolg . Bovendien worden de bijbehorende mogelijke STAANDE trillingstoestanden van de snaar , beschreven door de "golffuncties" : y ( x ) = R*sin ((2*pi*x)/lambda) = R*sin((n*pi/a)*x) . Ook een beperkte analogie . De analogie van de ( bovenomschreven ) snaar met het beschreven deeltje is nu wel duidelijk . De GOLFFUNCTIE van dit deeltje in een stationaire toestand correspondeert met een "staande golf" . Omdat staande golven moeten ""passen in de ruimte die ze krijgen"" , zijn er alleen BEPAALDE golfpatronen mogelijk . De snaarfuncties geven een werkelijke stand van de snaar in de ruimte aan . Echter de golffunctie van een deeltje heel wat anders , namelijk enkel en alleen betekenis aan de waarschijnlijkheids-interpretatie van absolutewaarde van W-m -kwadraat . W ( x ) zelf heeft , nogmaals gezegd , geen directe fysische betekenis. Voor de tijdsafhankelijkheid van de staande ""snaar-golf"" , geldt ( zie boven ook ) : y ( x , t ) = R*((n*pi/a)*x)*cos((2*pi/T)*t) . Deze functie kan nooit een goede golf-kwantum-mechanische golffunctie van een deeltje zijn . Dat zou immers betekenen dat er op regelmatige tijdstippen , namelijk als cos((2*pi*t)/T) = 0 , er helemaal geen deeltje zou zijn , maar op de tussenliggende tijdstippen wel . De oorzaak hiervan ligt in het reele karakter van deze tijdsfunctie . Daarvoor moesten wij in de kwantummechanica immers COMPLEXE FUNCTIES gebruiken .---------------
ENERGIE-KWANTISATIE . We keren terug naar de mogelijke waarden van lambda . Deze zijn (zie boven ) voor stationaire toestanden beperkt tot : lambda = 2*a/n . De consequenties hiervan zien we , als we met behulp van lambda = h/(m*v) en E-kin = (1/2)*m*v-kwadraat , de totale energie van het deeltje uitrekenen . Hiervoor viden we dan : E-n = E-kin + E-pot = h-kwadraat/( 8*m*a-kwadraat ) *n-kwadraat . ( n = 1,2,3,......) . Het blijkt aldus , dat er alleen stationaire toestanden mogelijk zijn met zeer bepaalde , discrete energiewaarden ! : DE ENERGIE IS GEKWANTISEERD !! Dat is op zich niets nieuws . Denk daarbij aan een van de postulaten van Niels Bohr . MAAR WAT EERST EEN POSTULAAT WAS DAT NIET VERDER BEGREPEN KON WORDEN , VOLGT NU RECHTSTREEKS UIT HET THEORETISCH FORMALISME . We noemen deze mogelijke energiewaarden de EIGENWAARDEN van het probnleem . , terwijl de bijbehorende golffuncties aangeduid bworden met de term EIGENFUNCTIES . Het getal N heet een KWANTUMGETAL ..............................---
EN DAN NOG OVER :"""""HOE BREDER ( DE PUT ) , HOE "VRIJER" ( HET DEELTJE )"""""""" . --NULPUNTSENERGIE . ------NOGMAALS DE GOLFFUNCTIES. ----------Over deze energiewaarden . Bijvoorbeeld , wat , in geval we de put steeds breder maken ? Direct uit de formule voor E-n blijkt dat dan de afstand tussen de energieniveaus steeds kleiner wordt : de energieniveaus komen steeds dichter op elkaar . Daaruit "voelen we al aan" dat tenslotte voor een volledig vrij deeltje , dat wil zeggen V=0 voor alle x , de energie niet meer gekwantiseerd zal zijn , maar elke willekeurige positieve waarde kan hebben . En dat is zo !! Het was immers juist de beperking van bewegingsvrijheid van het deeltje dat de kwantisatie tot gevolg had . Dit is een erg belangrijk resultaat dat -hoeweöl hier afgeleid voor een beweging in een dimensie- ook geldig zal blijken voor een deeltje in de echte -driedimensioale- ruimte . We kunnen deze redenering nu ook omkeren . Stel dat we de energieniveaus kennen , dan kunnen we daaruit de bewegingsvrijheid van een deeltje ( putbreedte ) ""afschatten"". Een kern of atoom als "put" ! Neen bijvoorbeeld als deeltje eens een elektron met massa m = m-e =ongeveer 9,1*10-tot-de-macht-min31 kilogram en veronderstel dat een elektron dat gebonden is in een atoom , heel ruw vergeleken kan worden met een elektron in een put . We weten dat een "redelijke" waarde voor de excitatie-energie van een valentie-elektron in een atoom gegeven wordt door E-1 is-ongeveer 5 Ev . ( elektronenvolt) . Substitutie ( is invulling ) van deze waarde in de formule voor E-n geeft dan als ruwe benadering voor de diameter van een atoom een waarde a is-ongeveer 2 Angstrom en dit is juist de goede grootte orde ! -In geval we als deeltje een proton met massa m = m*p = 1,67 * 10-tot-de-macht-min27 kilogram beschouwen en als ""typische"" exicatie-energie in een kern een waarde van E-1 is-ongeveer kleiner-of-gelijk 2 MeV , dan berekenen we als ruwe waarde van alfa is-ongeveer 4*10-tot-de-macht min4 Angstrom . Hieruit zien we hoe we met dit natuurlijk erg ruwe putmodel toch al in staat zijn om kwalitatief de grootte-orde van een atoomkern te verklaren .----------.......Er is nog een aspect met de formule voor E-n en dat is het optreden van een laagste energiewaarde : E-1 = h-kwadraat/(8*m*a-kwadraat) , die ongelijk is aan nul ! Dat is de kinetische energie van een deeltje met beperkte bewegingsvrijheid , of algemener gezegd : de kinetische energie van een deeltje in een gebonden toestand , kan nooit nul zijn . Het deeltje moet altijd blijven bewegen , ook zelfs wanneer de "temperatuur van het deeltje" gelijk zou zijn aan het absolute nulpunt .Deze minimaal mogelijke energiewaarde wordt dan ook wel de NULPUNTSENERGIE genoemd . Trouwens , we kunnen de noodzaak van deze nulpuntsenergie ook begrijpen als we de ONZEKERHEIDSRELATIES VAN HEISENBERG erbij halen . Immers , in geval we van het deeltje alleen weten dat het "ergens" in de put zit , dan is zijn PLAATS BEKEND met een ONZEKERHEID van delta-x = a . En de IMPULS is dus bekend met een ONZEKERHEID delta-p groter-dan h/a . Maar dat betekent dat de kinetische energie niet veel kleiner mag worden dan h-kwadraat/( 2*m*a-kwadraat) , anders zou dit in strijd zijn met de onzekerheidsrelaties . We zien dat dit van dezelfde grootte-orde is als de waarde van E-1 . Maar als een ruimtelijk gebonden deeltje dan nooit tot rust kan komen , hoe kan een voorwerp dan stil liggen ? -------------..........-----Nog iets meer over de golffuncties en hun betekenis . We zien uit de figuur dat het kwantumgetal n juist gelijk is aan het aantal ""buiken"" in de golffunctie . De betekenis van de golffunctie . Uit de "vorm" van absolutewaarde W(n) -kwadraat zien we direct op welke plaatsen de waarschijnlijkheid het grootst is om het deeltje aan te treffen , en we zien zelfs dat er plaatsen zijn waar we het deeltje nooit zullen aantreffen . Dit lijkt misschien een merkwaardige paradox . Het deeltje kan in de ene "buik" worden aangetroffen of in de andere . Maar HOE kan het deeltje , als het zich bijvoorbeeld in de toestand W-2 bevindt , van de ene "buik" ( A ) in de andere "buik" ( B ) komen als het daarbij een punt N moet passeren waar het zeker nooit kan worden aangetroffen . Deze vraag is niet goed , want een vraag isalleen zinvol , als ze een duidelijke natuurkundige betekenis heeft . in dit geval zou dat zo zijn , ingeval van een deeltje dat , in de toestand W-2 , een bepaalde weg A-N-B aflegt . Maar "natuurkundige betekenis" voor een UITSPRAAK IN DE KWANTUMMECHANICA betekent dat zo'n uitspraak WAARNEEMBARE GEVOLGEN met zich mee moet brengen . We moeten ons dus afvragen : "Als een deeltje zich in de toestand W-2 bevindt , kan zijn voortgang langs de baan A-N-B , en in het bijzonder de doorgang door het punt N , ook worden waargenomen ?" Het antwoord hierop is duidelijk : nee ! Immers : een deeltje kan nergens , op geen enkel punt , worden waargenomen zonder dat deze waarneming zelf de toestand van het deeltje op onbekende wijze verstoort . Nu volgt een simpele afschatting om dit te verduidelijken . Stel we meten de plaats van het deeltje in het punt A met een onzekerheid gegeven door 0,01 a . Maar dat betekent , vanwege de onzekerheidsrelatie , dat als gevolg van deze meting de E-kin van dit deeltje daarna ONZEKER is met een orde van grootte gegeven door : DELTA.E-kin is ongeveer 10-totdemacht4 * h-kwadraat/82*m*a-kwadraat) . En binnen dat onzekerheidsgebied liggen heel wat mogelijke energieniveaus E-n ! . Voor de meting werd de toestand van het deeltje beschreven door W-2 , maar na de meting weten we niet meer in welke toestand het deeltje zit . Het zou best in een toestand kunnen zijn geraakt waarin het juist uitermate waarschijnlijk is het deeltje op de plaats N aan te treffen ! We moeten dus concluderen dat , als een deeltje zich in een stationaire toestand bevindt , we zo'n deeltje in die toestand niet kunnen "volgen" . Dat onttrekt zich aan onze waarnemingsmogelijkheden . WE ZIEN HIERUIT HOE ONZE THEORIE PREIES IN OVEREENSTEMMING IS MET DE EXPERIMENTEN . De theorie beschrijft niet meer , maar ook niet minder . DE GOLFFUNCTIE ZEGT ALLEEN HOE GROOT DE WAARSCHIJNLIJKHEID IS OM HET DEELTJE OP EEN BEPAALDE PLAATS AAN TE TREFFEN , MAAR NIETS OVER DE VRAAG HOE HET DAAR KOMT . Als je dat toch wilt weten , dan moet je het METEN . MAAR JUIST DAARDOOR wordt de golffunctie die je had ,"onvoorspelbaar" en "beschadigd" . Dit is precies de THEORETISCHE ACHTERGROND van wat we eerder in ons tweespleten-experiment hebben waargenomen . HET INTERFERENTIEPATROON --op het scherm-- gaf de waarschijnlijkheid dat het elektron daar aankwam . En : als je wou weten , hoe , dan moet je dat meten en juist als gevolg van dat meten verdween het interferentiepatroon...... ---.........
EN : OVER HET ZOGENAAMDE ----CORRESPONDENTIE-PRINCIPE....We kijken nou preiezer naar absolute-waarde-kwadraatW-1 . De vorm hiervan zegt dat we het deeltje verreweg het meest waarschijnlijk in het midden zullen aantreffen en veel minder waarschijnlijk aan de randen . "Ons klassieke geval". De situatie lijkt echter te veranderen als we kijken naar golffuncties voor grotere n-waarden . Het vermoeden rijst , dat naarmate het kwantumgetal groter is , de klassieke situatie beter benaderd wordt . Dit vermoeden is inderdaad juist . Dit vermoeden bestaat bekend als het CORRESPONDENTIE-PRINCIPE VAN BOHR . Het geeft aan , zo zou je kunnen zeggen , dat de klassieke natuurkunde en de kwantummechanica niet twee werelden BESCHRIJVEN die niets met elkaar te maken hebben , maar veel meer DAT DE KLASSIEKE NATUURKUNDE EEN LIMIET OF GRENSGEVAL IS VAN DE KWANTUMMECHANICA , EN WEL DE LIMIET VOOR GROTERE KWANTUMGETALLEN .----------------------------------.............................................( EINDE )--****
******************************************************************
*************DE KAT VAN SCHRODINGER.-----------In 1935 publiceerde Erwin Schrodeinger een artikel over deze buitengewone PARADOX met dusdanig frappante consequenties dat wetenschappers er nog altijd versteld van staan................-----Schrodinger was geschokt geweest over de net verschenen zogenaamde Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica, die in essentie behelsde, dat een kwantumsysteem (bijvoorbeeld een elektron) bestaat als een waarschijnlijkheidswolk tot het is waargenomen...STEL NOU : een levende kat wordt in een doos gezet met een radioactieve bron, een geigerteller en een verzegelde glazen fles met dodelijk gif.************GEVAAR-GEVAAR-GEVAAR--DANGER-DANGER-DANGER---Radioactiviteit kan bij mensen en dieren de zogenaamde radio-actieve ziekte veroorzaken, welke ziekte tot de dood kan lijden.------DANGER--DANGER--DANGER--GEVAAR--GEVAAR--GEVAAR..********Als er radio-actief verval optreedt, registreert de geigerteller dat en zet een mechanisme in werking waardoor een hamer de fles stukslaat en het gif de kat doodt. (wat een sadisten--dierenbeulen--die bedenkers van dit soort proeven, he) Stel u voor dat er VOLGENS DE KWANTUMTHEORIE een kans van 50 procent is, dat er elk uur een vervaldeeltje wordt uitgezonden. Na een uur is de kans dat de kat leeft even groot als de kans dat hij dood is. Volgens sommige versies van de Kopenhaagse interpretatie (zie later hierover op deze subpagina : kwantummechanica) lijkt de kat zowel levend als dood--------een combinatie van twee statussen die een superpositie van statussen wordt genoemd. Sommige theoretici opperen dat als men de doos opent, de dan volgende waarneming "de superpositie teniet doet" , zodat de kat of leeft, of dood is . Schrodinger zei dat dit gedachte-experiment de onjuistheid van de Kopenhaagse interpretatie aantoonde, en Albert Einstein- was het daarmee eens . Het experiment riep vele vragen op : Wat is een deugdelijke waarnemer ? De geigerteller ? Een vlieg ? Kon de kat zichzelf waarnemen , en zo zijn eigen status teniet doen ?---Wat zegt het experiment echt over de aard van de werkelijkheid ?****************
******* ONZEKERHEIDSRELATIES VAN HEISENBERG--ONZEKERHEIDSPRINCIPE VAN HEISENBERG (1927).............(Werner Heisenberg, Duitsland,(1901-1976))........( hier eerst een beschrijving van het onzekerheids-principe ; daarna een AFLEIDING van de (wiskundige) onzekerheids-relaties van Heisenberg )................"HET ONZEKERHEIDSPRINCIPE VAN HEISENBERG STELT DAT DE POSITIE EN DE SNELHEID VAN EEN DEELTJE NIET BEIDE GELIJKTIJDIG MET EEN HOGE MATE VAN PRECISIE BEKEND KUNNEN ZIJN.".......Naarmate de METING VAN DE POSITIE nauwkeuriger is, is DE METING VAN DE BEWEGING onnauwkeuriger, en andersom. Het ONZEKERHEIDSPRINCIPE is van belang voor "de wereld van atomen en subatomaire deeltjes". De Duitse natuurkundige Werner Heisenberg kwam met de hypothese dat zelfs als we een oneindig nauwkeurig meetinstrument konden maken, we nog steeds NIET ZOWEL DE POSITIE ALS HET MOMENT (MASSA KEER SNELHEID) VAN EEN DEELTJE PRECIES KUNNEN BEPALEN..............----------------------------------------------Volgens de golftheorie van het licht kunnen we, ook door een microscoop, twee punten op een onderlinge afstand delta-x , slechts gescheiden, dus als twee aparte punten waarnemen, wanneer aan zekere voorwaarde is voldaan. Als we licht met een golflengte lambda gebruiken en een microscoop met een openingshoek 2*teta' dan kunnen we voor deze voorwaarde afleiden dat : delta-x groter-ongeveer-gelijk lambda/2*sin.teta' . Dus dat betekent dat we met de gebruikte golflengte lambda de plaats van het elektron niet nauwkeuriger kunnen vastleggen dan met een onzekerheid delta-x . Welnu, we volgen nou een foton dat komt uit de lichtbron. Als het het elektron "uberhaupt" wil treffen, dan zal het loodrecht omhoog moeten gaan. Dus, voor de botsing heeft het foton een impulsmoment : p-ij = h/lambda en p-x = 0 . Hoe is het nu na de botsing met het foton ? In geval we het elektron willen zien, zal het foton in ieder geval het objectief van de microscoop moeten treffen. Maar dat gebeurt alleen als het foton "niet te schuin weg vliegt". En dit betekent dat de impulscomponent in de x-richting, die het foton krijgt na de botsing, niet te groot mag zijn. Of preciezer gezegd : deze x-component moet, na de botsing liggen tussen -p*sin-teta' en +p*sin-teta' , als p de oorspronkelijke impuls is (die gelijk was aan p-ij) . We kunnen dus concluderen dat in de impulscomponent in de x-richting van die fotonen die we waarnemen, een ONZEKERHEID ter grootte van : delta-p-x is-ongeveer-gelijk 2*p*sin-teta' kan optreden. Dan treedt, vanwege impulsbehoud, ook dezelfde onzekerheid op in de impuls van het elektron waarvan we de plaats hebben waargenomen. Dus ook hiervoor geldt : delta-p-x is-ongeveer-gelijk 2*p*sin-teta' = 2* h/ lambda * sin-teta' . We zien ook dat hoe nauwkeuriger de plaats bepaald wordt,door een kleinere golflengte lambda te gebruiken, des te groter wordt de onzekerheid in de impuls. Deze twee onzekerheden zijn aan elkaar gekoppeld. We kunnen ze dan ook combineren tot de volgende "ONZEKERHEIDSRELATIE" : delta-p-x * delta-x ongeveer-gelijk-groter-dan h ............ Een zelfde relatie kunnen we natuurlijk ook afleiden voor de y- en z- componenten van plaats en impuls omdat er geen reden is waarom de x-richting een voorkeursbehandeling zou verdienen. Het was de Duitser Heisenberg die deze relaties voor het eerst poneerde. Wat zegt de formule : delta-p-x * delta-x groter-gelijk-aan h nu precies ? De meningen hierover lopen-nog-steeds-uiteen . Heisenberg formuleerde zijn zienswijze ongeveer alsvolgt : Stel we willen de PLAATS en de IMPULS van een deeltje weten. Als we daartoe de plaats van het deeltje bepalen met een onzekerheid delta-x dan is het FUNDAMENTEEL ONMOGELIJK OM ZIJN IMPULS TEGELIJKERTIJD NAUWKEURIGER TE BEPALEN DAN met een onzekerheid delta-p-x gegeven door : delta-p-x gelijk-groter-dan h / delta-x . En omgekeerd ! En dit komt niet doordat onze meetinstrumenten te kort zouden schieten, maar de oorzaak moet fundamenteel gezocht worden in het GOLF-DEELTJE-DUALISME VAN DE NATUUR , VOORAL : HET DUALE KARAKTER VAN DE MATERIE . . Deze conclusie volgt overigens niet helemaal rechtstreeks uit het microscoop-experiment . Immers, we probeerden daarin ALLEEN DE PLAATS van het deeltje te meten en NIET TEGELIJKERTIJD PLAATS EN IMPULS . Nou gaan we nog niet dieper in, op dit interpretatieprobleem.----ing. Voorbeeld : De consequenties van de (wiskundige ) onzekerheidsrelaties voor het voor het "kwantummechanisch denken" zijn erg groot , maar ook moeilijk. Ze kunnen het opnieuw meer begrijpelijk maken waarom de kwantummechanische natuurbeschrijving wel sterk moet afwijken van de klassieke beschrijving. Voorbeeld : ten eerste ) stel we willen bijvoorbeeld de beweging van een tennisbal beschrijven . Hoe kunnen we dit normaal gesproken doen ? Wel , de klassieke mechanica van Newton leert ons : Als we op een gegeven begintijdstip precies de PLAATS en IMPULS (beginsnelheid) van de tennisbal kennen , en we kennen ook de totale kracht die steeds op de tennisbal werkt dan geeft de wet van Newton F = m*a ons precies het voorschrift waarmee we op elk tijdstip de plaats en de snelheid van de tennisbal kunnen uitrekenen ..... We kunnen nou weten of onze berekening juist is geweest door de plaats en de snelheid van de tennisbal op geregelde tijdstippen te meten , bijvoorbeeld door de tennisbal steeds te fotograferen en dit te vergelijken met de berekeningen . --Er zijn enkele belangrijke achtergronden in deze "klassieke bewegings-beschrijving" aan te geven , zoals : 1) we veronderstellen dat op het begintijdstip plaats en impuls beide exact bekend waren ; en 2) we veronderstellen ook dat we tijdens de vlucht plaats en snelheid van de tennisbal steeds konden meten zonder dat dit merkbare consequenties had voor het verdere verloop van de beweging en 3) we konden op deze manier aan de tennisbal een duidelijke baan toekennen , die we zowel konden meten als berekenen ; en 4) het was natuurlijk steeds dezelfde tennisbal die we op verschillende tijdstippen waarnamen. Immers we hadden er maar een !---Hoe anders is dit echter allemaal voor een """kwantummechanische tennisbal"""", bijvoorbeeld voor een ELEKTRON. Immers , volgens de onzekerheidsrelatie (zie hierboven ) is het nu juist onmogelijk om ophet begintijdstip plaats en impuls beide exact te kennen. En ook kunnen we aan een elektron "onderweg" geen waarnemingen doen zonder daardoor het verdere verloop van de beweging te beinvloeden. Maar als we de beginsnelheid niet precies weten , dan weten we ook niet hoe het elektron wegvliegt. En als we dat niet kunnen meten , zonder het elektron ( op onbekende wijze ) te verstoren , dan verliest het begrip BAAN , wat zo'n centrale rol speelt in de klassieke mechanica , volledig zijn betekenis in de kwantummechanica , wat we al precies geconcludeerd hadden uit het tweespleten-experiment ( zie hierover : het tweespleten-experiment met elektronen , binnenkort op deze subpagina )..Dit betekent ook dat elektronen , en andere kwantummechanische deeltjes , (van dergelijke afmeting/grootte-orde ) in de beoefening van de kwantummechanica , niet met hun "individuele" eigen identiteit beschouwd kunnen worden , maar dat we in de kwantummechanica ons zullen moeten beperken tot DE KANS OP EEN BEPAALD DEELTJESGEDRAG , in plaats van een exacte beschrijving .Let op : dit is dus zo , omdat (zie boven) 1) op een bepaald tijdstip kunnen we niet zowel de plaats als de impuls van een deeltje exact kennen . en 2 ) en omdat (zie ook boven) we een deeltje niet kunnen herkennen , in "gezelschap" van een heleboel deeltjes ,dan is het begrijpelijk dat we ook geen exacte voorspellingen meer zullen kunnen doen omtrent het verdere gedrag van dat deeltje .---Er is dus een verschil , dat je aanzienlijk zou kunnen noemen, in feite het verschil dit-en-dat (hier in deze subparagraaf precies omschreven, binnenkort nog meer) , tussen de klassieke en de "moderne" natuurbeschrijvig (van de zogenaamde moderne natuurkunde , zo omstreeks 1900 ontdekt met de kwantummechanica , naar aanleiding van onder andere kwantumeffecten en naar aanleiding ook van de speciale en algemene relativiteitstheorie , door A. Einstein geredeneerd , naar aanleiding van onder andere de universele snelheid van het licht en Einsteins -in gedachten- uit te voeren experimenten met de meetlatten , de klokken en de rijdende trein . -zie hierover op de subpagina : relativiteits-theorieen ) .-----Daarom vormen de zogenaamde (wiskundige) onzekerheidsrelaties ( hier van Heisenberg ) ook de grondslag van dit onderscheid tussen de zogenaamde klassieke natuurbeschrijving en de zogenaamde "moderne" natuurbeschrijving, van de zogenaamde "MODERNE NATUURKUNDE" die welzeker voortbouwend op de klassieke natuurkunde , zoals die er toen was , omstreeks de jaren 1890 , naar toen, vooral naar aanleiding van enkele toen niet opgeloste problemen in de natuurkunde (zie hierover ook op de hoofdpagina onderwerpen natuurkunde ), zo vanaf omstreeks 1900 ontwikkeld is gaan worden. (binnenkort meer hierover)......(wordt binnenkort vervolgd).
*********************************************************************
IN DE KWANTUMMECHANICA KENNEN WIJ DE FORMULE E = hf . Met f is de frequentie en h is de zogenaamde constante van Planck .-----DE KWANTUMMECHANICA , hoe die dan ook in mekaar zit , moet in ieder geval in staat zijn "waarneembare verschijnselen" te verklaren . En dan met name die verschijnselen die ter verklaring noodzakelijkerwijs teruggevoerd moeten worden op het gedrag van de materie op atomaire schaal . Wij hebben ( zie ook hierboven ) ook reeds gezien , dat er Inderdaad z zulke waarneembare "atomaire effecten" zijn . En op grond van die waarneembare ätomaire effecten' , hebben we het DUALE KARAKTER VAN DE MATERIE gevonden , dat wil zeggen : het golf-karakter van bijvoorbeeld elementaire deeltjes en het deeltjes-karakter van golven .We gaan nou eerst enkele experimenten beschrijven . Omdat ze vaak -niet altijd- een kostbare en ingewikkelde opstelling vragen , voeren we de meeste experimenten niet daadwerkelijk uit, maar meestal beperken wij ons tot het bespreken van zogenaamde "GEDACHTEN-EXPERIMENTEN" , waarvan we de uitkomsten betrekkelijk eenvoudig kunnen beschrijven .-----------------------
Eerst een eenvoudig experiment . Een lichtbundel valt via een diafragma op een halfdoorlatende spiegel . Deze lichtbundel wordt, na dat diagrafma gepasserd te zijn, voor een deel doorgelaten door die zich daar achter bevindende zogenaamde halfdoorlatende spiegel doorgelaten , rechtdoor naar de zich weer daarachter bevindende en er door opgevangen door een fotocel zeg fotocel-1 , en het andere deel van de lichtbundel wordt door die zogenaamde halfdoorlatende spiegel ( 90 graden ) äfgesplitst en opgevangen door de zich daar verder op bevindende fotocel-2 . Deze "redelijk bekende situatie" kan gemakkelijk met de klassieke golftheorie verklaard worden . Althans de splitsing bij de spiegel ; natuurlijk niet de detectie met de fotocellen ! Immers met fotocellen detecteren we in ieder geval fotonen en geen klassieke golven . Dus de lichtbron zendt fotonen uit . Maar hoe zit dat dan bij de spiegel ? Wordt daar elk foton gesplitst ? Maar dan zou de energie van elk foton toch verdeeld moeten worden over twee "gesplitste" ? En daardoor kan de energie van twee "splitsings-fotonen" beneden de grenswaarde komen , om nog door de fotocel gedetecteerd te kunnen worden .-----___________________-----------
DAAROM NOU NOG WAT MEER EXPERIMENTEN .--------------:
Een experiment met kogeltjes . (een soort tweespleten-experiment ) Stel nou dat wij met een machinegeweer op volkomen toevallige tijdstippen kogeltjes afschieten . En stel dat deze kogeltjes vol volkomen toevallig verdeeld zijn over een aantal snelheidsrichtingen , En stel dat op zekere afstand van het geweer een muur staat waarin twee afsluitbare gaten zijn geboord waar een kogeltje juist doorheen kan. En stel ook nog dat achter deze muur een zogenaamde kogelvanger geplaatst is , met voor de kogelvanger een zogenaamde kogeltjesdetector die in staat is de kogeltjes op te vangen en te tellen . bovendien is deze detector in staat op en neer te bewegen langs de wand van de kogelvanger ( de x-richting ) .In geval dat dit alles zo is opgesteld , dan hebben we daarmee een experiment dat ons een antwoord kan geven op de vraag : "wat is de kans dat een kogeltje de kogelvanger treft op een bepaalde afstand x van het centrum ? " Je zou zeggen : dat hangt af van welk gaatje geopend is . Dat is waar . In feite zijn er 3 situaties , namelijk : gaatje 1 open en gaatje 2 gesloten ; gaatje 1 gesloten en gaatje 2 open ; en beide gaatjes open .--Waarom vragen we eigenlijk naar de KANS om een kogeltje aan te treffen ? Welnu , je moet je goed realiseren , dat we hier alleen over de KANS ( of WAARSCHIJNLIJKHEID ) kunnen spreken , omdat wij het experiment zo hebben ingericht , dat we van tevoren nooit kunnen weten waar een kogeltjes terecht zal komen . dat komt door die -TOEVALLIG- verdeelde begintijdstippen en richtingen .De vraag is nu : HOE BEPALEN WE DIE KANS ? Dit kan als volgt : gedurende een bepaalde tijd schieten we kogeltjes af en tegelijk tellen we ze . . Stel dat dit aantal gegeven wordt door N . In dezelfde tijd hadden we onze detector ter plekke x staan en deze detector heeft dus geteld hoeveel er daar zijn aangekomen . Stel dat dit aantal gegeven wordt door n . Dan zeggen we : de KANS dat een kogeltje de kogelvanger ter plaatse x treft , wordt gegeven door n?N . We noteren nu deze gemeten KANS ter plaatse x als P (X) . Overigens merken we nog op dat onze detector natuurlijk altijd een heel kogeltje detecteert . Welnu , op de aangegeven manier kunnen we met ons experiment drie kansverdelingen meten . Met kansverdeling bedoelen we nu de functie P (x) van x , die dus de verdeling van kansen als functie van de plaats beschrijft ...*****...................
Een experiment met golven .( een soort tweespleten-experiment , )Nu eerst een experiment met watergolven . Wij gebruiken daarvoor een golfbak , waarin we golven maken door een klein voorwerp regelmatig op en neer te bewegen in het water . Rechts van de golfbron is weer een muur met twee gaten ( of spleten ) , en daarachter worden de golven """"opgevangen"""" door een zacht glooiend ""strand"" plaatsen wij weer een heen en weer beweegbare detector . Deze detector is zo geconstrueerd dat hij een -uitslag- geeft die evenredig is met de golfenergie op de plaats waar hij zich bevindt.. En zoals wij weten , is bij een harmonische golfbeweging DE ENERGIE VAN DE GOLF EVENREDIG MET HET KWADRAAT VAN DE AMPLITUDE VAN DE GOLF . Preciezer : onze detector meet eigenlijk niet de energie op een bepaald tijdstip , maar de gemiddelde energie over een hele periode van de golfbeweging. Wij zijn weer geinteresseerd in de energieverdeling , of anders genoemd : de verdeling van de intensiteit I langs het strand. En die kunnen we nu meten door de detector langzaam langs het strand heen en weer te bewegen. Eerst wanneer alleen de eerste spleet open is , dan met de tweede spleet open is , dan met de tweede spleet open , en tenslotte met beide spleten open . En de detector meet daarbij achtereenvolens I1 , I2 isnietgelijk I12 . Dat verbaast echter allerminst ( want we weten tenslotte dat de -golffronten- die uitbeide spleten vertrokken zijn , onderweg met elkaar zullen -interfereren . Uitleg : wanneer we in een bepaald punt x op het strandde -golf- die uit spleet-1 komt , schrijven als : u1 = R1*sin ( 2*pi * t/T ) dan geldtvoor de intensiteitsverdeling I1 is-ongeveer R1-kwadraat , mits spleet 2 esloten is . ( hierbij stelt u de uitwijkin en R de amplitude van de golf voor.) . Evenzo kunnen we de golf die afkomsti is uit spleet-2 , in hetzelfde punt x , voorstellen door : u2 = R2*sin ( 2*pi *( t/ T + ksi )) . Hierbij is ksi het faseverschil tussen beide golven in het punt x ten gevolge van het verschil in afstand van de beide spleten tot dit punt . Dit faseverschil is dan een functie van de plaats x . Met alleen de tweede spleet open , vinden we dus voor de intensiteitsverdeling langs het strand : I2 isongeveer R2-kwadraat . Maar hoe is nu de intensiteitsverdeling met beide spleten open ? Zoals we weten kunnen we die vinden door beide golfuitwijkingen in het punt x op te tellen , ofwel : u12 = u1 + u2 = R1 *sin (2*pi*t/T ) + R2*sin(2*pi(t/T + ksi)) . DE INTENSITEITSVERDELING laat zich , na enig rekenwerk , dat nou nog niet wordt gegeven , betrekkelijk emakkelijk vinden : I12 = I1 + I2 + 2*vierkantswortel(I1 + I2)*cos(2*pi*ksi) . En dit is een belangrijk resultaat. We zien dat de intensiteitsverdeling met beide spleten open wordt gegeven door de som van beide "afzonderlijke intensiteiten -plus- no een derde term , de zogenaamde interferentieterm .Het is nu er belangrijk je te blijven realiseren dat dezeinterferentieterm komt vanwege het feit dat we niet gewoon de intensiteiten van beide golven mogen optellen , maar. de golfuitwijkingen . En ook dat de interferentie in een bepaald punzt wordt veroorzaakt door twee golven die dit punt langs verschillende wegen hebbenkunnen bereiken . Tot zover dit experiment : -optellen van golfruitwijkingen verklaart dat golven interfereren !! .**********************.
Een experiment met fotonen en elektronen .(een soort tweespleten-experiment met een monochromatische lichtbundel , ).We herhalen nu ons experiment nog een keer , maar nu met een monochromatische lichtbundel . Nou gebruiken we een detector die zo geconstrueerd. is daqt elke keer als een foton de detector bereikt , we via een luidspreker een ""klik"" horen . Als we dit expereriment uitvoeren , is het eerste dat ons opvalt dat we ""klikken""horen die volkomen willekeuri verdeeld zijn in de tijd . Alle klikken zijn even hard , er zijn dus geen "halve" bij of "dubbele" of "kwarten" . Maar het totale aantal klikken dat we binnen een bepaalde tijd horen , hangt wel af van de plaats van de detector op het scherm . Dit zelf gedrag hebben we al eerder evonden , namelijk bij het experiment met kogeltjes . We hebben bij dat experiment metalleen kunnen spreken over de KANS dat een kogeltje op een bepaalde plaats arriveert.--- KENNELIJK GELDT HETZELFDE VOOR FOTONEN !!!.Wat we meten is kennelijk de KANS dat een foton op een bepaalde plaats aankomt . Nou wij dit ons realiseren , gaan wij het experiment verder uitvoeren . Wij bepalen weer eerst de KANSVERDELING met alleen spleet-1 open en vinden dan P-1 . Dan spleet -2 open , dat geeft P-2 . Tenslotte krijgen we P-1.2 , als beide spleten open zijn . En wat blijkt nu ? P-1 + P-2 is-niet-elijk P-1.2 !!! Wij vinden , ondanks het feit dat we deeltjes dachten te tellen , toch een interferentiepatroon . Maar dat was toch de verwachting ? Licht bestaat toch uit elektromanetische golven , dus natuurlijk vind je interferentie . En over het golf-deeltje-dualisme van fotonen isal eerder esproken. Een foton ""gedraagt zich "" soms als deeltje en soms als golf ... ( Hoe is dat zo ? ) . Op grond van het deeltjes-karakter van fotonen verwachten we geen interferentie , net als bij de kogeltjes , en op grond van het golfkarakter verwachten we wel interferentie ,net als bij watergolven . Blijkbaar ""wint"" om een of andere reden in bovenstaande experiment het golfkarakter !!-----------Het is echter gecompliceerder . Met ook beide spleten open , waren er uitsluitend "klikken" gehoord , en , zoals ezegd , steeds dezelfde "klikken" . Kennelijk hebben wij steeds ""fotondeeltjes"" geselecteerd . Maar als we alleen fotonen gedetecteerd hebben , dan lijkt het duidelijk dat elk foton door de andere moet zijn gegaan. Dan verwacht je dat je beidekansverdelingen P-1 en P-2 gewoon zou mogen optellen. Het experiment wijst echter uit dat er bepaalde plaatsen zijn waarmet twee spleten open minder fotonen komen dan met een spleet open .Maar dat zou alleenkunnen wanneereen foton dat door de ene spleet gaat , """weet""" dat de andere spleet open of dicht is. OF het is zo dat eenfoton misschien op de een of andere manier door beide spleten tegelijk ? OF ""transformeert"" het foton zich als het bij de spleten aankomt, vlug in een brede golf , om zich zodra het de spleten gepasseerd is ,weer vlug """"in zijn "fotonhuid" terug te trekken ? OF zou het zo zijn dat twee fotonen, die ieder door een andere spleet gaan ,elkaar kunnen beinvloeden .Dat zijn zomaar een aantal wilde veronderstellingen die niet allemaal even zinvol lijken . Maar wat dan ? We gaan eerst nog wat verder experimenteren .Bijvoorbeeld : we verminderen de intensiteit van onze lichtbron steeds meer en meer . Tenslotte is de intensiteit zo laag geworden dat we kunnen berekenen dat de lamp bijvoorbeeld nog maar zoiets als een foton per seconde uitzendt . Maar dat betekent dan , dat ieder foton praktisch zeker , afzonderlijk zijn weg aflegt tussen de bron en de detector .. En dus kunnen nu de afzonderlijke fotonen elkaar zeker niet beinvloeden .-Als we nu weer in deze situatie de intensiteits-verdeling gaan meten ,horen we eerst zo nu en dan , ergens op het scherm , een klik . Aanvankelijk lijkt dit patroon volledig willekeurig . Naarmate we echter ons experiment langer laten duren , blijkt er geleidelijk aan toch structuur in het patroon te komen.------Wanneer het totaal aantal fotonen die een voor een het scherm treffen , maar groot genoeg is , zien we tenslotte toch weer ons vertrouwde interferentie-patroon verschijnen .--Blijkbaar is het zo , dat elk foton afzonderlijk op bepaalde plaatsen op het scherm wel aankomt en op andere plaatsen op het scherm wel aankomt en op andere plaatsen op het scherm niet .--Dat kan zo : -op de een of andere manier interfereert elk foton met zichzelf . Ook , en dat is wel belangrijk : -het gedrag van fotonen is alleen statistisch te beschrijven .Dit houdt in dat we omtrent het gedrag van een foton kennelijk niets kunnen zo zeggen . We kunnen enkel een uitspraak doen omtrent het gemiddelde gedrag van een groot aantal fotonen . Tot nou toe is nog steeds de vraag onbeantwoord , door welke spleet een foton nou eigenlijk heen gaat . We kijken eerst naar het resultaat van dit experiment .We hebben ""klikken"" gemeten . Elke ""klik"" correspondeert met een heel foton .Over de plaats waar elk individueel foton het scherm zou treffen , konden we niets met zekerheid voorspellen : bij elke plaats op het scherm bleek een KANS te horen dat een foton het scherm op die plaats zou treffen . Deze KANSVERDELING hebben we gemeten door veel fotonen te tellen . En toen bleek DAT DEZE KANSVERDELING VORM HAD VAN EEN INTERFERENTIE-PATROON !! Deze verschijnselen vragen om een theoretische verklaring . En daarbij is het duidelijk dat we normale ""deeltjes""- en ""golf""-theorieen niet kunnen gebruiken . Want die theorieen voorspellen immers verschijnselen die niet kloppen met onze waarnemingen !! ----Tot nou toe hebben wij alleen gepraat over fotonen. Maar dat is natuurlijk een niet noodzakelijke beperking . We kunnen gemakkelijk hetzelfde experiment herhalen MET ELEKTRONEN , of PROTONEN , NEUTRONEN , ENZOVOORTS . De uitkomst van deze experimenten , wat we kunnen waarnemen , lijkt nou niet meer moeilijk voorspelbaar .---------*************
EN : Een experiment met een elektronenkanon (ook weer een soort tweespleten-experiment ,)Tot nou toe hebben wij de discussie uitesteld over de vraag door welke spleet een foton -of een elektron- nu eigenlijk passeerde .We denken hierover na nou aan de hand ook van een experiment .Dit keer is het een echt gedachtenexperiment omdat dit experiment nooit precies zois uit te voeren . In ons vorige elektronen-experiment altijd HELE elektronen ,en alsonze detector maar snel genoeg kan tellen , detecteren we ze een voor een .Dus ligt de conclusie voor de hand : Als we afzonderlijke elektronen detecteren, dan moeten deze elektronen of door de ene spleet of door de andere spleet zijn gegaan ! Maar als dit waar zou zijn , dan zou je ook verwachten dat P-1.2 = P-1 + P-2 en dat bleek in strijd met onze metingen. We kunnen aldus NIET zeggen dat het de4eltje of door de ene of door de andere spleet is gegaan . We plaatsen nou , in de eerste opstelling , nou een sterke lichtbron achter het scherm met twee spleten .We weten dat licht verstrooid wordt door elektronen . Als er dan een elektron door een van de spleten passeert , zien we TEGELIJK een lichtflits bij die spleet . Of als het op een of andere manier door beide spleten zou gaan , moeten we tegelijk twee lichtflitsen zien , bij elke spleet een . ----Maar waarom gold , in ons eerste experiment toch niet P-1.2 = P-1 + P-2 ? Nou : elke keer als we een "klik" horen , zetten we een streepje in kolom-1 als we de lichtflits zien bij de eerste spleet en een streepje in kolom-2 , als de lichtflits bij de tweede spleet te zien is . Elk elektron wordt dus "ingedeeld" in een van die twee klassen . ( De interferentie is verdwenen ! ) . Als we naar de elektronen kijken , dan weten we door welke spleet ze zijn gegaan , maar daardoor is het interferentiepatroon verdwenen . Dit hadden we eigenlijk van te voren kunnen verwachten. We weten van het zogenaamde COMPTON-EFFECT (zie elders, bijvoorbeeld op deze pagina ) , dat bij een botsing tussen een elektron en een foton de impuls van het elektron verandert . Dit kan betekenen dat de richting , waarin het elektron bewoog , verandert , en wel zodanig dat het elektron in plaats van ergens op plaats van een interferentie-maximum , waar het naar op weg was , het nu terecht komt op de plaats waar een minimum was . Kortom , het interferentie-patroon verdwijnt .
EXPERIMENT . We veranderen daartoe de intensiteit van onze lamp . En we breiden onze boekhouding uit tot drie kolommen . Kolom 1 en 2 blijven hetzelfde als eerder beschreven , maar in kolom 3 noteren we die "klikken" , waarbij we geen lichtflits hebben gezien . En wat blijkt nu ? De elektronen die gezien zijn bij spleet 1 zijn weer verdeeld volgens P'-1 , bij spleet 2 volgens P'-2 en de elektronen die we niet gezien hebben , zijn verdeeld volgens P-1-2 ! Dus , net als we verwachten , geldt inderdaad : "elektronen" die niet gezien zijn , vertonen geen interferentie . "--Is er geen manier te bedenken om de elektronen wel te zien , maar ze toch niet te verstoren ? De intensiteit van de lamp nog verder verminderen helpt natuurlijk niet (waarom niet ?) . Maar we weten dat voor de impuls p van een foton geldt : p = h/lambda . Dus de impuls wordt kleiner als de golflengte van het gebruikte licht groter wordt . Dat zou misschien kunnen helpen . We kiezen nu een lamp die licht uitzendt van een grotere golflengte .
We herhalen nou het experiment met de nieuwe lamp . En steeds maar weer met andere lampen die licht uitzenden met nog steeds grotere golflengte . Eerst zien we weinig verschil ; DE RESULTATEN LIJKEN HETZELFDE TE BLIJVEN . Maar dan , als de golflengte maar steeds groter wordt , zien we langzaam aan het interferentie-patroon verschijnen . Onze opzet lijkt tenslotte gelukt . Het interferentie-patroon is terug ; de elektronen worden nauwelijks meer verstoord ! Maar hoe zit het nu met de vraag door welke spleet ze zijn gegaan ? Daarvoor hoeven we toch slechts naar de plaats van de lichtflitsen te kijken ? Bij elk elektron nemen we nog steeds een lichtflits waar . Maar met deze flitsen is inmiddels ook iets gebeurd . Deze zijn steeds groter geworden , naarmate de golflengte toenam . En wat blijkt nou ? Nou we eindelijk de juiste golflengte hebben gekregen , uit verstorings-standpunt gezien , nemen we bij elk elektron alleen nog maar een wazige lichtvlek waar , met een diameter die van dezelfde orde van grootte is als de afstand tussen de spleten . Met de golftheorie van het licht kunnen we dat trouwens ook wel begrijpen . Deze golftheorie zegt immers dat we twee punten alleen als GESCHEIDEN punten kunnen waarnemen , als hun afstand minimaal van dezelfde orde is als de golflengte van het gebruikte licht . ( vergelijk bijvoorbeeld ook bij buiging van lichtgolven of watergolven aan een spleet ).---Maar wat betekent dat nou voor de conclusie van dit experiment ? We moeten concluderen dat juist als de golflengte van het gebruikte licht zo groot is DAT DE VERSTROOIING KLEIN GENOEG IS om weer een interferentie-patroon mogelijk te maken , het niet meer mogelijk blijkt te zijn om te zeggen DOOR WELKE SPLEET de elektronen heen zijn gegaan ! Ofwel : het is blijkbaar ONMOGELIJK om ons experiment zo in te richten dat we kunnen bepalen door welke spleet de elektronen gaan , en toch een interferentie-patroon vinden . Hiermee hebben we een nieuw fundamenteel principe ontdekt .
EERST : """METEN IS WETEN""" ( spreuk van Rene Descartes ). ----We wilden weten door welke spleet de elektronen gingen . We bedachten daartoe een meetmethode . Maar bij het uitvoeren van de meting bleek dat HET MEETPROCES ZELF HET OBJECT VAN ONDERZOEK ernstig verstoorde . En : deze verstoring kon niet willekeurig klein gemaakt worden zonder de meting zelf onmogelijk te maken . De oorzaak hiervan wa , en een ""zacht"" foton liet het interferentie-patroon intact dat we minstens een foton nodig hadden om uberhaupt iets te kunnen waarnemen . Een ""hard"" foton gaf wel de plaats aan van het elektron , maar verstoorde het interferentie-patroon , en een "zacht" foton liet het interferentie-patroon intact , maar kon de plaats van het elektron niet meer nauwkeurig genoeg vastleggen . Het lijkt er dus op alsof we hier tegen een PRINCIPIELE GRENS aanlopen van wat we nog kunnen meten .
""( WETEN IS METEN : )"" ( naar Rene Descartes ) .---En , wat de oorspronkelijke vraag was : "IS HET NOU WEL OF NIET WAAR DAT ELK ELEKTRON OF DOOR SPLEET-1 OF DOOR SPLEET-2 GAAT ?"" . Het enige antwoord dat we kunnen geven , is dat we van het experiment geleerd hebben , dat we alleen maar hierover kunnen mededelen : dat in geval wanneer we naar de spleten kijken , of , algemener , in geval we een apparaat hebben dat in staat is te bepalen of de elektronen door de eerste spleet of door de tweede spleet gaan , dan KUNNEN we daarover ook INDERDAAD een uitspraak doen . Maar in geval we NIET naar de elektronen kijken , in geval er niets is in het experiment dat de elektronen verstoort , dan kunnen we ook niets zeggen over door welke spleet een elektron heen gaat . Alleen in geval we NIET KIJKEN en TOCH willen zeggen hoe de elektronen gaan , dan komen we in moeilijkheden . Anders : WE KUNNEN NIETS WETEN OVER DATGENE WAT WE NIET GEMETEN HEBBEN . -We weten alleen dat het elektron vanuit de bron op het scherm is terecht-gekomen . Maar we weten niet hoe , of langs welke baan , tenzij we dit expliciet observeren . Ook dit is een belangrijk principe dat we aan de Kwantummechanische theorie ten grondslag moet liggen . Van de Kwantummechanische theorie mogen we eisen en verwachten dat die een PRECIEZE VERKLARING GEEFT van datgene wat we hebben waargenomen . Maar ook niet meer : DE THEORIE KAN GEEN ZEKERE UITSPRAKEN DOEN OVER VERSCHIJNSELEN DIE NIET ZIJN GEMETEN .-----**einde........******************
******************************************************************
******Hier beneden volgen beschrijvingen van een aantal onderwerpen van de natuurkunde, die van belang zijn in de theorie van de kwantummechanica ..:
********FOTO-ELEKTRISCH EFFECT. (1905).............(Albert Einstein (1879-1955)).........Van al Albert Einsteins formidabele prestaties, inclusief de speciale ralativiteitstheorie en de algemene relativiteitstheorie, was het zijn verklaring van de werking van het FOTO-ELEKTRISCHE EFFECT (FE) , waarbij bestraling van een koperen plaat met bepaalde lichtfrequenties die plaat elektronen doet uitstoten, die hem de Nobelprijs bezorgde. Hij stelde dat pakketjes licht (nu fotonen genoemd) het FE konden verklaren, zoals blauw of ultraviolet, wel elektronenuitstoot veroorzaakte, maar laagfrequent rood licht niet, zelfs niet als het van grote intensiteit was. In feite neemt de energie van elk van de uitgestoten elektronen toe met de frequentie van het licht en heeft ze dus alles te maken met de kleur daarvan.........Volgens Einstein moest men de energie van licht niet verklaren vanuit het klassieke golfmodel, maar beschouwen als pakketjes, of KWANTUMS, en was die energie gelijk aan de lichtfrequentie, vermenigvuldigd met een constante ( later de constante van Planck genoemd)...***
*************DE BROGLIERELATIE. ( 1924) ( zie ook hierover op de hoofdpagina : onderwerpen natuurkunde ).....(binnenkort meer)
*************UITSLUITINGSPRINCIPE VAN PAULI. ( 1925) ( zie ook hierover op de hoofdpagina : onderwerpen natuurkunde )........( binnenkort meer)
*************COMPLEMENTARITEITSBEGINSEL. ( 1927 ). ...Niels Bohr ( 1885 - 1962 )......( De Deense natuurkundige Niels Bohr ontwikkelde eind jaren 20 van de vorige eeuw het concept van complementariteit om beter INZICHT te krijgen in de kwantummechanica) ( zie ook hierover op de hoofdpagina : onderwerpen natuurkunde) (binnenkort meer )
HOE DE KWANTUMHYPOTHESE TOT STAND KWAM .De beginselen van de speciale relativiteitstheorie werden in hoofdzaak binnen een tijdsbestek van slechts een jaar door een persoon (Einstein) ontwikkeld , maar de ontwikkeling van de kwantumtheorie strekte zich uit over bijna dertig jaar en veel natuurkundigen hebben er aan bijgedragen. Zoals ik elders heb beschreven , waren er aan het einde van de negentiende eeuw in de natuurkunde enkele niet-verklaarbare problemen , naar aanleiding van waarnemingen , dat waren uitkomsten van experimenten . Een van de waarnemingen die aan het eind van de negentiende eeuw onverklaard bleven , was het spectrum van het licht dat door hete voorwerpen wordt uitzonden . Er was bekend dat elk voorwerp straling uitzendt en dat de totale intensiteit van die straling evenredig is aan de vierde macht van de temperatuur in graden Kelvin . Bij gewone temperaturen heeft deze elektromagnetische straling een zeer geringe intensiteit , waardoor we er niets van merken . Bij hogere temperaturen ontstaat er zoveel infrarode straling , dat we dicht bij het voorwerp de warmte kunnen voelen . Bij nog hogere temperaturen beginnen voorwerpen zichtbaar te gloeien , bij ongeveer 1000K roodgloeiend , bij boven de 2000 K geelwit (witheet). De conclusie is dat naarmate de temperatuur van een lichaam toeneemt , de frequenties verschuiven waarbij de meeste elektromagnetische straling wordt uitgezonden naar steeds hogewre waarden van die frequenties . Een zwart lichaam is , omdat er makkelijk mee te rekenen valt , een geidealiseerd heet voorwerp dat alle straling die er op valt absorbeert . Maxwells theorie van het elektromagnetisme voorspelde dat trillende elektrische ladingen elektromagnetische golven doen ontstaan , en de straling die door hete voorwerpen werd uitgezonden , zo redeneerde men , was dus mogelijk een gevolg van de trillingen van elektrische ladingen in de moleculen van het materiaal . Echter : ofschoon dat de herkomst van die straling zou verklaren , stemden de voorspellingen van dit model niet goed overeen met het waargenomen spectrum van het uitgezondsen licht. De DOORBRAAK in deze impasse kwam tegen het einde van de 19e eeuw , toen Max Planck (1858-1947) een empirische formule vond (empirisch , dat wil zeggen opgesteld , naaraanleiding van de uitkomsten van experimenten) , die heel mooi met de waarnemingen overeenstemt : I( lambda , T ) = 2*pi*h *c-kwadraat *lambda-tot-de-macht-min5/(e-tot-de-macht-h*c/lambda*k*T - 1) . In deze formule is I (lambda, T) de intensiteit van de straling bij een temperatuur T als functie van de golflengte lambda ; k de constante van Boltzmann , c is de lichtsnelheid , en h is een nieuwe constante die tegenwoordig de constante van Planck wordt genoemd . Planck vond de waarde van de constante h door na te gaan bij welke waarde van h de grafiek voor zijn formule in overeenstemming was met de experimentele resultaten . Afgerond is h = 6,626 * 10-tot-de-macht-min34 J.s (J staat voor Joule) . VERVOLGENS ZOCHT PLANCK EEN THEORETISCHE GRONDSLAG VOOR ZIJN FORMULE , en ontdekte binnen twee maanden dat hij de formule kon afleiden door een nieuwe en radicale AANNAME te doen ( het radicale van die oplossing werd overigens pas later ingezien) . Planck nam aan dat de energie niet continu verdeeld is over de moleculaire oscillatoren , maar uit een eindig aantal zeer kleine discrete hoeveelheden bestaat , waarbij het verband tussen de hoeveelheid energie en de frequentie gegewven wordt door E-minimaal = h*f . De aanname van Planck suggereert dat de energie van elke moleculaire trilling altijd een geheel veelvoud van h*f is : E = n*h*f . n = 1,2,3......... .Deze aanname wordt vaak de kwantumhypothese van Planck genoemd .Waarschijnlijk zag Planck zijn aanname vooral als een wiskundig hulpmiddel dat hij nodig had , en niet als een ontdekking van iets fundamenteels in de natuurkunde . Planck zelf bleef dan ook zoeken naar een klassieke verklaring voor de invoering van h . Het inzicht dat het hier ging om een belangrijke en radicale vernieuwing ontstond pas later , nadat omstreeks 1905 anderen en met name Einstein zich met de kwestie gingen bezighouden.
DE THEORIE VAN LICHTFOTONEN .-------Eistein kwam in 1905, het jaar waarin hij ook de speciale relativiteitstheorie publiceerde, met een stoutmoedige uitbreiding van het kwantumidee. Hij stelde een NIEUWE LICHTTHEORIE voor. In het werk van Planck (zie hierboven) werd gesuggereerd dat de trillingsenergie van de moleculen in een stralend voorwerp gekwantiseerd is volgens E = n*h*f . Einstein redeneerde , met zijn fabuleuze genie waarmee hij -in zijn jonge jaren- aantoonde dat de natuur-de natuurkunde-de wereld-om-ons-heen anders in elkaar zit dan de klassieke gedachten erover, welke inzichten van de natuurkunde van Einstein gingen naar de grenzen van velen hun bevattingsvermogen ; persoonlijk heb ik in ieder geval de ervaring , dat je een tijd lang eerst moet wennen aan nieuwe , volgens het klassieke beeld onwaarschijnlijke, maar ware inzichten over de werkelijkheid , ongeveer als volgt : als de energie van de moleculaire oscillatoren op de bovenbeschreven manier is gekwantiseerd , moet de energie van een moleculaire oscilator die licht uitzendt daarbij minstens met een waarde f ( of met 2hf , enzovoort) verminderen ; als de energie van de oscillator oorspronkelijk nhf was , wordt die energie dus na uitzending van het licht (n-1)hf (opnieuw een veelvoud van hf ) . Wil er worden voldaan aan de wet van behoud van energie , dan moet het licht dus worden uitgezonden in pakketjes of kwanta , met elk een energie E = hf . Ook nu is h weer de constante van Planck .Alle licht komt uiteindelijk van een stralingsbron , en dat wekt het vermoeden dat licht mogelijk niet in de vorm van golven wordt verstuurd , maar in de vorm van zeer kleine deeltjes of , zoals we tegenwoordig zeggen , FOTONEN . Ook deze gedachte vormde een radicale afwijking van de klassieke inzichten . En : Einstein stelde een eenvoudig experiment voor , waarmee de kwantumtheorie van licht zou kunnen worden getoetst : kwantitatieve meting van het zogenaamde foto-elektrisch effect ( zie hierboven daarover ook) .
HET FOTO-ELEKTRISCHE EFFECT . Het foto-elektrisch effect is het verschijnsel dat een metaaloppervlak waarop licht valt, elektronen uitzendt .Dat een metaaloppervlak waarop licht valt elektronen uitzendt is zowel op grond van de klassieke elektromagnetische golftheorie als op grond van Eisteins fotonentheorie te verwachten . Het foto-elektrische effect kan worden waargenomen met behulp van een apparaat met twee elektroden , een metalen plaat P en een kleinere elektrode C , die samen in een glazen buis worden aangebracht , waarin een vacuum heerst , zodat er een zogenaamde fotocel ontstaat .De uitkomsten van bepaalde experimenten zijn volgens beide theorieen echter wat verschillend van elkaar . De beide elektroden worden , verbonden met een in serie geschakelde amperemeter en een spanningsbron er tussen . Wanneer de fotocel zich in het donker bevindt , wist de amperemeter 0 aan , maar valt er op de plaat licht van voldoende hoge frequentie , dan geeft de amperemeter aan dat er door de keten een stroom loopt . We kunnen de stroom in de keten verklaren door ons voor te stellen dat de elektronen via de vacuumbuis van de plaat naar het "verzamelpunt" C stromen . Welnu , een van de dingen die we met dit apparaat kunnen meten , is bijvoorbeeld de maximale kinetische energie (KEmax) van de uitgezonden elektronen . We kunnen dat doen door een variabele spüanningsbron te gebruiken , en de klemmen dan andersom aan te sluiten , zodat C negatief wordt en P positief . In dat geval zullen elektronen die vanuit P worden uitgezonden door de nu negatieve elektrode C worden afgestoten , maar als deze tegengerichte spanning klein genoeg is zullen de snelste elektronen C nog steeds bereiken , zodat er toch een stroom door de keten loopt. Wordt de omgekeerde spanning verhoogd , dan wordt er tenslotte een punt bereikt waarbij de stroomsterkte nul is - geen van de elektronen heeft dan voldoende energie om C te bereiken - en uit deze potentiaal , die we "stoppotentiaal" , V-0 , noemen , kan KEmax worden berekend : KEmax = e*V-0 We bekijken nu de details van het foto-elektrisch effect met respectievelijk de golftheorie en Einsteins deeltjestheorie , eerst de golftheorie . We verwachten met de golftheorie : 1) Als de intensiteit van het licht toeneemt , neemt het aantal uitgestoten elektronen toe en daarbij neemt ook de maximale KE van die elektronen toe . 2) De frequentie van het licht is niet van invloed op de KE van de uitgestoten elektronen .------De fotonentheorie komt tot geheel andere voorspellingen . Volgens deze theorie betekent verhoging van de intensiteit een toename van het aantal fotonen in de bundel , maar zolang de frequentie gelijk blijft - geen invloed op de energie van de afzonderlijke fotonen....Volgens de theorie van Einstein wordt een elektron uit het metaal weggestoten door botsing met een foton . Bij dit botsingsproces wordt alle energie van het foton overgedragen op het elektron , en daarbij houdt het foton op te bestaan. Omdat de elektronen in het metaal door aantrekkingskrachten worden vastgehouden , vereist het een bepaald minimum hoeveelheid energie W-0 ( de zogenaamde uittreedarbeid , die voor de meeste metalen enkele elektronvolts bedraagt ) om een elektron uit het oppervlak los te maken . Als de frequentie f van het invallende licht zo laag is , dat hf kleiner is dan W-0 , hebben de fotonen niet voldoende enegie om ook maar een elektron vrij te maken Is hf groter dan W-0 , dan worden er wel elektronen vrijgemaakt, en daarbij blijft de energie behouden . Op grond van bovenstaande overwegingen komt de fotonentheorie tot de volgende voorspellingen : 1)Naarmate de intensitiviteit van de lichtbundel hoger is , wordt het metaal door een groter aantal fotonen getroffen , en worden er dus meer elektronen vrijgemaakt ; maar aangezien de energie van de afzonderlijke fotonen gelijk blijft , blijft ook de maximale energie van de vrijgekomen elektronen gelijk . 2) De maximale kinetische energie van de elektronen is recht evenredig aan de frequentie van het licht . 3) Is de frequentie f lager dan de "afsnij-"frequentie f-0 gegeven door h*f-0 = W-0 dan worden er helemaal geen elektronen vrijgemaakt.-............Het is duidelijk dat de voorspellingen van de fotonentheorie sterk verschillen van die van de golftheorie. In 1913-1914 werden er door R.A. Millikan nauwkeurige experimenten gedaan , en de uitkomsten kwamen volledig overeen met de voorspellingen van de fotonentheorie van Einstein.
OVER DE ONBEPAALDHEID . Elke meting die we doen gaat gepaard met een zekere mate van imprecisie . We verwachten evenwel dat we de imprecisie in het meetresultaat in principe willekeurig klein kunnen maken door met steeds nauwkeurigere instrumenten te meten . Volgens de kwantummechanica echter (zie boven : het onzekerheidsprincipe van Heisenberg) is er een onoverschrijdbare grens aan de nauwkeurigheid van bepaalde metingen , en deze grens wordt niet bepaald door de kwaliteit van ons meetinstrument , maar wordt ons opgelegd door de natuur . De ONBEPAALDHEID waarover we het hier hebben , is het gevolg van twee factoren , namelijk van het feit dat deeltjes tegelijk ook golfeigenschappen hebben (dualitiet golf-versus-deeltje ) en van de onvermijdelijke interactie tussen het waargenomen systeem en het waarnemings-instrument. Zoals ook elders gezegd , heeft een golf geen vaste positie7plaats , terwijl een deeltje , dat is materie , geen golflengte en geen frequentie heeft. In de relaties van de kwantummechanica (en ook in de onzekerheidsrelaties van de kwantummechanica van Heisenberg) E = h*f en p = h/lambda staan zowel enerzijds golflengte en frequentie (lambda en f) als anderzijds de plaats en de snelheid (N.B. impuls p = m*v) , waaruit ook het duale karakter van de materie spreekt .
Van 1925 , een jaar voor zijn publicatie over het onzekerheidsprincipe in de kwantummechanica ,toen hij pas 24 jaar oud was , is de matrix-kwantummechanica van Heisenberg . In datzelfde jaar 1925 kwam Schrodinger met zijn golf-kwantummechanica . Centrale vergelijking van de matrixmechanica is p*q - q*p =-i*h/(2*pi) .met q de plaats en p de impuls van het kwantumobject . Indien deze p en q matrices zijn , weten we uit de lineaire algebra , dat hun produkt in het algemeen gesproken niet commutatief is , dus p*q is-niet-gelijk q*p--------( zie verder naar beneden)
HEISENBERG (1901-1971)vertelde later over de periode 1924-1925 , toen hij diverse perioden zuiver theoretisch onderzoek deed naar ondermeer hoe een atoom er in feite uitziet ,over dat de baan van een elektron van het waterstofatoom rondom de kern niet waarneembaar is , dat hij besloot af te stappen van het idee van elektronen in een baan om de kern van een atoom . Heisenberg idee was nu : HET WAARNEEMBARE TE ONDESCHEIDEN VAN HET ONWAARNEEMBARE .Alles wat onwaarneembaar was besloot hij te negeren ( een methode van wetenschapsbeoefening en andersortigs onderzoek , door Hume reeds voorgeschreven), en hij richtte zijn aandacht uitsluitend op grootheden die in het laboratorium te meten waren : de frequenties en intensiteiten van de spectraallijnen die verband hielden met het licht dat werd uitgezonden of geabsorbeerd wanneer een elektron van het ene naar het andere energieniveau sprong . En Heisenberg die zich ondermeer wegens ernstige hooikoortsklachten , in de zomer van 1925 met studieboeken en zo en papier en potlood , een paar weken in een pension op het Duitse Noordzee-eiland Helgoland vestigde , kwam tot zijn levenswerk : in 1925 de matrix-kwantummechanica en in 1926 het onzekerheidsprincipe van de kwantummechanica .
CITATEN .------Er is geen kwantumwereld . Er is alleen een abstracte kwantummechanische beschrijving.-Niels Bohr.---------Ik geloof nog steeds in de mogelijkheid van een model van de werkelijkheid.--dat wil zeggen , van een theorie die de dingen zelf voorstelt en niet alleen de kans dat ze zich voordoen.--Albert Einstein.
HET KLASSIEKE HEELAL ( in feite wordt bedoeld , overzoals het heelal eruit zou zien, over ook hoe ook de natuurwetten eruit zouden zien , volgens het (inmiddels onjuist gebleken) zogenaamde klassieke inzicht), gebaseerd op het door Newton gelegde fundament , was een deterministische, mechanische kosmos . Als de exacte plaats en snelheid van een object , deeltje of planeet , op een willekeurig moment bekend zijn , kunnen plaats en snelheid ervan , zelfs na Einsteins relativistische verandering , in principe voor de eeuwigheid worden bepaald . MAAR in HET KWANTUMHEELAL ( in feite wordt bedoeld , over hoe het heelal eruitziet , wanner je rekening houdt met de effecten van de kwantummechanica) was geen plaats voor het determinisme van het klassieke , waarin alle verschijnselen zijn te beschrijven als een causaal verloop van gebeurtenissen in ruimte en tijd . "Omdat alle experimenten zijn onderworpen aan de wetten van de kwantummechanica , en dus aan de vergelijking delta-p*delta-q is ongeveer h ," beweerde Heisenberg in de slotalinea van zijn onzekerheidsartikel vrijmoedig , "volgt daaruit dat de kwantummechanica het definitief tekortschieten van de causaliteit bevestigt . Alle hoop op herstel ervan was even "vergeefs en zinloos" als een resterend geloof in een "echte" wereld , verborgen achter "de waargenomen statistische wereld" , zoals Heisenberg het noemde . Het was een opvatting die door Bohr , Pauli en Born werd gedeeld .
Op de internationale zogenaamde Solvay topconferentie met vrijwel alle grote natuurkundigen in 1927 in Brussel , kwam EINSTEIN vaak met gedachte-experimenten (bijvoorbeeld verwant aan het twee-spletenexperiment , een variant erop -zie boven ) MET EEN NIEUW VOORSTEL DAT HET ONZEKERHEIDSPRINCIPE EN DAARMEE DE CONSISTENTIE VAN DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE IN TWIJFEL TROK.
"Ik heb honderd keer zo veel nagedacht over de kwantumproblematiek als over de algemene relativiteitstheorie ," heeft Einstein eens gezegd . Dat Bohr het bestaan van een objectieve werkelijkheid afwees in zijn poging te begrijpen wat de kwantummechanica hem over de atoomwereld vertelde (zie boven ook) , was voor Einstein een onmiskenbaar teken dat de theorie hooguit maar een deel van de hele waarheid bevatte . De Deen bleef erbij dat er geen kwantumwerkelijkheid is buiten wat er door een experiment , een waarneming , zichtbaar wordt gemaakt . "Ontegenzeggelijk is het LOGISCH MOGELIJK daarin te geloven ", erkende Einstein , "maar het druist zo tegen mijn wetenschappelijke INSTINCT in , dat ik het niet kan nalaten naar een vollediger concept TE ZOEKEN ." Einstein bleef " ""GELOVEN"" IN DE MOGELIJKHEID EEN MODEL VAN DE WERKELIJKHEID TE GEVEN DAT GEBEURTENISSEN ZELF VOORSTELT ,en niet alleen maar de kans dat ze plaatshebben" . Toch heeft Einstein , die in 1955 overleed , bij leven Bohrs Kopenhaagse interpretatie uiteindelijk niet kunnen weerleggen . ..HOE EINSTEIN RECENT , NA HET JAAR 2000 , HIERIN UITEINDELIJK TOCH IN HET GELIJK IS GESTELD:----Ik heb hierover gelezen : De opkomst van andere dan de Kopenhaagse interpretaties van de kwantummechanica en het feit dat de aanspraak op volledigheid van de kwantummechanica ernstig wordt betwijfeld , hebben geleid tot een herziening van het oude """"oordeel""""" tegen Einstein in zijn langlopende debat met Bohr . "Kan het werkelijk waar zijn dat Einstein , in significante zin , zo pertinent "ongelijk" had als de volgelingen van Bohr misschien zouden beweren ?" vraagt de Britse wis- en natuurkundige sir Roger Penrose . "Ik denk het niet. Zelf zou ik ronduit de zijde van Einstein kiezen in zijn geloof in een submicroscopische werkelijkheid , en in zijn overtuiging dat de huidige kwantummechanica ten diepste onvolledig is ."---------------Wat wordt er nu eigenlijk verworpen ? Zeker niet de kwantummechanica . De experimenten die tot op heden worden gedaan bevestigen alleen maar , door hun verwachte uitkomsten , dat de kwantummechanica een goede theorie is en ook volkomen juist is .In feite is verworpen dat de kwantummechanica niet dingen zoals die echt zijn beschrijft. Ook het onzekerheidsprincipe en de waarschijnlijkheidsfunctie van Schrodinger beschrijven op hun manier reeel bestaande dingen, zoals de natuur , de natuurkundige werkelijkheid , het desbetreffende aspect van de wereld-om-ons-heen , echt is .
Ook al heeft Einstein in zijn ontmoetingen met Bohr nooit een beslissende klap kunnen uitdelen , hij heeft zijn uitdaging wel lang volgehouden , en ermee TOT NADENKEN GESTEMD . Daardoor werden mensen als Bohm , Bell en Everett (er is veel goede literatuur en dergelijke beschikbaar over het werk van hen) aangemoedigd Bohrs Kopenhaagse interpretatie te onderzoeken en te evalueren toen die allesoverheersend was en slechts weinigen onderscheid maakten tussen theorie en interpretatie ; interpretatie is geen verschil van mening over hoe de werkelijkheid , de wereld , de natuur in feite in elkaar zit en wat wij er in feite van weten en niet van weten , maar een filosofisch probleem .Het debat-Einstein-Bohr over de aard van de werkelijkheid was de inspiratie achter de stelling van Bell.
BELL had in 1964 ontdekt wat Einstein en Bohr niet konden vinden : een wiskundige stelling die kon kiezen tussen hun tegengestelde filosofische wereldbeschouwingen . N B . Einstein beweerde vaak dat de kwantummechanica onvolledig was . Wat precies bedoeld wordt met onvolledig , blijkt uit hier beneden . Het DEBAT tussen Einstein en Bohr ging evengoed over het soort natuurkunde dat als zinvolle theoretische beschrijving van de werkelijkheid aanvaardbaar was als over de aard van de werkelijkheid zelf .------------John Stewert Bell (1930-1961) was een Ierse natuurkundige en zijn inspiratie voor zijn baanbrekende stelling kwam voor een deel uit het werk dat begin jaren 50 was verricht door de Amerikaanse , wegens vermeende communistische sympathieen , in ballingschap gedreven , natuurkundige David Bohm . In februari 1951 publiceerde Bohm het boek "Quantum Theory" , waarin hij de interpretatie van de theorie en het zogenaamde ERP-gedachten-experiment vrij gedetailleerd onderzocht . Einstein ,Podolsky en Rosen (ERP) hadden omstreeks 1935 een denkbeeldig experiment met een paar gecorreleerde deeltjes , A en B , verzonnen , die zo ver van elkaar verwijderd waren dat het onmogelijk moest zijn dat ze een fysische interactie met elkaar hadden . Het doel van EPR was te demonstreren dat deeltje B het aan een kenmerk van A gecorreleerd onafhankelijk van meting bezat , en aangezien dat iets was wat de kwantummechanica niet beschreef , was die theorie ONVOLLEDIG .Bohr repliceerde , dat de twee deeltjes verstrengeld waren en een systeem vormden , hoe ver ze ook van elkaar verwijderd waren . Als je het ene mat , mat je daarom ook het andere . Bohm schreef : Als te bewijzen was wat ze (EPR) beweren , zou men geneigd zijn naar een VOLLEDIGER (KWANTUM-)THEORIE te zoeken , misschien met zoiets als verborgen variabelen , waarbij de huidige kwantumtheorie een beperkend geval zou zijn , wat onverenigbaar is met het heersende Kopenhaagse standpunt . N.B. Verborgen variabelen in een hier natuurkundige theorie , in feite een verborgen , onderliggende werkelijkheid , zijn dingen waarmee de theorie geen rekening houdt , maar die ere toch zijn en er toe doen . Zo wordt er in de wet van Boyle , dat de4 druk van een gas omgekeerd evenredig is met zijn volume , geen rekening gehouden met de moleculen , waaruit dat gas bestaaten die door hun bewegig , de druk veroorzaken .-----------In 1932 had de toen 28-jarige oorspronkelijk Hongaarse grote wiskundige John von Neumann het boek geschreven :"Mathematical Foundations of Quantum Mechanics" . Von Neumann kwam tot de conclusie dat de kwantummechanica als een deterministische theorie niet kon worden hergeformuleerd door verborgen variabelen te introduceren . Het zou uiteindelijk Bell zijn die aantoonde dat echter een van de door Neumann gebruikte aannamen ongerechtvaardigd was . In 1964 tijdens een sabbatical jaar van CERN vond Bell er de tijd voor zich in het DEBAT EINSTEIN-BOHR te mengen . Bell besloot uit te zoeken of zogenaamde non-lokaliteit een speciale eigenschap van Bohrs model was , DAN WEL een kenmerk van elke verborgen-variabelen-theorie die beoogde de uitkomsten van de kwantummechanica te reproduceren . In zijn poging af te komen van wat Einstein smalend aanduidde als "spookachtige werking op afstand" , non-lokale invloeden die ogenschijnlijk van de ene plaats naar de andere werden overgedragen , heeft Bell zijn beroemde stelling afgeleid . Hij keek allereerst naar een in 1951 door Bohm bedachte versie van het EPR-gedachte-experiment die eenvoudiger was dan de oorspronkelijke . Hadden Einstein , Podolsky en Rosen twee eigenschappen van een deeltje gebruikt , plaats en impuls , Bohm gebruikte er maar een , kwantumspin . Een elektron had maar twee mogelijke spintoestanden , "spin-up" en "spin-down" . Volgens Bohr heeft elektron A noch elektron B tot het moment van meting een vooraf bestaande spin langs welke as dan ook . Let wel A en B zijn hier verstrengelde deeltjes (zie boven) . Omdat er in de kwantummechanica geen plaats is voor de vooraf bestaande spintoestanden van het elektronenpaar , concludeerde Einstein dat de theorie ONVOLLEDIG was . Hij vocht de juistheid van de theorie niet aan (Nee hoor , dat deed Einstein helemaal niet ; ook hij vond de kwantummechanica een uitstekende theorie die veel uitkomsten van experimenten correct voorspelde en veel toepassingen zou hebben ) , maar zei alleen dat ze GEEN VOLLEDIG BEELD VAN DE NATUURKUNDIGE WERKELIJKHEID OP KWANTUMNIVEAU gaf .Einstein ""geloofde"" in "lokaal realisme" , dat een deeltje niet meteen beinvloed kan worden door een gebeurtenis op afstand EN dat de eigenschappen van het deeltje onafhankelijk van meting bestaan . Helaas kon Bohms knappe omwerking van het oorspronkelijke EPR-experiment geen onderscheid maken tussen het standpunt van Einstein en Bohr . De geniale zet van Bell was dat hij een uitweg uit de impasse vond door de relatieve orientatie van de twee spindoctors te veranderen . Als de spindetectors zo worden opgesteld dat ze parallel staan is er een correlatie van 100 procent tussen de twee meetverzamelingen : telkens als de ene detector spin-up meet , registreert de andere spin-down en andersom . Bell besefte dat een werkelijk experiment , in het laboratorium uitgevoerd , waaruit bleek dat spin-correlaties overeenstemden met de voorspellingen van de kwantummechanica gemakkelijk was aan te vechten . Toen deed Bell een verrassende ontdekking . Het was mogelijk te kiezen tussen de kwantummechanica en welke verborgen-variabelen-theorie dan ook door de correlaties van elektronenparen bij een bepaalde opstelling van de spindetectors te meten en het experiment dan met andere orientatie te herhalen . Bell ontdekte dat er in het zogenaamde etherische kwantumdomein een hoger correlatieniveau is als de kwantummechanica "oppermachtig" heerst dan in een wereld die steunt op verborgen variabelen en lokaliteit . De stelling van Bell luidde dat geen enkele verborgen-variabelen-theorie dezelfde verzameling correlaties kon reproduceren als de kwantummechanica . De stelling van Bell maakte het mogelijk de door Einstein verdedigde lokale werkelijkheid , die inhoudt dat de kwantumwereld los van waarneming bestaat en dat natuurkundige effecten niet sneller kunnen worden overgedragen dan met desnelheid van het licht , te toetsen aan Bohrs Kopenhaagse interpretatie . Je krijgt nu de EXPERIMENTELE FILOSOFIE ! Het was nu Einstein versus Bohr in het laboratorium . Pas in 1969 kreeg Bell een brief van de jonge natuurkundige John Clauser in Berkeley in Californie , met de mededeling dat hij en anderen een experiment hadden ontworpen om de ongelijkheid in het laboratorium daadwerkelijk te toetsen . In plaats van elektronen gebruikten Clauser en de zijnen gecorreleerde fotonenparen in hun proef . Fotonen hebben een eigenschap die polarisatie wordt genoemd . In 1972 was het zo ver . Clauser en Freedman verhitten calciumatomen tot die zoveel energie hadden gekregen dat er een elektron van de grondtoestand naar een hoger energieniveau kon springen . Toen het elektron in de grondtoestand terugviel , deed het dat in twee stadia en gaf het een verstrengeld paar fotonen af , het ene groen en het andere blauw . Hun polarisaties werd door twee detectoren tegelijkkertijd , onder orientatie van elkaar van 22,5 graden en later van 67,5 graden gemeten en het resultaat na 200 uur meten was dat het niveau van de fotoncorrelaties de ongelijkheid van Bell "schond" , een uitkomst in het voordeel van Bohr . In de periode 1972-1977 werden door verschillende teams nog meer zulke experimenten gedaan , waarvan enkele resultaten niet in het voordeel van Bohr maar van Einstein uitwezen . Daardoor was er toen twijfel aan de efficientie van de experimenten . In 1981 en 1982 deden de franse promovendus Aspect en zijn medewerkers met de modernste apparatuur , inclusief lasers en computers , weer proeven om Bells ongelijkheid te toetsen . Ook nu werd de ongelijkheid van Bell "geschonden" , dus het voordeel voor Bohrs theorie . Bell gaf toe dat de experimenten hadden uitgewezen dat "Einsteins wereldbeschouwing niet houdbaar is" .----------------De werkelijkheid die Einstein zich voorstelde had lokaliteit en werd beheerst door causale wetten die de natuurkundige moest ontdekken . Einstein "geloofde" in realisme , causaliteit en lokaliteit ."God dobbelt niet" , heeft Einstein dikwijls en gedenkwaardig gezegd , het eerst tegen Max Born in 1926 Het was zijn kordate afwijzing van de Kopenhaagse interpretatie en geen hoeksteen van zijn wetenschappelijke opvatting van de wereld . Einstein bedoelde ermee te zeggen dat in de natuur , ook de dode natuur , ook in zaken die door de mechanica en bijvoorbeeld door de kwantummechanica beschreven worden een doel zit , althans een functie , die is zoals die is , en die de wereld draaiende houdt , zoals die draait . Pauli zei Later dat Einsteins uitgangspunt niet "deterministisch" is , maar "realistisch" . ((N.B. Einstein was niet gelovig . Hij heeft gezegd dat hij niet geloofde in een hogere macht (dan de mens) ; niet in een persoonlijke god , tot wie men zich met bidden kan wenden en die het heelal met ook het leven heeft geschapen en die alles van je weet , en dat hij een groot bewonderaar was van de Nederlandse filosoof Spinoza die omstreeks 1630 leefde . Met "god" bedoelde Einstein , wat Spinoza er mee bedoelde , eigenlijk licht spottend , de natuur , de natuurkundige werkelijkheid , de wereld om ons heen ; dat is wat anders dan dat Einstein pricipieel onvoorspelbaarheid van de natuur onbestaanbaar achtte; bepaalde dingen in de kwantummechanica gingen echter, zoals hierboven ook vermeld , en wat hij erover gezegd heeft , tegen zijn natuurkundige "instinct" .))))Wat Einstein dwars zat zou niet het dobbelen zijn geweest , maar het feit dat in de Kopenhaagse interpretatie (zie boven ) "de voorstelling van een los van de waarneming gedachte werkelijkheid wordt afgewezen." "Centraal is het probleem, " schreef Einstein in 1950 over de kwantummechanica , "staat niet zo zeer de kwestie van causaliteit als wel van realisme." Al jaren hoopte hij "het kwantumraadsel nog eens te kunnen oplossen zonder "de voorstelling van de werkelijkheid" te hoeven opgeven " . Voor de --bedenker---( moet eigenlijk zijn ontdekker) van de relativoiteitstheorie moest die werkelijkheid lokaal zijn , zonder ruimte voor invloeden sneller dan het licht . De schending van de ongelijkheid van Bell (zie boven) betekende dat Einstein , als hij een kwantumwereld wilde die los van waarnemers bestond , de lokaliteit zou moeten opgeven . Echter ook : De stelling van Bell kan niet uitmaken of de kwantummechanica VOLLEDIG IS OF NIET , maaralleen kiezen tussen de kwantummechanica en een lokale verborgen-variabeklen.theorie .Als de kwantummechanica klopt -en dat "geloofde" Einstein , omdat de theorie elke experimentele toets uit zijn tijd had doorstaan- , impliceerde de stelling van Bell dat een verborgen-variabelen-theorie die de uitkomsten ervan reproduceerde non-lokaal moest zijn . In 2006 werd een groep van de universiteiten van Wenen en Gdansk de eerste die non-lokaliteit en realisme aan een proef onderwierp . In 2003 , publiceerde Leggett een nieuwe ongelijkheid , die non-lokale verborgen-variabelen-theorieen uitspeelde tegen de kwantummechanica .
Hugh Everett. In 1957 promoveerde Everett in Princeton in de Verenigde Staten op een proefschrift "Over de grondslagen van de kwantummechanica" , waarin hij aantoonde dat elke mogelijke uitkomst van een kwantumexperiment was te behandelen alsof hij in een echte wereld bestond .Everett noemde zijn interpretatie de "relatieve-toestand-formulering van de kwantummewchanica" en toonde aan dat zijn aanname dat alle kwantummogelijkheden bestaan tot dezelfde kwantummechanische voorspellingen leidde als de Kopenhaagse interpretatie .Everetts idee ging de "veelwerelden-interpretatie" heten en werd serieus genomen door kwantumkosmologen bij hun moeizame pogingen het mysterie van het ontstaan van het heelal te verklaren.....
HET TOETSEN VAN DE ONGELIJKHEID VAN BELL heeft direct of indirect geholpen nieuwe onderzoeksterreinen te creeren , zeker ook aan de TU-Delft , onder andere kwantumcryptografie , kwantuminformatietheorie en kwantumrekenen . Een van de opvallendste van die nieuwe terreinen is KWANTUMTELEPORTATIE , waarbij gebruik wordt gemaakt van de verschijnselen van VERSTRENGELING .In 1997 is het twee teams natuurkundigen gelukt een deeltje te teleporteren . Het deeltje werd niet fysiek verplaatst , maar zijn kwantumtoestand werd overgedragen op een tweede deeltje dat zich elders bevond, waarbij het eerste deeltje in feite van de ene plaats naar een andere werd "GETELEPORTEERD" . N.B. De TU-Delft doet ook onderzoek op dit gebied en het is hen dit jaar (2014) ook gelukt een deeltje te teleporteren en er worden binnenkort nog meer opzienbarende resultaten -van experimenten - verwacht .------Zoals het er heden voorstaat , moet teleportatie van kwantumeigenschappen , over een in principe willekeurg grote afstand , van het ene deeltje naar het andere deeltje , die met elkaar "verstrengeld" zijn , wat anders dan informatie die overkomt met de snelheid van het licht van het ene deeltje naar het andere. Een deeltje heeft ook een golfkarakter en we weten dat een golf een verstoring in een al dan niet elektromagnetisch VELD is , welke verstoring zich door de ruimte voortplant . (later meer)
DE DIRAC-VERGELIJKING . Een ernstige beperking van de Schrodinger-vergelijking (zie boven) is dat die niet strookt met de relativiteitstheorie . De Dirac-vergelijking doet dat wel : ze brengt de kwantummechanica en de speciale relativiteitstheorie samen en beschrijft relativistische kwantumeigenschappen van deeltjes als elektronen , protonen , neutrino's en quarks .Analyse van deze vergelijking verschafte een elegante uitleg van ongrijpbare eigenschappen als spin , en een solide basis voor het Pauli-uitsluitingsprincipe dat nodig is om de atoomstructuur en het periodiek systeem der elementen te verklaren . Bovendien voorspelde de vergelijkling het bestaan van antimaterie : het feit dat er voor elk "soort" deeltje een bijbehorende soort bestaat met tegenovergestelde eigenschappen ( zoals lading) , maar met dezelfde massa . -----------Dat de Schrodinger-vergelijking onverenigbaar is met de speciale relativiteitstheorie blijkt uit het feit dat de variabelen voor ruimte en tijd x en t niet op gelijke voet in de vergelijking voorkomen : er staat een eerste afgeleide naar de tijd in , maar een tweede afgeleide naar de ruimtelijke coordinaten .De Dirac-vergelijking heeft nog al een ingewikkelde structuur . Er is een index mu die de waarden 0 , 1 , 2 of 3 kan aannemen , voor de tijd en de drie ruimtecomponenten , die dus inderdaad op gelijke voet voorkomen . De vier velden A-mu , "elektromagnetische potentialen" genoemd , beschrijven het elektromagnetische veld waarin het elektron beweegt , en m-e is de elektronmassa . Het veld van het elektron wordt beschreven door een functie met vier componenten , W . De zogeheten "gamma-matrices" gamma-mu zijn vier numerieke matrices (elk vier rijen en vier kolommen met getallen ) die op een vastgestelde wiskundige manier moeten worden vermenigvuldigd met de componenten van W ......De Dirac-vergelijking : { gamma-mu*(i*delta/deltax-mu - e*A-mu ) - m-e}W(ksi-v) = 0 .-----Na analyse van de vergelijking wordt de betekenis van de vier componenten van het Dirac-veld duidelijhk Een aspect is de eigenschap SPIN , die je je kunt voorstellen als een soort intrensieke rotatie van het deeltje . Het elektron is als een kwantumversie van een piepklein tolletje , dat links- of rechtsom kan draaien . Merkwaardig is dat de vergelijking niet alleen de twee spincomponenten van het elektron bleek te beschrijven , maar ook beidespincomponenten van een ander deeltje met precies dezelfde massa , maar een tegenovergestelde (positieve) lading .Dat deeltje wordt daarom positron genoemd . Dit eerste "antideeltje" is in 1932 door C.D. Anderson ontdekt. Later bleek dat alle elementaire deeltjes in de natuur antideeltjes hebben . Verdere analyse van de Dirac-vergelijking leidde ook tot een uitleg van het Pauli-uitsluitingsprincipe . Deze regel , waaraan alle elektronen en andere Dirac-achtige deeltjes zich moeten houden , zegt dat twee of meer van zulke deeltjes nooit in precies dezelfde kwantumtoestand kunnen zijn . Het was een essentiele maar tot dan toe ad hoc ingredient van de kwantumtheorie , vereist om het periodiek systeem te verklaren . OMDAT DE ELEKTRONEN IN EEN ATOOM NIET ALLEMAAL OP HET LAAGSTE ENERGIENIVEAU KUNNEN ZITTEN , MOETEN ZE WEL SYSTEMATISCH DE HOGERE NIVEAUS OPVULLEN , WAARDOOR VERSCHILLENDE SOORTEN ATOMEN VERSCHIOLLENDE CHEMISCHE EIGENSCHAPPEN VERTONEN .--------
KWANTUMELEKTRODYNAMICA (QED) ........De Dirac-vergelijking en de wetten van Maxwell vormden samen het begin van deKwantumelektrodynamica , de kwantumtheorie van elektronen , positronen en fotonen . Deze theorie werd na de Tweede Wereldoorlog voltooid door de Amerikaanse fysici Richard Feynman en Julian Schwinger en de Japanner Shin-Ichiro Tomonaga--De QED is bijzonder grondig getoetst en is het prototype van wat tegenwoordig een KWANTUMVELDENTHEORIE wordt genoemd , het kader waarbinnen nu de relativistische dynamica van elementaire deeltjes en fundamentele krachten wordt geformuleerd. Opmerkelijk is dat in deze theorie het onderscheid tussen krachten en de deeltjes waarop ze werken , verdwenen is : kwantumvelden beschrijven ze allebei . Een kracht wordt voorgesteld als de uitwisseling van een deeltje , dat de kracht "draagt" ; in het elektromagnetisme is dat het bekende foton . Met deze theorie kunnen we nu hopen op een alles overkoepelende theorie voor alle fundamentele wisselwerkingen in de natuur , waarvoor de SNAARTHEORIE in aanmerking komt .
KWANTUMCHROMDYNAMICA (QCD)-----Voor zover we momenteel weten , zijn er in de natuur vier fundamentele krachten. De zwaartekracht en elektromagnetisme zijn we in de macroscopische wereld tegengekomen maar er waren feiten die niet met deze twee krachten verklaard konden worden .Er is een kracht die sterker is dan de elektromagnetische kracht -vanzelfsprekend de sterke kracht genoemd- die de kern bijeenhoudt en die dezelfde werking heeft op protonen en neutronen .De theorie die deze kracht beschrijft , heet KWANTUMCHROMODYNAMICA (QCD) In de jaren zeventig van de vorige eeuw ontdekte men dat protonen en neutronen zelf ook weer samengestelde deeltjes zijn , die elk bestaan uit drie zogenaamde kwarks . Kwantumchromodynamica beschrijft het gedrag van kwarks en de sterke kracht. De dragers van deze kracht heten gluonen .De Amerikaanse natuurkundige Murray Gell-Mann en Georg Zweig formuleerden rond 1970 de kwantumchromodynamica . Essentieel voor de succesvolle voorspellingen van de theorie was de ontdekking van de asymptotische vrijheid - dat is de eigenschap dat de sterke wisselwerking zwak wordt op kleine afstanden . Hoe is het mogelijk dat we een hele theorie kunnen weergeven in een formulke ? L wordt de Lagrangiaan genoemd . Het is een uitdrukking in termen van de velden en hun afgeleiden die nauw samenhangt met de uitdrukking voor energie .---------L-QCD = -1/4*F-mu-v--a*F-a--mu-v + SIGMA-f W-f(i*delta - M + g-s*A-a*T-a)W-f en F-a--mu-v = delta-mu*A-a--v - delta-vA-a--mu + g-s*f-a--bcA-b--muA-c--v .De kwantumchromodynamica wordt gegeven door de eerste vergelijking . De tweede vergelijking definieert de zogenaamde kleurvelden F in termen van de kleurpotentialen A . De eerste term die F in het kwadraat bevat , beschrijft de gluonen ( aangeduid met de index a ) en de sterke wisselwerking ertussen . De elektromagnetische kracht heeft maar een soort krachtdeeltje , het foton , maar bij de kwantumchromodynamica hebben we te maken met wel acht verschillende gluonen . Ze voldoen aan de zogenoemde Yang-Mills-vergelijkingen die een fraaie generalisatie van de wetten van Maxwell vormen . De tweede term met de twee W-velden , beschrijft de 6 verschillende soorten kwarks (aangeduid met f) . Hierin komt een deel voor met A-a -velden , dat de interactie tussen kwarks en gluonen vastlegt . De kwark-vergelijkingen lijken op de Dirac-vergelijking , waarbij de elektronvelden door de kwarkvelden en het fotonveld door de gluonvelden zijn vervangen .---------Hoe is het mogelijk dat we een hele theorie kunnen weergeven in een formule ? L wordt de Lagrangiaan genoemd , naar de Fransman Joseph-Louis Lagrange . Het is een uitdrukking in termen van de velden en hun afgeleiden die nauw samenhangt met de uitdrukking voor energie . L is juist het verschil tussen het kinetische en het potentiele deel van de energie . Deze functie wordt gebruikt om de theorie te beschrijven omdat ze zo beknopt is vanwege veel ingebouwde symmetrieen -een steeds belangrijker aspect naarmate de theorieen ingewikkelder worden . Uit de functie L kan men gemakkelijk alle gekopeelde vergelijkingen afleiden waaraan de verschillende velden moeten voldoen , inclusief hun interacties . Opmerking : we hadden eerder ook de Lagrangiaan kunnen geven voor de kwantumelektrodynamica , die de gekoppelde vergelijkingen van zowel Maxwell en Dirac genereert. In de elektrozwakke theorie werken we ook met een lagrangiaan en in de snaartheorie in principe ook !!
DE ELEKTROZWAKKE THEORIE .--------De laatste van de vier bekende krachten is de zwakke kracht . Deze speelt een cruciale rol in de vervalsketen van radioactieve kernen . De zwakke kracht werkt op kwarks , maar ook op elektronen , neutrino's en dergelijke deeltjes . De elektrozwakke theorie wordt beschreven met behulp van vier deeltjes (drie W- en een B-deeltje ) die de dragers zijn van de krachten . Drie ervan (meestal W+ , W- , en Z-deeltjes genoemd) hebben te maken met de zwakke kracht , terwijl een andere combinatie ervan (het foton , aangeduid met gamma) hoort bij het elektromagnetisme . De elektrozwakke theorie werd geformuleerd in 1968 , maar de voorspellingen ervan konden pas veel later met versneller-experimenten worden bevestigd . L-E-W = L-g +L-f +L-H +L-m .---------------------Het eerste deel van de Lagrangiaan L-g , beschrijft de deeltjes die de krachten en wisselwerkingen overbrengen . Het tweede deel , L-f bevat alle Dirac-achtige deeltjes en hun interacties met de krachtdeeltjes . Een belangrijke maar subtiele eigenschap is dat de zwakke wisselwerking niet dezelfde werking heeft op de linkshandige (L) en op de rechtshandige (R) spincomponenten van de Dirac-deeltjes . Met andere woorden : despiegelsymmetrie van de natuur wordt hier geschonden op een zeer fundamenteel niveau , hetgeen inhoudt dat er processen zijn waarvan de gespiegelde versie niet kan voorkomen ...........---------Het derde deel van de Lagrangiaan is het scalaire deel L-H . Dit beschrijft een extra veld dat een belangrijke rol speelt in deze theorie en dat correspondeert met het zogeheten HIGGS-DEELTJE . Dit veld is nodig om demeesteandere deeltjes massa te geven . Het HIGGS-VELD is van groot belang omdat het in zekere zin de oorsprong van massa verklaart . Dit veld is alom als achtergrond aanwezig en de andere deeltjes moeten zich daar doorheen voortplanten , waardoor ze zich gedragen alsof zij een massa hebben . De massa van de Dirac-deeltjes komt voort uit deinteracties met het Higgs-veld die worden beschreven in het laatste deel , L-m .----------------
Het feit dat ONZEKERHEID op microscopisch niveau een grote rol speelt , neemt niet weg dat we metingen kunnen doen om te begrijpen hoe deeltjes zich gedragen . Het zegt alleen dat we hierbij gebruik moeten maken van de statistiek en ons niet moeten richten op het gedrag van afzonderlijke deeltjes . (Want die kunnen zich overal in hun kansgolf bevinden ) , maar op een systeem als geheel . Door dit principe te aanvaarden , zijn een aantal van de grootste vooruitgangen in de natuurkunde geboekt , van de beginselen van kwantumelektrodynamica in de jaren 1940-1960 tot de voortdurende pogingen om de ultieme theorie van alles te vinden . Dit alles is mogelijk omdat natuurkundigen de juistheid van de golf-deeltjes-dualiteit en het onzekerheidsprincipe hebben aanvaard . We komen alleen verder als we onze eigen beperkingen aanvaarden en leren hoe we die kunnen benutten . Overigens zijn het golf-deeltjes-karakter van de materie en het onzekerheidsprincipe van de kwantummechanica geen beperkingen van het menselijk kunnen , maar zit de natuur zo in elkaar , wat iets heel moois is !!
NOGMAALS : WAT IS DE KOPENHAAGSE INTERPRETATIE ? In 1927 probeerde de Deense natuurkundige Bohr de natuurkundige betekenis van kwantummechanica te verklaren . In wat bekend raakte als de Kopenhagen-interpretatie combineerde hij Heisenbergs onzekerheidsprincipe met de golfvergelijking van Schrodinger om te verklaren dat "de inmenging van de waarnemer" betekent dat er zaken zijn die we nooit zullen weten . Het werkelijke elektron , proton of neutron is noch een deeltje noch een golf , maar een samenstelling van beide . Een gegeven eigenschap verschijnt alleen als de experimentator tussenbeide komt en kiest welk kenmerk hij wil meten . Licht lijkt zich als een foton of een elektromagnetische golf te gedragen als we kiezen dat we dat willen zien . Omdat de experimentator het zuivere systeem verstoort , zo stelde Bohr , zijn er beperkingen aan wat we kunnen weten over de natuur . De handeling van het waarnemen veroorzaakt de onzekerheden die Heisenberg in de gaten kreeg . Deze gedachtetrant raakte bekend als de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica . (binnenkort meer)
MATRIX-MECHANICA . Matrix-mechanica is een formulering van de kwantummechanica ontdekt door Werner Heisenberg , Max Born en Pascual Jordan in 1925 . Matrix-mechanica was de eerste conceptueel autonome en logisch consistente formulering van de kwantummechanica . Het breidde het model van Bohr uit door te beschrijven hoe kwantumsprongen gebeuren . Dit komt door de natuurkundige eigenschappen van deeltjes als matrices te interpreteren , die varieren in de tijd . Het is equivalent met de Schrodinger-golf-formulering van de kwantummechanica en is de basis van Dirac's bra-ket-notatie voor de golf-functie .-----------------Laat X(t) de plaats , positie en P(t) het moment , als functies van de tijd , met de beperking dat de tijd-integraal over een periode T , van het moment keer de snelheid , moet een geheel aantal keren van de constante van Planck h zijn . we willen nou tijdafhankelijke processen als de emissie of absorptie of straling beschrijven . de integraal van 0 naar T van PdX = nh . X(t) moet periodiek zijn , zo dat zijn Fourier representatie alleen de frequenties 2*pi*n/T heeft . X(t) = de SOM van n = -oneindig tot oneindig van (e tot-de-macht 2*pi*i*n*t/T) *X-n . Een kwantummechanisch deeltje kan straling niet continu uitzenden ; het kan alleen fotonen uitzenden . In positie n begon en in positie m eindigde het kwantumdeeltje . De energie is E-n - E-m , dus de frequentie (E-n - E-m)/h . We krijgen X-n-m(t) = e tot-de-macht (2*pi*i*(E-n - E-m)*t/h ) X-n-m(0) . DIT IS DE ORIGINELE VORM VAN HEISENBERGS BEWEGINGSVERGELIJKING . Heisenberg kwam tot (XP)-m-n = de SOM van k=0 tot oneindig van Xm-kP-k-n . Bedenk dat de vermenigvuldiging van matrices niet commutatief is---------Kets en Bras.In de kwantummechanica gebruiken we ook vectoren , vooral toestandsvectoren , die we kets noemen , notatie |x> Deze notatie staat bekend als de Dirac-notatie . Bras . Om de bra corresponderend met een gegeven ket te verkrijgen , gebruiken we de complexe conjugatie-operatie : (a|w>)* = a*<w| . Voor passendheid kunnen we een ket |w> vermenigdvuldigd met een scalar a alsvolgt schrijven : |aw> = a|w> . We kunnen deze notatie ook voor bras gebruiken , maar als we de scalar buiten de bra brengen nemen we zijn complexe conjugaat : <aw| = a*<w|........Laat A en B twee operators zijn . In het algemeen dus is AB niet-gelijk BA . De grootheid [A,B] = AB - BA heet de commutator van A en B . Als [A,B] = 0 , zeggen we dat de operatoren A en B commuteren . Stelling . Twee operators commuteren dan en slechts dan als zij een basis delen met gemeenschappelijke eigenvectors . Eig[enschappen van de commutator . Laat A , B en C operators zijn . Dan : 1) [A,B] = -[B,A] 2) [A+B , C] = [A,C] + [B,C] 3) [A , BC] = [A,B]C + B[A,C] ,4) Als X de positie-operator is en P de moment-operator , dan [X,P] = ih , [X,X] = [P,P] = 0 . Bewijs van [X,P] = ih . We passen de commutator op een test-golffunctie , W(x) toe en brengen in herinnering dat XW(x) = xW(x) en P = -ih*(de partiele afgeleide naar x) . [X,P]W(x) = (XP -PX)W(x) = XPW(x) - PXW(x) = X - ih*(de partiele afgeleide van W naar x) + ih*(de partiele afgeleide naar x van (XW(x))) = -ihX*de partiele afgeleide van W naar x + ih*(de partiele afgeleide naar x van XW(x)) = ihX*(de partiele afgeleide van W naar x) + ih*{de partiele afgeleide van x naar x *(W(x)) + x*(de partiele afgeleide van W naar x)} = -ihx*(de partiele afgeleide van W naar x) + ih*{W(x) + x*(de partiele afgeleide van W naar x)} = ihW(x) - ihx*(de partiele afgeleide van W naar x) + ihx*(de partiele afgeleide van W naar x) = ihW(x) . Aldus concluderen we dat [X,P]W(x) = ihW(x) daaruit volgt [X,P] = ih .(wordt vervolgd) .
NIELS BOHRS THEORIE OVER HET ATOOM VAN 1913 . ---In 1913 bepaalde Bohr de basis-structuur van het waterstofatoom . Het waterstofatoom is het kleinste atoom dat er bestaat en bestaat uit een proton die de kern is en een elektron in een baan erom heen beweegt . Het licht uitgestraald door individuele atomen neemt de vorm aan van een discrete rij lijnen , spectraallijnen genoemd . Dit zegt ons , dat zoals de zwarte-lichaam-osilatoren van Planck (zie boven) , atomen alleen energie kunnen uitwisselen in vaste discrete hoeveelheden . Niels Bohr merkte dit op en kwam tot twee radicale ideeen over het gedrag van elektronen in atomen . Ten eerste ) Een elektron kan alleen een baan hebben rond de kern op zo'n manier dat de baan is gedefinieerd met de relatie mvr = nh n = 1,2,..... waar v de snelheid van het elektron is , r de straal van de baan en m de massa van het elektron . De aanwezigheid van n in de formule beperkt het zogenaamde hoek-moment van het elektron tot gehele veelvouden van h , waar het hoek-moment gegeven is door L = nh . Ten tweede ) Elektronen stralen alleen gedurende het overgaan van de ene energie-toestand in de andere . Een overgang van energietoestand E-i naar energietoestand E-f , gaat (zie boven) gepaard met het uitzenden van een energie-foton hv = E-i - E-f . De Coulomb-kracht tussen de positief geladen kern en het negatief geladen elektron houdt de elektronen in hun baan . Gelijkstelling aan de centrifugaalkracht geeft e-kwadraat/r = m*v-kwadraat/r . Dit geeft de volgende uitdrukkingen voor de snelheid van het elektron en de straal van de baan . Iedere kwantum met ranggetal n voldoet aan bovenstaande aanname . v-n = e-kwadraat/ nh (snelheid van elektron in baan n) r-n = n-kwadraat*h-kwadraat/(m*e-kwadraat) (straal van baan n) .
NIET MET ELKAAR COMMUTERENDE OPERATOREN . De matrices die Heisenberg gebruikte commuteren meestal niet met elkaar , maar uiteindelijk bleek dat er voor de quantumtheorie een generalisatie nodig was waarin niet met elkaar commuterende operatoren onderdeel werden van het formalisme . Door deze ontwikkeling kwamen de natuurkundigen er ten slotte toe om deWISKUNDE VAN DE HILBERT-RUIMTE te gebruiken .-------In het algemeen kunnen quantummechanische formules verkregen worden uit die van de klassieke natuurkunde door voor de positie x en de impuls p de volgende vervangingen uit te voeren : x ---- > x p----> i*h-* de partiele afgeleide naar x van ..(1) vanwege de aanwezigheid van de differentiaal-operator de partiele afgeleide naar x van in (1) zullen de variabelen x en p niet met elkaar commuteren , dit in tegenstelling tot de commutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging van gewone getallen en dus ook van de getalwaarden van plaats en impuls uit de klassieke natuurkunde . Als de partiele afgeleide naar x van links staat , differentieert hij de x rechts , net als al het overige dat er rechts van staat . We kunnen dus schrijven : de partiele afgeleide naar x van *x - x*de partiele afgeleide naar x van = 1 ..(2) We kunnen nu de commutator [ p,x ] = p*x - x*p definieren , en dus herschrijven : [ p,x ] = i*h- ..(3) Deze betrekking heet een quantisatievoorwaarde . (3) heeft nog een oplossing , namelijk : x ----> i*h- *de partiele afgeleide naar p van p ----> p . In het bijzonder Dirac benadrukte dat er vele gelijkwaardige manieren zijn om de quantummechanica te formuleren .
DE SCHRODINGER-VERGELIJKING . De energie van een deeltje is de som van zijn kinetische energie ( 1/2*v-kwadraat = 1/2*p-kwadraat/m , waarbij p = m*v ) en zijn potentiele energie ( die algemeen geschreven kan worden als een functie van x : V(x) ) . De quantumtheoretische betrekking tussen energie en tijd die analoog is aan (1) , in item-75 , is : E ----> i*h-*de partiele afgeleide naar t van ..(*) . In (1) staat een minteken dat in (*) ontbreekt . Dat komt omdat de tijd afhankelijk voor een golfvorm die naar rechts loopt en overeenkomt met de ruimtelijke afhankelijkheid van (.) gegeven wordt door : e-tot-de-macht i*2*pi*v*t zodat je inderdaad een plusteken in (1) nodig hebt om E = h*v te krijgen . Met behulp van (1) en (*) kan de relatie E = 1/2*m*v-kwadraat + V omgezet worden in een differentiaalvergelijking voor de quantummechanische golffunctie W , en dat geeft : i*h-* de partiele afgeleide naar t van W = [-h--kwadraat/(2*m)*de tweede partiele afgeleide naar x + V(x) ]W als het om een eendimensionaal probleem gaat , en : i*h-*de partiele afgeleide van W naar t = [-h--kwadraat/(2*m)*LAP-kwadraat + V(x)]W in de driedimensionale ruimte van de vector x = ( x,y,z ) ....(***) , en waarin : LAP-kwadraat = de tweede partiele afgeleide naar x + de tweede partiele afgeleide naar y + de twwede partiele afgeleide naar z . Vergelijking (***) heet naar de man die haar voor het eerst omschreef , namelijk Schrodinger ( zie boven ook ) , die overigens een andere redenering gebruikte . De operator in de vierkante haken in de Schrodinger-vergelijking heet de HAMILTONIAAN . Merk op dat deze vergelijkingen lineair zijn in W , dat wil zeggen als W-1 , en W-2 oplossingen zijn , dan is voor elk paar (complexe ) getallen lambda-1 en lambda-2 : lambda-1*W-1 + lambda-2*W-2 ook een oplossing .-------Max Born benadrukte dat de golffunctie kan worden opgevat als een waarschijnlijkheidsgolf . De waarschijnlijkheid dat men een deeltje aantreft op punt x , is evenredig met het kwadraat van de absolute waarde van de bijbehorende complexwaardige golffunctie .
VECTOREN , VECTORRUIMTES , LINEAIRE RUIMTES , KETS EN BRA'S .---------De lineariteitseigenschap (zie boven) , is een fundamenteel kenmerk van de quantummechanica en deze ligt ten grondslag aan het zogeheten superpositiebeginsel . Dirac generaliseerde de ideeen die gebaseerd waren op golffuncties en herformuleerde de theorie in termen van abstracte vectorruimten .----------------Een verzameling vectoren , die we hier als |alpha-1> noteren , vormen een vectorruimte als elke lineaire combinatie lambda-1*|alpha-1> + lambda-2*|alpha-2> + ....... ook tot de ruimte behoort : hierbij zijn de lambda-1 willekeurige (complexe) getallen . Dirac noemde zo'n vector een ket . De kets zijn generalisaties van de golffuncties van Schrodinger . Er is ook een duale ruimte met vectoren die als <alpha| genoteerd worden en die bra's heten . Er is een antilineair verband tussen kets en bra's , namelijk : SOM-alle-i lambda-i*|alpha-i> ---> Som-alle-i<alpha-i|*lambda-i-* waarin lambda-i-* de notatie is voor de complex geconjugeerde van lambda-i . (In het geval van golffuncties is een bra <alpha| natuurlijk de complex geconjugeerde van de golffunctie |alpha> .) Tussen een bra en een ket kan een scalar produkt gevormd worden , dat geeft een bra(c)ket . In de taal van de golffuncties is dat gewoon de integraal van W-1-*W-1 dx . In de bra-ketnotatie is dit het scalair produkt <alpha-1|alpha-2> . Dit scalair produkt heeft onder meer de eigenschap : <alpha-1|alpha-2> = <alpha-2|alpha-1>-* . Hieruit volgt dat <alpha|alpha> een reeel getal is en in de quantumtheorie wordt de eis opgelegd dat de uitkomst positief is . Het moet immers corresponderen met de integraal van |W|-kwadraat . Het verband tussen een fysische toestand en een ket heet de straalrepresentatie . Dit wil zeggen dat |alpha> en lambda*|alpha> dezelfde fysische toestand voorstellen , voor elk complex getal lambda behalve nul .
EIGENVECTOREN EN EIGENWAARDEN .-----------Operatoren op vectorruimten veranderen kets in mogelijk andere kets : O|alpha> = |alpha'> In de quantumtheorie worden waarneembare grootheden (observabelen) in dit formalisme voorgesteld door operatoren , zoals de waarneembare grootheid "impuls" die een operator is , die werkt op een golffunctie . De uitdrukkingen waar het om gaat , zijn de getallen die verkregen worden als "bra-ketsandwiches" , ook wel matrixelementen geheten . Deze houden verband met waarschijnlijkheids-amplituden : <beta|O|alpha> . De HERMITISCH GECONJUGEERDE O-+ van een operator O is gedefinieerd door de relatie tussen matrixelementen : <beta|O|alpha> = <alpha|O-+|beta>-* Speciaal belangrijk zijn de operatoren die hun eigen hermitisch geconjugeerde zijn : O-+ = O Zulke operatoren heten HERMITISCH , en alleen hermitische operatoren stellen fysisch waarneembare grootheden voor . Omdat de uitkomsten van feitelijke observaties altijd reele getallen zijn , heeft dit schema alleen zin als er een manier is om getallen met operatoren te associeren . Dit gebeurt door HET IDEE VAN EIGENWAARDEN EN EIGENVECTOREN te gebruiken . Als een operator een ket |alpha> overvoert een lineair veelvoud van zichzelf : O|alpha> = lambda*|alpha> dan noemen we |alpha> een eigenvector van O met eigenwaarde lambda . Men kan aantonen dat de eigenwaarden van hermitische operatoren altijd reeel zijn .------------De FYSISCHE INTERPRETATIE van deze wiskundige feiten is dat de reele eigenwaarden van een waarneembare grootheid de mogelijke uitkomsten zijn van een meting aan die grootheid , en de bijbehorende eigenvectoren zijn dan de toestanden waarin die uitkomst met waarschijnlijkheid 1 , dus absoluut zeker zal optreden . Alleen waarneembare grootheden waarvan de overeenkomstige operatoren met elkaar commuteren , zijn gelijktijdig meetbaar .
DE ONZEKERHEIDSRELATIES . (zie ook boven) .------------De onzekerheidsrelaties van Heisenberg zeggen dat de onzekerheid in positie , delta-x , en de onzekerheid in impuls , delta-p , een produkt delta-x*delta-p hebben dat ten minste zo groot is als de constante van Planck , h- .
DE ONZEKERHEIDSRELATIE VAN HEISENBERG EN DE VERGELIJKING VAN SCHRODINGER .------------Als H de hamiltoniaan (energie-operator) aanduidt , dan luidt de Schrodinger-vergelijking : i*h-*de partiele afgeleide van |alpha,t> naar t = H*|alpha,t> (1) Als H niet expliciet van de tijd afhangt , wat meestal het geval is , kunnen we (1) formeel oplossen door te schrijven : |alpha,t> = e-tot-de-macht -i*l-i*t/h*|alpha,O> (2) De fysische gevolgen van de theorie ku8nnen allemaal worden afgeleid uit de eigenschappen van de matrix-elementen <alpha|O|beta> . Als we de tijdafhankelijkheid van (2) expliciet uitschrijven komt er : <alpha,O|e-tot-de-macht i*l - i*t/h*O*etot-de-macht -i*l- i*t/h|*|beta,O> (3) Als we de termen herschikken , komt er <alpha,O*|e tot-de-macht i*l- i*t/h*O*e tot-de-macht -i*l - i*t/h *|beta,O> (4) zodat de tijdafhankelijkheid nu als het ware ondergebracht is in de tijdafhankelijke operator : O(t) = e tot-de-macht i*l- I*t/h*O*e tot-de-macht -i*l -i*t/h (5) We kunnen (5) nu opvatten als de oplossing van een differentiaalvergelijking : i*h*de partiele afgeleide van O(t) naar t = O*H - H*O = [O,H] (6) Deze opvatting over quantumtheorie , waarbij tijdafhankelijkheid wordt geassocieerd met de observabele operatoren in plaats van met toestanden , was de oorspronkelijke manier waarop Heisenberg de theorie opzette . Bovenstaande bespreking toont dus aan dat de benaderingen van de twee grote grondleggers van de quantumtheorie gelijkwaardig zijn , ondanks de aanvankelijke schijn dat ze volkomen anders te werk gingen .
***************************************************************------************************************************************--In de kwantummechanica is de toestand van een deeltje dus omschreven door een golffunctie (zie boven) . Deze functie wordt gewoonlijk genoteerd door W(x,t) . De vergelijking dat zijn verloop in de tijd beschrijft heet de SCHRODINGER-VERGELIJKING . Het gedrag van een deeltje met massa m ten gevolge van een potentiaal V(x,t) wordt beschreven met de volgende partiele differentiaal-vergelijking (zie boven ook) : i*h* de partiele afgeleide van W(x,t) naar t = -h-kwadraat/(2*m) * de tweede partiele afgeleide van W(x,t) naar x-kwadraat + V(x,t)*W(x,t) waar W(x,t) de golffunctie wordt genoemd . De golffunctie bevat informatie over waar het deeltje zich bevindt , en zijn kwadraat is een waarschijnlijkheids-dichtheid . DE WAARSCHIJNLIJKHEIDS INTERPRETATIE VAN DE GOLFFUNCTIE . Op tijd t is de waarschijnlijkheid om het deeltje binnen het interval x en x + dx te vinden gegeven door het kwadraat van de golffunctie . wanneer we deze waarschijnlijkheid dP(x,t) noemen schrijven we : dP(x,t) = |W(x,t)|-kwadraat dx -------------------------------------Voor een deeltje met massa m in een potentiaal V , wordt de tijds-onafhankelijke Schrodinger-vergelijking geschreven als : -h-kwadraat/(2*m)*de tweede afgeleide van W naar x + V*W = E*W waar E de energie is . De Hamiltonian operator wordt gedefinieerd door H = -h-kwadraat/(2*m) *de tweede afgeleide naar x-kwadraat + V . Daarom heeft de tijds-onafhankelijke Schrodinger-vergelijking de vorm van een eigenwaarde-vergelijking : H*W = E*W waar de eigenwaarden van H de mogelijke energieen E van het systeem zijn en de eigenfuncties van H zijn golffuncties .
HILBERT-RUIMTE is het wiskundige begreip dat gebruikt wordt voor kwantummechanica ( zie de pagina onderwerpen wiskunde ) . Dit formalisme is gebaseerd op de basisideeen van vectoranalyse , met functies die de rol innemen van vectoren .
Eerder ( zie boven ) bespraken we het onzekerheidsprincipe van Heisenberg die de onzekerheid van plaats ( positie ) in verband brengt met de onzekerheid van moment door : delta-x*delta-p => h/2 . We generaliseren nu deze relatie tot iedere willekeurige operators A en B . Eerst zeggen we weer dat in een gegeven toestand |W> het gemiddelde of de verwachting-waarde van een operator O wordt gevonden als : <O> = <W|O|> .---------N.B. AL BIJNA HONDERD JAAR WORDEN ER EXPERIMENTEN OP HET GEBIED VAN DE KWANTUMMECHANICA GEDAAN EN STEEDS WEER KOMEN DE VOORSPELLINGEN VAN HET FORMALISME VAN DE KWANTUMMECHANICA VERBLUFFEND NAUWKEURIG UIT .---Definitie : de onzekerheidsrelatie : gegeven twee operatoren A , B : delta-A*delta-B >= <[A,B]>/(2*i) waar [A,B] de commutator van de operators A en B is ( zie boven ook ).
DE POSTULATEN VAN DE KWANTUMMECHANICA zijn een wiskundige beschrijving voor het gebruik van de theorie om de uitkomsten van experimenten te voorspellen . Deze postulaten kunnen voorgesteld worden in termen van de toestandsvector , of door gebruik te maken van de dichtheids-operator . Het formalisme werkt in een geisoleerd (gesloten) natuurkundig systeem .----------Postulaat 1 .Toestanden van natuurkundige systemen worden voorgesteld door vectoren . Postulaat 2 . Natuurkundige waarnemingsfeiten worden voorgesteld door operators ( zoals de energie en het moment ) . Postulaat 3 .De mogelijke resultaten van een meting zijn de eigenwaarden van een operator . Postulaat 4 .De waarschijnlijkheid om een gegeven meetresultaat te verkrijgen . Postulaat 5 . De toestand van een sysieem na meting . Postulaat 6 . De evolutie in tijd van een kwantumsysteem wordt bepaald door de Schrodinger-vergelijking .
(nog enkele zaken van de kwantummechanica)..De HARMONISCHE OSCILLATOR voor een deeltje met massa m wordt beschreven met de potentiaal V = 1/2*k*x-kwadraat waar k = m*omega-kwadraat . Oplossingen voor de Schrodinger-vergelijking voor deze potentiaal worden gegeven in termen van zogeheten Hermite polynomen , en kunnen verkregen worden door zowel werken iun de positie-representatie als door een algebraische methode te gebruiken , die gebaseerd is op de stijgende en dalende operators . -----------
Het ANGULAIR MOMENTUM van de klassieke natuurkunde wordt gedefinieerd door L = r * p ( vector L is het vectorproduct (uitwendige product) van de vectoren r en p ) , waar r de verplaatsingsvector vanuit de origine is en p is het lineaire moment (
BINNENKORT meer over de kwantummechanica ; vooral ook een nog nadere wiskundige uitwerking van bovenstaande in items 73-80 en verder tot en met item 85 ; Hier komt eerst een theoretische beschouwing over de natuurkundige aspecten die in de kwantummechanica aan de orde zijn : over het deeltjeskarakter van electromagnetische straling , het duale karakter van licht en van de materie , over golfpaketten en over de onzekerheidsrelatie , over de wiskundige achtergrond zoals het complkexe veld , vectorruimten ovewr C , lineaire operatoren en matrices , eigenvectoren en eigenwaarden , Fourier-reeksen en Fourier-transformatie en de Dirac-delta-functie . Dan over de Schrodingervergelijking en zijn toepassingen : golffunctie van een enkel deeltje , de Scrodingervergelijking , deeltje in een tijd-onafhankelijke potentiaal , scalar -produkt van golffuncties , operatoren , waarschijnlijkheids-dichtheid en waarschijnlijkheids-stroom . Over de grondbeginselen van de kwantummechanica , de postulaten in de kwantummechanica , gemiddelde waarde en dergelijke , commuterende observabelen , functie van een operator , Hermitische conjugatie , discrete en continue toestand-ruimten , representaties , de tijd-vorderi9ng , onzekerheidsrelaties en de beelden van Schrodinger en Heisenberg . Over de harmonische oscilator met de Hermite polynomen , 2- en 3-dimensionale harmonische oscilatoren , operator-methoden voor een harmonbische oscilator . Over het angulair moment , met commutatie-relaties , minderende en stijgende operatoren , algebra van het angulair moment , differentiaal-representaties , matrix-representaties , matrix-representatie van een angulair moment , bolvormige symmetrie-potentialen en angulair moment en rotaties . Verder over spin , spin-1/2 , Pauli-matrices , minderende en stijgende operatoren , rotatie in de spin-ruimte en interactie met een magnetisch veld . over de eigenschappen van het eenvoudigste atoom , het waterstofatoom , in het bijzonder , in verband hiermee over een deeltje in een centrale potentiaal en over twee interactende deeltjes , over energie-niveaus van het waterstofatoom , gemiddelde waarde-uitdrukkingen , over het elektromagnetische veld , zijn aanverwante potentialen en de beweging van een deeltje erin , de Hamiltoniaan van zo'n deeltje , over de waarschijnlijkheids-dichtheid en de waarschijnlijkheids-stroom en over het magnetische moment . Over oplossings-methoden in de kwantummechanica : theorie van tijd-onafhankelijke perturbatie ( is verstoring) , perturbatie van een gedegenereerde toestand , tijd-afhankelijke perturbatie-theorie en de variatie-methode , semi-klassieke approximatie (de WKB-approximatie) . Over numerieke methoden in de kwantummechanica : numerieke kwadratering , wortels , integratie van gewone differentiaalvergelijkingen , over identieke deeltjes : permutaties en symmetrieen van golffuncties , bosonen en fermionen , over optelling van angulaire momenten : j-1-kwadraat , j-2-kwadraat , j-kwadraat , j-2 , -basis , Clebsch-Gordan-coefficienten , over scattering-theorie : cross-sectie , stationair-scatterende toestanden , over semie-klassieke behandeling van straling .==-----------Ik zal binnenkort , voor medio juni 2015 bovenstaande toelichten met de bijbehorende wiskundige formalismen).
OVER SPIN , SPIN-1/2 , PAULI-MATRICES , ENZOVOORTS .----------Definities . Spin is een eigenschap van deeltjes . Deze eigenschap werd afgeleid van het zogeheten Stern-Gerlach experiment . De formele definitie van spin-operator S is analoog tot de angulair-moment-operator ( zie chapter-6) . S-kwadraat |alpha> = S(S + 1 )h-kwadraat| alpha> . |alpha> is een eigenfunctie van S-kwadraat en S(S+1) de corresponderende eigenwaarden . We definieren dus S-kwadraat =S-x-kwadraat + S-y-kwadraat + S-z-kwadraat waar S-x , S-y en S-2 aan de volgende "commutatie"-relaties voldoen : [S-x , S-y ] = i*h*S-z [ S-y , S-z] = iH*S-x [S-z , S-x ] = i*h*S-y . Analoog aan het angulair moment , is het kwantumgetal van de Spin in de z-richting m-s = -S , -S , -S + 1 , ....., =S , en S-z|alpha> = m-s *h|alpha > .---SPIN 1/2 . Voor delen (een elektron , bijvoorbeeld ) met spin 1/2 hebben we m-s = plusm. 1/2 en twee verschillende eigenvectoren van S-kwadraat en S-2 , genoteerd door |+1/2> en |-1/2> . Deze eigenvectoren worden de standaard basissen genoemd , waar S-kwadraat|plm.1/2> = 3/4 *h-kwadraat*|plm.1/2> S-z|plm.1/2> = plm.h/2 2|plm.1/2> . Zoals de naam aangeeft , is dit de basis die gewoonlijk wordt gebruikt , hoewel alternatieve basissen natuurlijk beschikbaar zijn . Iedere willekeurige golf-functie in de Spin ruimte kan geschreven als een lineaire combinatie van de standaard basis .----PAULI-MATRICES . De Pauli matrices sigma = (sigma-x , sigma-y , sigma-z ) worden gedefinieerd met S = h/2sigma , waar sigma-x = ( 0 1 ) sigma-y = ( 0 -i ) sigma-z( 1 0 ) (1 0) ( i 0) (0 -1) -------. S wordt geschreven in de standaard-basis . De COMMUTATIE relaties van de Pauli-matrices zijn : [sigma-x , sigma-y ] = 2*i*sigma-z [ sigma-y , sigma-z ] = 2*i*sigma-z [sigma-z , sigma-x] = 2*i*sigma-y . Andere nuttige relaties voor de Pauli-matrices zijn : ---sigma-x-kwadraat = sigma-y-kwadraat = sigma-z-kwadraat = 1 en ook 9sigma.A ) (sigma.B) = ( A.B ) *1 + i*sigma (A *B) waar A en B twee spatiele vectoren zijn .---------------------------.....................................Interactie met een magnetisch veld . Beschouw een systeem bestaande uit deeltjes met een Spin S . wanneer je een magnetisch veld B toepast , introduceer je een aanvullende term aan de vrije Hamiltoniaan H-0 , zo dat H = H-0 + H-int = H-0 + (eB/(m*c)).S
WATERSTOF-GELIJKE ATOMEN . Een deeltje in een centrale potentiaal . De Hamiltoniaan van een deeltje met massa M geplaatst in een centrale potentiaal V (r) is H = p-kwadraat/(2*M) + V(r) = -h-kwadraat/(2*M)LAPLACIAAN = V(r) waar de LAPLACIAAN in spherische coordinaten is LAPLACE-kwadraat = 1/r -delta-kwadraat/delta*r-kwadraat + 1/r-kwadraat (delta-kwadraat/delta-teta-kwadraat + 1/tan-teta *delta/delta-teta + 1/sin-kwadraat-teta * delta-kwadraat/delta-phi-kwadraat ) . Vergelijken van deze vergelijking met de uitdrukking voor de operator L-kwadraat , verkregen in (zie vorige) , zien we dat H geschreven kan worden , als H = h-kwadraat/(2*M) * 1/r * delta-kwadraat / delta-r-kwadraat + 1/(2M*r-kwadraat) *L-kwadraat + V(r) (*) .De drie componenten of L COMMUTEREN met L-kwadraat , en daarom volgens (*) COMMUTEREN zij ook met H : [H,L-x] = [ H,L-y} = [H, L-2] = 0 . We kunnen nou de drie eigenwaarden vergelijken oplossen : HW(r,teta,phi) = (EW( r, teta , phi ) , L-kwadraat , phi (r,teta,phi) = (l(l +1)h-kwadraatW(r , teta , phi ) L-kwadraatW (r, teta, phi ) = m*hW( r, teta , phi ) .---------------------Beschouw een systeem van twee spin-loze delen met massa m-1 en m-2 en posities r-1 en r-2 . We nemen aan dat de potentiele energie slechts afhangt van de afstand tussen de delen , V (r-1 - r-2 ) . De studie van de beweging van de twee deeltjes is versimpeld als we de coordinaten van het massamiddelpunten nemen ( r-cm = m-1*r-1 + m-2*r-2) / (m-1 + m-2 ) en de relatieve coordinaten : r = r-1 - r-2 . We kunnen dan de vergelijkingen afleiden : h-kwadraat/(2(m-1 = m-2)LAPLACE-kwadraat *PHI(r cm) = E(cm) = PHI (r-cm ) (*) en [-h-kwadraat/(2*mu)LAPLACE-kwadraat + V(r)] KSI(r) = E-cm KSI(r) (**) , waar mu de gereduceerde massa van de twee deeltjes is : mu = ( m-1*m-2)/(m-1 + m-2) .Uit vergelijking (*) concluderen we dat het massamiddelpunt zich gedraagd als een vrij massadeeltje m=-1 + m-2 , en energie E-cm . De relatieve beweging van de twee deeltjes is bepaald door (**) en is analoog aan de beweging van een deeltje met massa mu geplaatst is een potentiaal V(r) .
ENERGIENIVEAUS VAN HET WATERSTOFATOOM . Voor een vastgeselde l , bestaat er een oneindig aantal mogelijke energie-waarden : E-kl = -E-n/(k+l)-kwadraat k = 1,2,3 ........Elke van hen is tenminste (2l + 1)-voudige degeneratie . Deze essentiele "DEGENERATIE" is het resultaat van de radiale vergelijkingen die onafhankelijk zijn van het kwantum -getal m . Sommige van de energie-waarden veroorzaken zogehetenaccidentiele DEGENERATIE . Hier hangen de E-kl niet af van k en l afzonderlijk maar slechts van hun som . We zetten n = k + l en dan E-n = -1/n-kwadraat E-1 = -mu-e-tot-de-macht-4/(2*h-kwadraat*n-kwadraat) = 1/n-kwadraat * 13,6 eV .De "shell" , die gekarakteriseerd wordt door n heet n deel "shell" te bevatten , waarvan iedere correspondeert met een van de waarden van l , l = 0, 1,2,........, n-1 . Ieder deel -"shell" bevat 2*l + 1 verschillende toestanden corresponderen met de mogelijk waarden van m , m = -l , -l + 1 , ......., l-1 , l . De totale "DEGENERATIE" van het energie-niveau E-n is g-n = (n=1)SIGMA(i=0) (2l + 1) = 2*(n-1)*n/2 + n = n-kwadraat . Wanneer wij er rekeling mee houden dat de elektronen-spin (die zich kan bevinden , in een van de twee mogelijke orientaties ) , dan moet het getal g-n vermenigvuldigt worden met 2 . Om historische redenen ( vanaf de periode waarin de studie van atomaire spectra resulteerden in EMPIRISCHE KWALIFICATIE van de geobserveerde lijnen ) worden de verschillende waarden van geassocieerd met letters van het Latijnse alfabet , zoals hiervolgend . ......................( l = 0) , <--> s (l = 1) <---> p , ( l=2) <---> d (l=3) <---> f (l =4 ) <---> g ------------------in alfabetische volgorde .
INLEIDING .--------Het deeltjes-karakter van elektormagnetische straling ..... Isaac Newton beschouwde licht als een stroom van deeltjes . Tijdens de negentiende eeuw , lieten sommige experimenten met interferentie en diffractie van licht zien , dat licht een golf-karakter heeft . Later werd optica geintegreerd in een elektromagnetische theorie en het werd bewezen dat lichht een soort elektromagnetische theorie en het werd bewezen dat licht een soort elektromagnetische straling is . Echter het fenomeen van zwarte-lichaam-straling is . Echter het fenomeen van zwarte-lichaam-straling , dat tegen het einde van de 19e eeuw werd bestudeerd , kon niet verklaard worden binnen het kader van de elektromagnetische theorie . In 1900 kwam Max Planck tot een formule , die zwarte-lichaams-straling verklaart en hij bewees later dat dat kan worden afgeleid , als je de "KANTISATIE VAN ELEKTROMAGNETISCHE STRALING" aanneemt . In 1905 stelde Albert Einstein , met veralgemenisering van Plancks theorie , voor terug te gaan naar de deeltjes-theorie van licht . Hij claimde dat een straal dat een straal licht met frequentie v bestaat uit fotonen , ieder energie-hoeveelheid hv bezittend , waar h = ongeveer 6,62 * 10-tot-de-macht -min-34 Joules*seconde ( de constante van Planck) . Einstein liet zien hoe de introductie van het foton het onverklaarbare van het FOTO-ELEKTRISCHE-EFFECT kan verklaren . Ongeveer 20 jaar later , was het foton werkelijk aangetoond ; te bestaan als een afzonderlijke ""entiteit"" ( zelfstandigheid ) ( het Compton-effect , zie ook op de pagina onderwerpen Natuurkunde ) . Het foto-elektrisch effect werd ontdekt door Heinrich Herz ( een van de uitvinders van de radio , zie ook op de pagina geschiedenis van de techniek van deze website ) in 1887 . Het is een van die processen , waarbij elektronen losgemaakt kunnen worden , van een metaal-oppervlak . een schematische schets van het apparaat , dat het foto-elektrisch effect bestudeerd is hieronder .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------De KRITISCHE POTENTIAAL V-0 , zo dat eV-0 = Emax ( de maximum energie van de elektronen die zijn uitgezonden vanuit de anode ) wordt de STOPPENDE POTENTIAAL genoemd . De experimentele resultaten van het foto-elektrisch effect zijn samengevat . De experimenteel gevonden samenhang tussemn de stoppende potentiaal V-0 en de frequentie van licht , kan worden weergegeven met : eV-0 = hv -hv-0 , waar h dezelfde is voor alle metalen ( de constante van Planck ).*************
DE DUALITEIT VAN LICHT .---------Het twee-spleten-experiment laat zien dat het niet mogelijk is de experimentele resultaten te verklaren , als slechts een van de twee karakterestieken van licht -golf of deeltje- wordt beschouwd . Licht gedraagt zich gelijktijdig als een golf en als een FLUX van deeltjes ; DE GOLF STELT ONS IN STAAT DE WAARSCHIJNLIJKHEID VAN HET VOORKOMEN VAN EEN DEELTJE TE BEREKENEN .----------De dynamische parameters van de deeltjes ( de Energie E en het foton-moment p ) zijn "verbonden" met de golf-parameters ( de frequentie v en de golfvector k ) met de relaties |||| E = hv = h-w en p = h-k waar h- = h/2pi . Deze zijn de Planck-Einstein -relaties .****
DE DUALITEIT VAN DE MATERIE .--------Gelijktijdig met de ontdekking van het foton werd een fundamenteel fenomeen van atomaire fysica geobserveerd . Er werd ontdekt dat een atoom slechts licht uitzendt of absorbeert met wel-bepaalde frequenties . Dit feit kan verklaard worden door aan te nemen , dat de energie van een atoom slechts bepaalde discrete waarden kan aannemen . Het bestaan van zulke discrete energie-niveaus werd aangetoond door het Franck-Hertz -experiment . Niels Bohr interpreteerde dit in 1913 in termen van elektonische ""schillen"" en stelde het volgende model voor het waterstofatoom voor .-------De elektronen bewegen in schillen beperkt door het vereiste , dat het angulaire moment een integraal produkt van h/2pi moet zijn . Voor een cirkelvormige schil met straal r , de snelheid van het elektron wordt gegeven door : mvr = nh/2pi n = 1, 2 , (*) . De relatie tussen de Coulomb-kracht en de centrifugale kracht kan geschreven worden als e-kwadraat/r-kwadraat = mv-kwadraat/r (**) , waar -e de lading van het elektron is . We nemen aan dat de nucleaire massa oneindig is . (*) en (**) combinerend , krijgen wij v-n = 2*pi*e-kwadraat/n*h en r-n = 1/4pi-kwadraat * n-kwadraat*h-kwadraat/m*e-kwadraat . De energie is : E-n = 1/2 *m*v-n-kwadraat - e-kwadraat/r = 2pi-kwadraat*m*m-tot-de-macht-4/n-kwadraat*h-kwadraat .----------Bohr stelde vast , dat de elektronen in deze schillen niet stralen , ondanks hun versnelling ; zij zijn in stationaire toestand .Elektronen maken discontinue transities van een toegestane schil naar de andere . De verandering in energie zal verschijnen als straling met de frequentie v =( -E -E' ) /h . De fysische basis van het Bohr model bleef tot 1923 , toen De Broglie met de stelling kwam dat materiele deeltjes golf-achtige eigenschappen hebben : een deeltje met energie E en moment p wordt geassocieerd met een golf met angulaire frequentie w = E/h' en een golfvector k = p/h . De corresponderende golflengte is daarom ; lambda = 2*pi/k = h/p . Dit is de De Broglie relatie .******
GOLF-PAKKETTEN EN ONZEKERHEIDS-RELATIES .--------------De golf- en deeltjesaspecten van elektromagnetische straling en materie kunnen verenigd worden door het concept van "GOLF-PAKKET" . Een golf-pakket is een opstapeling van golven interfereren met iedere andere bijna helemaal buiten een gegeven ""spatiale"" ruimte . Wij verkrijgen aldus een gelokaliseerde golfpakket , die beschouwd kan worden als een benaderende beschrijving van een klassiek deeltje . Een golfpakket bestaande uit een superpositie van vlakke golven kan geschreven worden als : f(v) = 1/(2*pi)-tot-de-macht-3/2 |-integraal-van g(k)*e-i*k.r dk of in een dimensie f(x) = 1/(vierkwortel-uit(2*pi)) |-integraal-van g(k)*e-tot-de-machti*k*x dk . De evolutie van golfpakketten is getermineerd door de Schrodinger vergelijking . Wanneer een golf-pakket zich ontwikkelt zich ontwikkelt volgens de postulaten van de Kwantummechanica , de breedtes van de krommen f(x) en g(k) zijn gegeven door : delta-x*delta-k > 1 . Wanneer wij --------------------------------Gebruikmakend van de De Broglie-relatie p = h-*k , hebben wij delta-p*delta-x > h .Dit is DE ONZEKERHEIDSRELATIE VAN HEISENBERG ; als wij proberen een hoog gelokaliseerd golf-pakket , in de ruimte te construeren , dan is het onmogelijk een goed-gedefinieerd , moment er mee te associeren . Integendeel moet een golf-pakket met een gedefinieerd moment binnen nauwe grenzen ""spatieelt"erg breed zijn . Merk op dat , omdat h- erg klein is , de zaken van de klassieke Natuurkunde alleen "zullen" "falen" ( niet-waar blijken te zijn ) voor een microscopisch klein systeem . De onzekerheidsrelatie verplicht tot nadere beschouwing van de golf-deeltje-dualiteit van de materie en de straling . Wanneer we een golf-pakket beschouwen , moeten we fase-snelheid onderscheiden van groep-snelheid . We fase-snelheid onderscheiden van groep-snelheid . Voor een golf met angulaire frequentie w = 2*pi*v . Voor een golf getal k = 2*pi/lambda , is de fase-snelheid v-p w/k lambda*v . Dit is de mate waarbij een punt met constante fase de ruimte beweegt , Wanneer een golf-pakket verschillend in frequentie en in fase-snelheid """samenwerkt""" in het maken van een gebied met sterke "constructieve" interferentie , is de snelheid v-0 waarmee het gebied voortschrijdt gerelateerd met de angulaire frequentie w en golf-getal k van de component golven door de relatie : v-g = dw/dk .*********
OPLOSSINGS-METHODES IN DE KWANTUMMECHANICA . (deel-1)--------------1)-TIJD-ONAFHANKELIJKE ""PERTURBATIE""-THEORIE . De kwantummechanische studie van een conservatief Natuurkundig systeem ( waarvan de Hamiltoniaan niet expliciet tijds-onafhankelijk is ) is gebaseerd op de eigenwaarde-vergelijking van de Hamiltoniaanse operator . Sommige systemen , bijvoorbeeld de Harmonische oscilator , zijn eenvoudig genoeg om exact opgelost te worden . In het algemeen is de vergelijking niet analytisch oplosbaar en een benaderende oplossing moet worden gevonden , meestal gebruikmakend van computer-gebaseerde numerieke methoden .-----------In deze paragraaf presenteren wij de vaak gebruikte tijd-onafhankelijke PERTURBATIE-THEORIE . De benadering met deze methode wordt vaak in de Natuurkunde aan gewend : wij beginnen bij het bestuderen van de primaire factoren die de belangrijkste eigenschappen van het systeem opleveren , dan proberen we de secundaire effecten die in de eerste benadering genegeerd werden te verklaren .------------De PERTURBATIE-THEORIE is benaderend wanneer de Hamiltoniaan H van het systeem in de vorm : H = H-0 + lambda*W ,waar de eigentoestanden en eigenwaarden van H-0 bekend zijn en lambda een parameter is . De operator lambda*W moet "veel kleiner"dan H-0 zijn , dat wil zeggen de relatie lambda*W << H-0 , dat is lambda << 1 , moet gelden en de matrix-elementen van W zijn vergelijkbaar in grootte ten opzichte van H-0 . Preciezer , de matrix-elementen van W zijn van de zelfde grootte , als het verschil tussen de eigenwaarden van H-0 .------------De niet-geperturbeerde energieen ( dat is , de eigenwaarden van H-0) een discreet spectrum E-0-p , waar p een integrale index . We noteren de corresponderende eigentoestanden met | phi-kwadraat-2 > , waar de toegevoegde index i onderscheid maakt tussen de verschillende lineair onafhankelijke eigenvectoren die corresponderen met dezelfde eigenwaarde in het geval of een degenereerde eigenwaarde . We hebben : H-0 |phi-i-p > = E-0-p | phi-i-p > waar |phi-i-p > een orthogonale basis vormen van de toestands-ruimte , { < phi-p-i | phi-i-q > delta-p-q delta-i-j en SIGMA-p SIGMA-i | phi-i-p > < phi-i-p | = 1 . ---Mogelijke effecten van de Perturbatie : wanneer de parameter lambda gelijk is aan 0 , H(lambda) gelijk is aan de niet-geperturbeerde Hamiltoniaan H-0 . De eigenwaarden E(lambda) of H (lambda) hangen in het algemeen af van lambda . In het geval van een niet-gedegenereerde energie-niveau , kan de perturbatie zowel van invloed zijn op het energie-niveau (E-0-1) als niet erop van invloed ( zoals ingeval van E-0-2 ) . Voor een dedegenereerd energie-niveau , is het mogelijk dat de perturbatie het "splitst" in verschillende energie-niveaus , zoals in het geval van E-3 . We zeggen dan dat de perturbatie de degeneratie van de corresponderende eigenwaarde van H-0 verwijdert . de perturbatie mag ook de degeneratie van een energie-niveau verlaten , zoals in het geval H-0-4 . ---Benaderende oplossing van de eigenwaarde-vergelijking : we zoeken naar de eigentoestanden |phi(lambda) > en de eigenwaarden E(lambda) van de Hamiltoniaan H(lambda) : H (lambda ) | phi(lambda) > = E (lambda) | phi (lambda) > . Wij zullen aannemen dat E (lambda ) en |phi(lambda) > uitgebreid kan worden in een inacht-reeks van lambda , in de vorm : E (lambda ) = epsilon-0 + lambda*epsilon-1 +.......+ lambda-kwadraat*epsilon-q (*) en |phi(lambda> > = | 0> + lambda + lambda | 1> + .....+ lambda-q|q> (**)..............-Wanneer de parameter gelijk is aan 0 , hebben wie het energie-niveau en de eigentoestand van de niet-geperturbeerde Hamiltoniaan . wanneer lambda ,, 1 , is ieder element in de reeks-uitbriedingen (*) en (**) veel kleiner 9 in het algemeen ) dan de voorafgaande ; in de praktijk voldoet het om slechts de eerste paar elementen te beschouwen . Het element dat lambda bevat , wordt de eerste-orde correctie genoemd , en het element dat lambda-kwadraat bevat , wordt de tweede-orde correctie genoemd , enzovoorts !.----------------------------2) PERTURBATIE VAN EEN NIET-GEDEGENEERD NIVEAU . Beschouw een bijzonder niet-gedegenereerde eigenwaarde E-0-n van de niet-geperturbeerde Hamiltoniaan , met eigenvector |phi-n> (deze eigenvector is uniek ervan , binnen een constante factor )..--------3) PERTURBATIE VAN EEN GEDEGENEREERDE TOESTAND . Neem aan dat het niveau E-0-n een g-n-voudige degeneratie is . Wij presenteren een methode voor de energieen en de 0-orde correctie voor de eigentoestanden . Arrangeer de getallen , phi-i-n | W |phi-kwadraat-n '> in een g-n keer g-n -matrix ( i is de rij-index en i-'de kolom-index ).--Deze matrix die wij met W-(n) noteren , is "geknipt " uit de matrix die W representeert in de {|phi-i-p>} basis . Merk op dat W-(n) niet identiek is met W ; het is een OPERATOR in de g-(n)-dimensionale ruimte die correspondeert met het energie-niveau E-0-n . De eerste-orde correcties epsilon-i-j van het energie-niveau E-0-n zijn eigenwaarden van de matrix W-(n0 . De 0-orde eigenwaarden van de matrix W-(n) . De 0-orde eigentoestanden die met E-0-n corresponderen zijn de eigenvectoren van W-(n) . Laat epsilon-j-i ( j = 1 , 2 , ...., f-(1)-n ) de wortels zijn van de karakterestieke vergelijking van W-(n) ( dat zijn de eigenwaarden van W-(n) ).--------Het degeneratie-energie-niveau splitst , tot de eerste orde , in f-n-(1) verschillende deelniveaus : E-(n),(k) (lambda = E-(0)-(n) + lambda* epsilon-j-1 j = 1,2, ------, f-n-(1) <= g-n' . In geval f-n-(1) < g-n , zeggen we dat tot de eerste orde de perturbatie W volledig de degeneratie van het niveau E-0-n laat verdwijnen . Wanneer f(1) < g-n , is de degeneratie slechts gedeeltelijk verwijderd , of helemaal niet als f-n-(n) = 1 .-----Veronderstel dat een specefiek deelniveau E-n-j (lambda) = E-0-n + lambda*epsilon-1-j q-voudig is gedegenereerd , in de betekenis dat er q lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn van W-(n) die ermee corresponderen . Wij onderscheiden tussen twee totaal verschillende situaties : 3)-situatie- 1): Veronderstel dat er slechts een exacte energie-niveau E(lambda) is , dat gelijk is aan de eerste orde tot E--j .--Deze energie is q-voudig gedegenereerd . In dit geval kan de 0-orde-eigenvector |0> van H(lambda) niet volledig zijn gespecificeerd , daar de enige voorwaarde is dat deze vector behoort tot de q-dimensionale eigendeelruimte van H(lambda) corresponderende tot E(lambda) . Deze situatie komt vaak voor wanneer de H-0 en lambdaW verschillende gemeenschappelijke csymmetrie-eigenschappen bezitten , die een essentiele degeneratie van H(lambda) tot gevolg hebben .------3)-situatie-2) : Een tweede mogelijkheid komt er , wanneer enkele verschillende energieen E(lambda) gelijk zijn tot eerste orde tot E-(n)-(j) . Het verschil tussen deze energieen verschijnt in berekening van de de tweede of hogere ordes . In dit geval nadert een eigenvector van H(lambda) , corresponderende tot een van deze energieen zeker een eigenvector van E-(n)-(j) voor lambda--> 0 ; het inverse geldt echter niet .----------------10.4 TIJD-ONAFHANKELIJKE PERTURBATIE-THEORIE . Beschouw een fysiek systeem met Hamiltoniaan H-0 . We nemen aan dat het spectrum van H-0 discreet is en niet-degenererend .( de formules kunnen worden gegeneraliseerd voor andere situaties ) . we hebben H-0|phi-n> = E-n|phi-n > . Veronderstel dat H-0 tijd-onafhankelijk is , maar dat op t = 0 een tijd-afhankelijk perturbatie wordt toegepost op het systeem H(t) = H-0 + lambdaW(t) , waar lambda een parameter is , lambda >> 1 en W(t) een operator van dezelfde grootte als H-0 , en 0 voor t < 0 . Veronderstel dat het systeem initieel in de toestand |phi-i> is , welke een eigentoestand H-0 is met eigenwaarde E-i . We presenteren een uitdrukking om de eerste-orde-benadering te berekenen van de WAARSCHIJNLIJKHEID P-i-f (t) van het systeem in een andere eigentoestand |phi-f-i> van H-0 op tijdstip t te bevinden . P-i-f (t) = lambda-kwadraat/h--kwadraat |de-integraal-van-t-0 e-tot-de-macht-i*w-f-i-t-'*w-f-i(t-i) dt'|-kwadraat waar w-i-f de BOHR angulaire frequentie is , gedefinieerd door w-i-f = E-i - E-f /h- en w-i-f(t) het matrix-element van W(t) is : W-f-i(t) = <phi-f|W(t)|phi-i > . De afleiding van deze uitdrukking : Laat c-n(t) de componenten zijn van de vector |phi(t)> in de {|phi-n> } basis : |phi(t)> = SIGMAc-n(t)|phi-n> c-n(t) = <phi-n|w(t)> (*) . We definieren W-n-k = < phi-n|W(t)|phi-k> . De Schrodinger-vergelijking is I*h-d/dt|phi(t) > = [H-0 + lambda*W(t)] | W(t) (**) Door (**) met <phi-n| te vermenigvuldigen en (*) te gebruiken , verkrijgen we i*h*da-n(t)/dt = lambda*SIGMAe-t0t-de-machti*w-n*k-tot-de-macht-t *W-n-k(t)*a-k(t) . (****) . We schrijven b-n(t) in de vorm van een macht-reeks-ontwikkeling in lambda : a-n(t) = a-n-(o)(t) + lambda*a-n-(i)(t) + lambda-kwadraat*a-n-(2)(t) +........(*****) . Wij zoeken de oplossing in de eerste orde in lambda . Voor t < 0 nemen wij aan dat het systeem in de toestand |phi-i> is , dus volgens (*) en de relatie tussen a-n(t) en c-n(t) hebben wij : a-n(t=0) = delta-n-i (******) in (****) substitueren en de coefficient van lambda' aan beide zijden van de vergelijking gelijkstellen , krijgen wij (met gebruikmaking van (******) : i*h-*db-(n)-1/dt = SIGMA-k e-tot-de-macht-i-w-n-k-tot-de-macht- W-n-k(t) *delta-k-i = e-tot-de-macht-i*w-n-i-tot-de-macht-t W-n-i -(t) . (7) Vergelijking (7) kan geintegreerd worden , om te verkrijgen : a-n-(1)(t) = 1/(i*h-) *de-integraal-van-e-tot-de-macht-i*w-n-k-tot-de-macht-t*W-n-kW(t')dt' (8). Tenslotte is de transitie-waarschijnlijkheid P-i-f(t) tussen de toestanden |phi-i> en |phi-f> , volgens (*) (zie boven ) gelijk aan |c-f(t)|-kwadraat . Merk op dat a-j(t) en c-f-(t) dezelfde modulus hebben en in de eerste orde : a-f(t) =ongeveer a-(0)-f(t) + lambda*a-f-(1)(t) . Daar het de transitie tussen twee verschillende stationaire toestanden is , hebben wij b-f-(0)(t) = 0 , en de consequentie ervan is P-i-f(t) = lambda-kwadraat|a-f-(1)(t)|-kwadraat = lambda-kwadraat/(h--kwadraat)|de-integraal-van-0-naar-t-van-e-tot-de-macht-i*w-f-i*t' *W-f-i(t') dt'|-kwadraat , waar wij (8) hebben gebruikt .---Beschouw nou het geval dat transitie tussen een toestand |phi-j> en een toestand |phi-f> van de energie E-f behorend tot een continu deel van het spectrum van H-0 . In deze situatie is de waarschijnlijkheid van de transitie op tijdstip t : |<phi-1|ksi(1)>|-kwadraat actueel een waarschijnlijkheids-dichtheid . DAT WIL ZEGGEN DAT WIJ DE WAARSCHIJNLIJKHEIDS-DICHTHEID OVER EEN ""BEREIK"" VAN FINALE TOESTANDEN MOETEN INTEGREREN , TEN EINDE EEN FYSISCHE VOORSPELLING TE GEVEN .-----De tijdsafhankelijke perturbatie-theorie kan in deze situatie worden toegepast . Een zeer belangrijk resultaat is de GOUDEN REGEL VAN FERMI . Deze formule staat in relatie tot het geval van een constante perturbatie . Het kan worden aangetoond dat in dit geval , transities alleen kunnen plaatsvinden tussen toestanden van gelijke energieen . De waarschijnlijkheids-toestand P-f-i van de transitie van |phi-i> tot |phi-f> neemt lineair met de tijd toe , en W-f-i = dP-f-i(t)/d(t) = 2*pi/h- |<ksi-f|<ksi-f|W(t)|ksi-i|-kwadraat *ro(E-f) , waar ro(E-f) de dichtheid van de finale toestanden is .*****************
OPLOSSINGS-METHODEN IN DE KWANTUMMECHANICA -(deel 2) --1)DE VARIATIE-METHODE . De PERTURBATIE-THEORIE in bovenstaande (-deel-1) bestudeerd is niet de enige BENADERINGSMETHODE IN DE KWANTUMMECHANICA . Nu zullen wij een andere methode presenteren , toepasbaar op "conservatieve systemen" . Beschouw een fysisch systeem met tijd-onafhankelijke Hamiltoniaan H . We nemen voor de eenvoud aan dat het gehele spectrum van H discreet is en niet-gedegenereerd . (H| ksi-n> = E-n |ksi-n> ) n<= 1, 2, 3, ...... . We noteren met E-0 de kleinste eigenwaarde van H ( dat is de laagste energie van het systeem ) . Een willekeurige toestand |ksi> kan geschreven worden in de vorm |ksi> = SIGMA c-n | ksi-n> . Dan <ksi|Hksi> = SIGMA-n |c-n|-kwadraat E-n => E-0 SIGMA-n |c-n|-kwadraat . Aan de andere kant , <ksi|ksi> = SIGMA-n |c-n|-kwadraat . Aldus kunnen wij concluderen dat voor iedere ket : <H> = <ksi|H|ksi> /( <ksi|ksi> => E-0 (*) . Vergelijking (*) is de basis van de VARIATIONALE METHODE . Een functie van kets | ksi(alpha) > wordt gekozen , die TRIAL-KETS worden genoemd . De gemiddelde waarde van H in de toestanden |ksi(alpha) > wordt berekend , en de uitdrukking <H> (alpha) is geminimatiseerd met respect tot de parameter alpha . De gemiddelde waarde verkkregen is een benadering van de energie-toestand E-0 . Vergelijking (*) is actueel een deel van een meer algemeen resultaat , de Ritz-stelling genoemd : de gemiddelde waarde van de Hamiltoniaan H is stationair in de omgeving van zijn discrete eigenwaarden . De variationale methode kan daarom gegeneraliseerd worden en schattingen voor andere energie niveaus dan de grondtoestand opleveren . Als de functie <H> (alpha) verkregen uit de trial-kets |ksi(alpha)> verschillende extremen heeft , geven zij benaderende waarden voor sommige van zijn energieen E-n --2) SEMI-KLASSIEKE BENADERING ( DE ""WKB""-BENADERING ). Apart van de perturbatie en variatie -methoden die eerder beschreven werden , is er een andere METHODE , die passend is OM OPLOSSINGEN TE VERKRIJGEN voor de EEN_DIMENSIONALE SHRODINGER-VERGELIJKING . Dit is de zogeheten semi-klassieke of WKB-benadering ( genoemd naar Wentzel , Kramers en Brillorim) . De WKB- methode kan ook toegepast worden op 3-dimensionale problemen , als de potentiaal sferisch symmetrisch is , en een radiale differentiaal-vergelijking kan worden . De WKB-methode introduceert een ontwikkeling van h- waarin termen met de orde groter dan h-kwadraat verwaarloosd worden . Aldus vervangen wij de Schrodinger-vergelijking door zijn klassieke limiet (h- => 0) . Echter de methode kan zelfs toegepast worden in regionen waarin de klassieke interpretatie betekenisloos is ( regionen die niet toegankelijk zijn voor klassieke deeltjes ) .---Beschouw de Schrodinger-vergelijking in 1 dimensie : d-kwadraat ksi/(d-x-kwadraat) + 2*m/(h--kwadraat) *[ E-V (x) ] ksi(x) = 0. We beschouwen alleen stationaire toestanden , en schrijven de golf-functie in de vorm ksi(x) = e-tot-de-macht-(i*u(x)) . We zullen schrijven : .....{ k(x) = 1/h- *vierkants-wortel-uit ( 2*m*[ E- V(x) ]) voor E > V(x) en k(x) = (-i) *KSI(x) = -i/h- *vierkantswortel-uit ( 2*m *[ V(x) -E] ) voor E, V(x) (**) . Wanneer wij ksi(x) in (88) substitueren , vinden we dat u(x) voldoet aan de vergelijking i * d-kwadraat u/(d-x-kwadraat) - ( d-u/(d-x))-kwadraat + [ k(x)]-kwadraat = 0 . In de WKB-benadering ontwikkelen we u(x) in een macht-reeks van h- : u(x) = u-0 + h-/i * u-1 + (h-/i)-kwadraat *u-2 + ....... en wij beschouwen slechts u-0 en u-1 . Wij verkrijgen dan de benaderende golffunctie overeenkomstig de WKB-methode ksi (x) = C-1/( vierkants-wortel-uit k(x)) *exp{ i*de-integraal-van-naar-x k(x')dx' } + C-2/(de vierkantswortel-uit (|k(x)|) *exp{ -i *de-integraal-van-naar-x k(x')dx'} . Een regio waarin E > V(x) wordt een klassiek toegestane bewegings-regio genoemd , terwijl een regio in welke E < V(x) klassiek ontoegankelijk wordt genoemd . De punten in de grensstreek tussen deze 2 soorten van regionen worden draaipunten [waar E= V(x) ] worden genoemd .---TOEPASBAARHEIDS-VOORWAARDE : De WKB-benadering is gebaseerd op de voorwaarde : 1/2*|k-1(x)|<<|k-kwadraat(x)| . De voorwaarde kan uitgebruikt worden in een aantal van equivalente vormen . Gebruik-makende van de Broglie-golflengte lambda = 2*pi/k (**) kunnen wij (**) schrijven als : lambda/(4*pi) *|dk/dx| << k . Rekenend naar de omslagpunten , voor welke k(x-0) = 0 , hebben wij k =ongeveer 0 , hebben wij k =ongeveer dk/dx *|-x-0 (x - x-0) . Aldus is de semi-klassieke benadering van toepassing voor een afstand van het omslagpunt , dat voldoet aan de voorwaarde : |x -x-0| >> lambda/(4*pi).------------DE VERBINDING-FORMULES : Beschouw een draaipunt . Neem aan dat behalve in zijn onmiddellijke omgeving de WKB -benadering toepasbaar is . De """MATCHING""" tussen de WKB-benaderingen aan iedere zijde van het omslagpunt hangt er van af of de "klassieke regio" aan de linkerkant van het punt is , of aan de rechterkant er van . --In het eerste geval hebben we x>b : ksi-1(x) = A-1?vierkwortel(k) *cos( de-integraal-vanb-naar-x--van k(x') dx' - B-1*pi) , terwijl in het tweede geval , voor x,a : ksi-2(x) = A-2/k *cos( de-integraal-van-x-naar-a-van (x') dx' - B-2*pi ) . Toepassing van de BEGRENSDE TOESTAND . De WKB benadering kan toegepast worden om een vergelijking voor de energieen van een begrensde toestand af te leiden . Gebruikmakend van de verbinding-formules in iedere kant van de potentiaal , verkrijgen we : de-integraal-van-a-naar-b-van k(x)dx = ( n + 1/2)*pi n = 0, 1, 2, ......... welke geschreven kan worden als de kringintegraal-van p(x)dx = 2*pi*h- *(n + 1/2) n = 0, 1, 2, ..... . Deze vergelijking heet de Bohr-Sommerfeld-kwantiseringsregel .--------Barrier-potentiaal : Wanneer wij een potentiaal """barrier""" van de vorm V(x) tussen x = a en x = a en een deeltje met energie E beschouwen , wordt de transmissie-coefficient in de WKB-benadering gegeven door : T =ongeveer exp[-2/h- *de-integraal-van-a-naar-b-van- de-vierkantswortel-van(2*m*[V(x) -E]) dx .-----*************
IDENTIEKE DEELTJES . --1)INLEIDING. Veronderstel dat je een basketbal hebt en jouw vriend een voetbal met dezelfde massa ; je schiet ze op elkaar af , met dezelfde snelheid elk ; je laat ze botsen . Twee dingen kunnen nu gebeuren : (a) De ballen botsen en elke van de twee ballen gaat terug naar zijn eigenaar . (b) De ballen gaan ieder via parallelle "paden", zonder elkaar te raken en zonder toestand uit te wisselen . Omdat de twee ballen verschillende afmetingen en kleuren hebben , kan je voorspellen welke mogelijkheid gebeurde . (a) of (b) . Maar in geval de ballen , identiek waren , was je niet in staat te vertellen wat er gebeurd was ! Wanneer wij identieke KWANTUMDEELTJES beschouwen wordt de situatie nog slechter omdat we zelfs niet de exact afgelegde trajecten van botsende deeltjes kunnen nagaan .------2)PERMUTATIES EN SYMMETRIEEN VAN GOLFFUNCTIES . Definitie . We zeggen dat deeltjes van een systeem identiek ( niet te onderscheiden ) zijn als geen enkele waarnemer een permutatie van deze deeltjes kan detecteren . De eigenschap van niet-onderscheidbaarheid geeft aanleiding voor symmetrieen in het systeem . Beschouw een systeem van n identieke deeltjes met de eigenvector |phi-i> voor het deeltje i(i=1 , .....n) . We noteren de toestand van het systeem met een vector van eigenvectoren |phi-1 > , | phi-2> , ......., |phi-n> , erbij te bedenken dat verschillende codering van de |phi-i> 's in twee vectoren met twee verschillende vectoren correspondeeert , te weten : als n = 2 , (|phi-1 > , | phi-2>) is-niet-gelijk-aan (|phi-2> . |phi-1>) . Als 0 een PERMUTATIE is op de letters 1, ......, n , dan kan het geschreven worden als sigma = ( 1 2 3 ------- n sigma(1) sigma(2) sigma(3) sigma(n) , wat betekent dat de vector 1,2, .... , n (|sigma-1> ,|sigma-2> , ......., | sigma-n > ) wordt na de aktie met sigma . Aldus permuteert sigma de eigenvectoren : sigma(|phi-sigma-(1) > , ...... , |phi-sigma-(n)> ) . We kunnen zien dat sigma zich gedraagt als een lineaire operator . Een permutatie sigma kan als een product van TRANSPOSITIES geschreven worden , dat betgekent permutaties die over twee "letters" gaan . In geval de decompositie van sigma uit een even aantal transposities gaat , dan heet sigma een even permutatie , en we schrijven sgn(sigma) = 1 , en in geval dit getal oneven is , dan heet sigma een oneven permutatie , genoteerd sgn(sigma) = -1 . De vector | u> = | ksi-1> + | u> voor een willekeurige permutatie sigma . Dezelfde vector heet ant-symmetrisch als sigma . Dezelfde vector heet anti-symmetrisch als sigma . dezelfde vector heet anti-symmetrisch als sigma . dezelfde vector heet anti-symmetrisch als sigma |u> = sgn (sigma) | mu> voor een willekeurige permutatie sigma . ---------------Wij definieren twee operatoren : S^ = 1/(n!) SIGMA-sigma-permutatie sigma en A^= 1/(n!) SIGMA-sigma-permutatie (sgn(sigma))*sigma . S^ en A^ projecteren de gehele ruimte van golffuncties H op twee deelruimten : de ruimte van symmetrische golffuncties a-s , en de ruimte van anti-symmetrische golffuncties a-A : H-S = S^H H-A + A^H en daarbij is er : H = H-A (+) H-S ; dat wil zeggen , dat iedere vector de unieke som is van een complete symmetrische vector en een complete anti-symmetrische vector .*********Laat zien dat S^en A^ Hermitische operatoren zijn . Laat sigma iedere willekeurige permutatie zijn en noteer |u> = (|ksi-1> , .........,|ksi-n>) en noteer |u> = (|ksi-1> , ......, |ksi-n> ) en |v> = (|teta-1> , ......,|teta-n > ) ; dan ,v|sigma*u> = (<teta-1| , ........, <teta-n| ) (| teta-sigma(1)> , ......., |ksi-sigma(n)> ) = < teta-1|ksi-sigma(1) > < teta-2|ksi-sigma(2) > ........<teta-(n)|teta-sigma(n) > + <teta-sigma-tot-de-macht--1(1) | ksi-1> <teta-sigma--1-(2)|ksi-2>........<teta-sigma-(n)|ksi-n> = <v*sigma-tot-de-macht--1|u> . Dientengevolge , sigma-+ = sigma--1 en daarom : S^+ = 1/(n!) SIGMA-sigma-permutatie sigma-+ = 1/(n!) SIGMA-sigma-permutatie sigma--1 + 1/(n!) * SIGMA-sigma-permutatie sigma = S^. --Ook : A^+ = 1(n!) SIGMA-sigma-(sgn(sigma))*sigma-+ = 1/n! SIGMA-sigma (sgn(sigma))*sigma--1 = 1/n! *SIGMA-sigma(sgn(sigma--1))*sigma--1 = 1/n! *SIGMA-sigma (sgn(sigma))*sigma =A^ .Een willekeurige antisymmetrische golffunctie kan geschreven worden als |u-A> = A^|u> voor een golffunctie |u> = (|phi-1) , ....., |phi-n>) . Daarom , als {|phi-(j)>} een BASIS is van de enkelvoudige-deeltje-ruimte van toestanden , dan is een basis van de anti-symmetrische ruimte van alle n deeltjes gegeven door toepassing van A^ op een basis van de gehele ruimte , opgespannen door |phi-j-1> , ...... , |phi-j-n> ; aldus : |alpha-j-1 , ..... , -j-n > = A^*| C|phi-1-j-1> , |phi-2-j-2 , ...... , |phi-n-j-n> ) = SIGMA-sigma 1/n! *(sgn(sigma))*(|phi-1-j-sigma-(1)> , ...... , |phi-n-j-n> ) of |alpha-j-1 , ..... , j-n> = 1/n! *| |phi-1-j-1> |phi-1-j-2> ...........|phi-1-j-n>| -----|phi-2-j-1> |phi-1-j-2> ........|phi-2-j-n> | --------|phi-n-j-1> ..------------|phi-n-j-n> | .*************...... --3) BOSONEN EN FERMIONEN . Uit experimentele waarnemingen lijkt het alsof er twee soorten deeltjes zijn .Het ene soort bestaat uit deeltjes die volledig symmetrische golffuncties hebben ; zij worden de BOSONEN genoemd .De tweede soort bestaat uit deeltjes met volledig antisymmetrische golffuncties ; zij heten FERMIONEN .( zie ook hierover op de hoofdpagina onderwerpen Natuurkunde van deze website ) . Er zijn geen deeltjes met gemengde symmetrie . HET UITSLUITINGSPRINCIPE VAN PAULI is een basis-principe dat slechts geldig is voor IDENTIEKE DEELTJES die FERMIONEN zijn . Dit principe houdt in dat twee identieke fermionen NOOIT IN DEZELFDE KWANTUMTOESTAND KUNNEN ZIJN . Een alternatieve formulering van dit principe luidt : dat de WAARSCHIJNLIJKHEID om twee identieke fermionen met dezelfde ""kwantumgetallen"" te vinden , 0 is .**********************************************
DE SCHRODINGER-VERGELIJKING EN ZIJN TOEPASSINGEN .------------1) GOLFFUNCTIES VAN EEN ENKEL DEELTJE .In de kwantummechanica is een deeltje gekarakteriseer door een GOLFFUNCTIE phi(r-,t) (r- is de vector r) , welke informatie bevat over de ""spatiale"" toestand van het deeltje op tijdstip t . De golffunctie phi (r-,t) is een COMPLEXE functie van de 3 coordinaten x,y,z en van de tijd t . DE INTERPRETATIE VAN DE GOLFFUNCTIES is als volgt : de waarschijnlijkheid dP(r-,t) van het deeltje dat zich op tijd t in een volume-elementen d-3 *x + dxdydz bevindt dat alsvolgt gelokaliseerd is : dP(r- , t ) = C|ksi ( r,t) |-kwadraat d-tot-de-derde r ..(*) waar C een normalisatie-constante is . De TOTALE WAARSCHIJNLIJKHEID van het vinden van een deeltje waar dan ook in de ruimte , op tijdstip t , is gelijk aan de eenheid ; daarom : de integraal van dP( r- , t ) = 1 . ...(**) Met (*) en (**) komen we tot de conclusie : (a) De GOLFFUNCTIE ksi(r,t) moet vierkant-integreerbaar zijn , dus de integraal van |ksi(r- , t)|-kwadraat d-tot-de-derde r is eindig . (b) De NORMALISATIE-CONSTANTE wordt gegeven door de relatie 1/C = de integraal van |ksi(r-,t)|-kwadraat d-tot-de-derde r . Wanneer C= 1 , zeggen we dat de GOLFFUNCTIE IS GENORMALISEERD . Een golffunctie ksi(r- , t ) moet overal continu gedefinieerd zijn ..---2) .DE SCHRODINGER-VERGELIJKING .--Beschouw een deeltje met massa m onderworpen aan de potentiaal V(r-,t) . De tijd-evolutie van de golffunctie wordt gegeven met de Schrodinger-vergelijking : (i*h- delta ksi(r-,t))/(delta t) = -h--kwadraat/(2*m) LAPL ksi(r-,t) + V(r,t)*ksi(r-,t) , waar LAPL de Laplace-operator is : delta-kwadraat/delta-x-kwadraat + delta-kwadraat/delta-y-kwadraat + delta-kwadraat/delta-z-kwadraat ( met delta is de partiele afgeleide ) . Schenk aandacht aan twee belangrijke eigenschappen van de Schrodinger-vergelijking : (a) De Schrodinger-vergelijking is een lineaire en homogene vergelijking in ksi . Consequent , geldt het superpositie-beginsel ; dat betekent , als ksi-1(r- , t) , ksi-2( r- , t) , ....... , ksi-n(r- , t) oplossingen zijn van de Schrodinger-vergelijking dan is ksi = SIGMA-van-i=n-tot-n alpha-i *ksi-i(r- , t) ook een oplossing (b) De Schrodinger-vergelijking is een eerste-orde-vergelijking met betrekking tot de tijd ; daarom determineert de toestand op tijdstip t-0 op alle tijden zijn deelreekse toestand .----......3) DEELTJE IN EEN TIJDAFHANKELIJKE POTENTIAAL .-De golffunctie van een deeltje onderworpen aan een tijd-onafhankelijke potentiaal V(r) voldoet aan de Schrodinger-vergelijking : i*h- *delta-ksi(r- , t)/delta-t = -h--kwadraat/(2*m) *LAPL-kwadraat ksi(r- , t ) + V(r) *ksi(r- , t) . Een scheiding van variabelen toepassend ksi(r- ,t ) = phi(r-)*KSI(t) , krijgen we KSI(t) = A*e-tot-de-macht-(-i*w*t) ( A en w zijn constanten) , waar phi (r-) moet voldoen aan de vergelijking -h--kwadraat/(2*m) *LAPL-kwadraat phi(r-) + V(r-) *phi(r-) = h-*w*phi(r-) , waar h-*w de energie is van de toestand E .**Beschouw een deeltje dat een tijd-onafhankelijke potentiaal V(r-) heeft . (a) Neem aan dat EEN TOESTAND VAN HET DEELTJE BESCHREVEN WORDT DOOR EEN GOLFFUNCTIE VAN DE VORM ksi(r- , t) = phi(r-)*ksi(t) . Laat zien dat ksi(t) = A*e-tot-de-macht-(-i*omega*t) (A is constant) en dat phi(r-) moet voldoen aan de vergelijking : -h--kwadraat/(2*m) *LAPL-kwadraat phi(-r) + V(r-)*phi(r-) = h- *omega *phi(r-) , waar m de massa is van het deeltje . (b) Bewijs dat de oplossingen van de Schrodinger-vergelijking van deel (a) leidt tot een tijd-onafhankelijke dichtheid . OPLOSSINGEN . (a) We substitueren (invullen) ksi(r- , t) =.............(wordt binnenkort vervolgd)-------4).HET SCALAR-PRODUCT VAN GOLFFUNCTIES ; OPERATOREN.....---5). WAARSCHIJNLIJKHEIDS-DICHTHEID EN WAARSCHIJNLIJKHEIDS-STROOM.--------------...
DE GRONDBEGINSELEN VAN DE KWANTUMMECHANICA . -1) INTRODUCTIE .--In de klassieke mechanica , wordt de positie van een deeltje omschreven door een vector die drie reele aantal elementen heeft . Ondanks dat er een analoge beschrijving bestaat in de Kwantummechanica , zijn er veel 'significante' verschillen . De toestand van een Kwantummechanisch systeem wordt omschreven door een element van een abstracte vector-ruimte die de toestand-ruimte wordt genoemd en genoteerd epsilon . In Dirac-notatie heet een element van deze ruimte een ket , en wordt genoterrd met het symbool | > . OBSERVABELEN . Over het concept van een lineaire operator ( zie daarover ook op de pagina : onderwerpen wiskunde van deze website , functionaalanalyse ) . De Hermitiaanse operator is een lineaire operator die gelijk is aan zijn adjunct . Een fundamenteel concept van de Kwantummechanica is de observabele . Een observabele is een Hermitiaanse operator voor welke een orthogonale basis voor de toestands-ruimte kan vinden , die bestaat uit de eigenvectoren van de operator . In geval de toestands-ruimte eindig-dimensionaal is , is iedere Hermitiaan-operator een observabele . In de Dirac-notatie wordt een operator weergegeven ------(wordt binnenkort vervolgd)-----2) POSTULATEN IN DE KWANTUMMECHANICA .-POSTULAAT-1) De toestand van een fysiek systeem op tijdstip t-0 wordt gedefinieerd door een specefieke ket |ksi(t-0))> , behorende tot de toestands-ruimte epsilon .--POSTULAAT-2) Een meetbare fysieke grootheid A wordt beschreven door een observabele A die op epsilon werkt . Meting van fysieke grootheden . De houdbaarheid of geldigheid van een Natuurkundige theorie wordt continu bekeken door resultaten berekend met de theorie te vergrlijken met meetresultaten verkregen met experimenten . In de context van de Kwantummechanica geven de metingen aan fysieke grootheden de volgende 3 principiele vragen : (a) Wat zijn de mogelijke resultaten met de metingen . (b) Wat is de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van de mogelijke resultaten ? (c) Wat is de toestand van het systeem na de meting ? -----De antwoorden op deze vragen in de context van de Kwantummechanica wordt gevonden met de volgende 3 postulaten .-----POSTULAAT-3 . De mogelijke uitkomsten van de metingen van een fysieke grootheid zijn de eigenwaarden corresponderende met observabele A . Nou kunnen wij de 2e vraag beantwoorden in het geval.......(wordt binnenkort vervolgd)------3) GEMIDDELDE WAARDE EN "WORTEL"-GEMIDDELDE-VIERKANT-DELING .-----4) COMMUTATIE VARIABELEN.------5) FUNCTIE VAN EEN OPERATOR .-----6) HERMITISCHE CONJUGATIE .-----7) DISCRETE EN CONTINUE-TOESTAND-RUIMTEN .----8) REPRESENTATIES .----9) DE TIJDEVOLUTIE .------10) ONZEKERHEIDS-RELATIES .-------- 11) DE SCHRODINGER- EN HEISENBERG-""PLAATJES""-(wordt binnenkort vervolgd).---
HARMONISCHE OSCILATOR . (later meer )
ANGULAIR MOMENT . ( later meer )
VANAF HIER : NOG NADERE UITLEG OVER DE KWANTUM-MECHANICA . (wordt vervolgd) :....
*************************************************************------***************************************************************--***************************************************************-In GOLF-MECHANICA beschrijft de golffunctie de natuurkundige eigenschappen van een deeltje dat beweegt in een potentiaal . De golffunctie voldoet aan de Schrodinger-vergelijking , die een lineaire partiele differentiaal-vergelijking is , die van de eerste orde met tijd-afgeleiden is . Voor een natuurkundige interpretatie van de golffunctie definieren we de waarschijnlijkheids-dichtheid en de waarschijnlijkheidsstroom . Wanneer de potentiaal tijdsonafhankelijk is , vinden wij stationaire toestanden die toestanden-van-bepaalde-hoeveelheden-energie voorstellen en oplossingen van een tijds-onafhankelijke versie van de Schrodinger-vergelijking.
Voor een 1-dimensionale ruimte schrijven wij :-----------------------------------------------i*h_*de partiele afgeleide van phi (x,t) = (-h_kwadraat/(2*m) +de tweede partiele afgeleide naar x^2 van +V(x))phi(x,t) .----------------------------------------------------------------------------
------P(x,t) is de waarschijnlijkheid dat het deeltje zich in het interval [ x , x + dx ] op tijdstip t bevindt . de integraal van -oneindig naar oneindig van dx P(x,t) = de integraal van -oneindig naar oneindig van abs ((phi(x,t) )^2 dt =1 voor alle t . N.B. ^betekent tot-de-macht .
In de quantummechanica commuteren de positie-operator x^ en de moment operator p^ niet . Zij voldoen aan de commutatie-relatie : |x^, p^| = i*h_ .
( het moment p is in de mechanica gedefinieerd als m*v ).
x^phi (x) == x*phi(x) ; p^== h_/i *de partiele afgeleide naar x aldus : p^*phi(x) = h_/i *dphi/dx .
De stationaire toestanden (in de tijds-onafhankelijke situaties ) .( Met de Schrodinger-vergelijking ) : dan i*h_ * de partiele afgeleide naar t van phi(x,t) = H^(x,t) , met H^ == - h_-kwadraat/(2*m) * de tweede partiele afgeleide naar x-kwadraat van + V(x) . Een stationaire energie-toestand is zo een oplossing phi(x,t) van de Schrodinger-vergelijking die de vorm phi (x,t) = e tot-de-macht -i*E*t/h_ ksi (x) aanneemt .--------------------------
HET MAGNETISCH MOMENT EN SPIN .Het angular (mechanisch ) moment is gedefinieerd als L = M*v*R , met M de massa van het deeltje , v de snelheid en R de straal van de baan van het deeltje . Het magnetisch moment mu is gedefinieerd als de vector mu = I*de-vector-A , waarbij I de stroomsterkte is in ampere en A het oppervlak van het stroomcircuit isgelijk 1/2*Q*v*R ( isgelijk Q/(2*M) *L ). Voor een elektron geldt nou mu = e/(2*m-e) *S , waar S de zogenaamde spin is . Aldus : mu == e*h_/(2*m-e) *(S/h_) , in feite mu = 'g'*e*h_/(2*m-e) *S/h_ , met voor een elektron is g= 2 .----------
ONZEKERHEID. De onzekerheid delta A(phi) == |(A - <A> 1)phi| aldus (deltaA(phi))-kwadraat = <A-kwadraat> - <A>-kwadraat >= 0 . Het ONZEKERHEIDSPRINCIPE is : (delta-A(phi))-kwadraat * (delta-B(phi))-kwadraat >= (<phi|1/2*pi[A,B] |phi)-kwadraat . Hierbij kun je voor A x invullen , dat is de positie en voor B kun je p invullen , dat is het mechanische moment .
Het BEWIJS VAN HET ONZEKERHEIDS-PRINCIPE . Te bewijzen (zie hierboven) delta-A*delta-B >= |<phi|1/2*pi [A,B] |> . Voorbeeld van de kwantummechanica A= x- , de onzekerheid van de plaats , B= p- , de onzekerheid van het moment en [x-,p-] = ih dan (delta-x)^2 *(delta-p)^2 >= (<phi|1/2*pi * i*h |phi>)^2 = (h-/2)^2 daaruit volgt delta-x * delta-p >= h-/2. Nu het algemene bewijs . |f> == (A-<A> 1 |phi> en |g> == (B- 1|phi> . (delta-A)^2 = <f|f> en (delta-B)^2 = <g|g> en |f||g| >= |<f|g> . Uit de ongelijkheid van Schwarz van de wiskunde volgt nu <f|f> <g|g> >= |<f|g>|^2 herschrijven als (volgens de definities) (delta-A)^2(delta-B)^2 >= (Re(<f|g>))^2 + (Im<f|g>)^2 . Nu : wat is <f|g> ? <f|g> = <phi|(A-<A>)(B-)|phi> = <phi|A-B-|phi> = <phi|AB|phi> - <A> . <g|f> = nou <phi|BA|phi> - <A> = <phi |B-A-|phi> . Im <f,g> = 1/2*pi (<f|g>-<g|f>) = 1/2*pi <phi|[A,B]phi> . Re <f,g> = 1/2 (<f|g>+<g|f> ) = 1/2<phi|{A-,B-}|phi> en nou (delta-A)^2 (delta-B)^2 >= (<phi|1/2*pi [A,B]|phi>^2 + (<phi|1/2 {A-,B-}|phi>)^2 . ( is het gegeneraliseerde onzekerheids-principe) .
Zuiver wiskundig kun je de gevolgen van "verstrengeling" van elementaire deeltjes als elektronen , fotonen maar ook kwarks berekenen ( Engels : entanglement) en afleiden en ook berekenen wat de gevolgen van verstrengeling zijn . Teleportatie , zoals in science-fiction -boeken en -films kan natuurlijk niet , want niets kan sneller dan de snelheid van het licht en elementaire deeltjes staan heus niet op afstand van elkaar met elkaar in verbinding (dus zeker radiografisch ook niet) , maar elementaire deeltjes die bijvoorbeeld paarsgewijs met elkaar verstrengeld zijn geweest , onthouden van elkaar elkaars natuurkundige toestand (bijvoorbeeld elkaars spin -zie boven) , ook al zijn ze al op ruim een kilometer van elkaar , of duizenden kilometers of lichtjaren ver van elkaar verwijderd inmiddels .(binnenkort meer).
Zuiver met de wiskunde kun je ook Bells experiment (zie boven )en met name de uitkomsten ervan berekenen en ook zo dat aan Bells veronderstelde ongelijkheid lang niet altijd wordt voldaan en ook niet altijd aan de veronderstellingen die aan de experimenten van Aspect (zie boven ook )ten grondslag liggen . (binnenkort meer)
**************************************************************----**************************************************************----****************SAMENVATTING VAN DE LEERSTOF VAN DE CURSUS QUANTUMMECHANICA VOOR IEDEREEN , waar ik 18 april 2017 mee begonnen ben en welke cursus 4 weken duurt.------In week 1 drie thema,s : magneten en elektromagnetisme , waarschijnlijkheid en waarschijnlijkheid in de quantummechanica . Magneten hebben altijd een Noordpool en een Zuidpool en tegengestelde polen trekken elkaar aan en gelijke polen stoten elkaar af .Als je een staafmagneet in de richting van de noordpool door een koperdraad-lus ( "loop") beweegt , gaat in die lus een stroomlopen , met de noordpool van de magneet naar boven , tegen de wijzers van de klok in . (rechterhand-regel). Als je door een rechte koperdraad stroom laat lopen (van plus naar min) , ontstaat er rondom ddie draad een magnetisch veld , waarvan de veldlijnen , als de stroom naar boven loopt in de draad , in cirkels tegen de wijzers van de klok om de draad draaien (ook met de rechterhand-regel) . In de quantummechanica , die deeltjes ter grootte van een atoom en kleiner bestudeert , zou je een (negatief geladen) elektron , dat om een atoomkern beweegt een lus kunnen noemen , die omdat er een elektrische beweging is , een magnetische dipool wordt. In de cursus wordt het Stern-Gerlach experiment van de twintiger jaren van de vorige eeuw , beschreven waar wordt nagebootst , dat elementaire deeltjes afgeschoten , kunnen worden afgebogen door een magneet . De meeste gaan daarnaartoe waar het meeste magnetisme is , maar een minderheid buigt af naar waar het minste magnetisme is . Het is geheel toevallig , waarnaar de deeltjes afbuigen . Dan wordt er in de cursus zaken van de waarschijnlijkheidsrekening besproken , zoals kop of munt gooien met een munt , ook meerdere keren achter elkaar . 1 tm 6 gooien met een dobbelsteen . Meerdere worpen met een dobbelsteen . En hoe groot de kans is dat van een aantal personen er 2 op dezelfde dag jarig zijn . Dan komt hoe de waarschijnlijkheidsrekening in de quantummechanica werkt (zoals zojuist met het Stern-Gerlach -experiment besproken .In week-2 van de cursus worden nog meer experimenten uitgevoerd , waarvan is aangetoond dat de kwantum-uitkomsten daadwerkelijk de uitkomsten moeten zijn , omdat je ervan uit moet gaan 1)dat een deeltje zich gedraagt als golf en 2) verstrengeling bestaat . In week 20 wordt de zogeheten Stern Gerlach-lus experimentele opstelling besproken en hiermee respectievelijk Wheelers vertraagde keuze experiment , het EPR( Einstein Podolsky Rosen) experiment en Bell's ongelijkheid onderzocht . Zo spoedig mogelijk zal ik deze experimenten hier beschrijven en de resultaten , met hun verklaringen vanuit de kwantum-theorie . In week 2 worden ook als toepassing , NMR en MRI scan besproken . Week 30 gaat over licht. Eerst dat licht zowel deeltjes as golf eigenschappen heeft .(wordt binnenkort vervolgd)
In alle gevallen is met Bells ongelijkheid gevonden dat Kwantummechanica , MET ZIJN SPOOK-GEDRAG OP AFSTAND EN ZIJN VERSTRENGELING , de correcte beschrijving is van de Natuurkundige wereld.
In week 2 (van de in totaal 4 weken) van de Amerikaanse cursus kwantummechanica voor iedereen ( dat is met weinig wiskunde) staan onder andere de volgende twee constateringen over het ATOOM , dat maar een dom ding blijkt te zijn : 1) "To realize that quantum particles only remember the last thing that was measured about them ." en 2 ) in verband met het Stern Gerlach-lus experiment : "It only remembers the last axis it had its projection measured on ." Hieruit zou spreken : wanneer je met je meetmethode iets niet meer zou meten , het kwantumdeeltje opeens een ander , eerder gemeten eigenschap zou hebben . Dit kan natuurlijk niet . (Er wordt waarschijnlijk wat anders bedoeld , ik weet wel zeker , dat omdat je met kwantummechanica niet met exacte uitkomsten werkt en kan werken , maar met de kans op een bepaalde uitkomst , met waarschijnlijkheden , een exact gemeten eigenschap van een deeltje wat anders is dan de kans op een uitkomst van hier varianten van het Stern-Gerlach experiment . (in dit item , wat naar boven , beschreven ).(binnenkort meer)
*************************************************************-----**************************************************************----NAAR AANLEIDING VAN DE 3 CURSUSSEN MASTERING QUANTUMMECHANICA DIE IK VOLG IN DE ZOMER VAN 2018, TOT 3 SEPTEMBER 2018. Deel 1 : Golf-Mechanica , Deel 2 : Kwantum Dynamica , Deel 3 : Verstrengeling en Angulair Moment-----------------Wat is een Hermitische matrix ? Een Hermitische matrix is een matrix waarvan de Transpose (de spiegeling ervan om de hoofddiagonaal( die van links boven naar rechts beneden) gelijk is aan de complex-conjugate van die matrix, dat is de matrix die je krijgt als je alle complexe elementen van de oorspronkelijke matrix vervangt door hun complexe conjugate, dat is dat een complex getal a + i*b wordt a - i*b).........De vermenigvuldiging van 2 matrixen met elkaar is in het algemeen niet commutatief. Dus A*B is in het algemeen niet B*A dus A*B - B*A is in het algemeen niet 0.Wat is de impuls van een mechanisch element ? Dat is de massa ervan vermenigvuldigt met zijn snelheid (een vector) , dus vermenigvuldigt met de afgeleide naar de plaats van de positie, zeg x (een vector). Uit de Schrodinger-vergelijking van de kwantummechanica is af te leiden dat massa m is i/h-bar en zo is de plaats de vector x en de impuls m*v is dus i/h-bar * de partiele afgeleide van x naar x. p*x-x*p is aldus (zie hierboven ergens ook) i/h-bar * de partiele afgeleide naar x van x *x - x * i/h-bar *de partiele afgeleide naar x van x = (werk uit ! ) i*h-bar (binnenkort meer)Om dat de Schrodinger-vergelijking altijd complexe oplossingen heeft is het van belang om te begrijpen hoe de Schrodingervergelijking is opgesteld en wat de oplossingen ervan te zijn, lineaire algebra weer te doen, maar nu ook met complexe getallen. De Schrodingervergelijking is op zijn eenvoudigst voorgesteld : de tweede afgeleide naar x van functionaal phi = H*functionaal phi . Dit is een eigenwaardenprobleem, waarbij de oplossingen voor H de Energietoestanden van het kwantumdeeltje-systeem zijn -een grondenergietoestand en steeds hogere, aangeslagen energietoestanden- en de oplossingen voor phi, de eigenvectoren golffuncties blijken te zijn , dat wil zeggen te schrijven als som van sinussen en cosinussen , wat gelijk is aan e-tot de macht een complexe functie, welke oplossingen functionale phi , als je er de coordinaten x, y en z en de tijd t invult de kans, tussen 0 en 1 aangeeft dat het deeltje op die plaats en die tijd, die bepaalde energietoestand heeft. Om dit beter te begrijpen eerst wat lineaire algebra voor complexe getallen. Het inwendig of dot-produkt van 2 vectoren kan gedefinieerd worden als het inwendig produkt <u,v> is het inwendig produkt van (u-1 , u-2, ......, u-n) en (v-1, v-2, ...., v-n) en kan gelijk gesteld worden aan u-1*v-1 + u-2*v-2 +......+u-n*v-n . Het inwendig produkt van 2 complexe vectoren u en v , <u,v> is echter gedefinieerd als u-1-conjugate*v-1 + u-2-conjugate*v-2+ ......+u-n-conjugate*v-n, waarbij het conjugate van een complex getal a + b*i gedefinieerd is al a - b*i . Zo is te bewijzen dat het inwendig produkt gelijk is aan alpha-conjugate*< u,v >. We definieren nou de operator T-dagger behorende bij de operator T . T-dagger is de operator waarmee geldt : < u, Tv > = <T-dagger u, v> . Operators waarvan de dagger gelijk is aan de operator zelf , heten Hermitisch en je hebt ook nog Unitaire operatoren. Een operator heet unitair als geldt : | Uv | =| v | , dat wil zeggen : de absolute waarde van de operator U toegepast op de vector v is de absolute waarde van die vector v zelf. Nogmaals als de driedimesionale vector x, de positie van een deeltje voorstelt (zijn lengte, breedte en hoogte ), als functie van de tijd t dan is m*v het moment p van dat deeltje, als functie van de tijd , waarbij m de massa van dat deeltje is en de vector v de snelheid als functie van de tijd , waarbij v de afgeleide (het differentiaalquotient ) van de plaats x naar de tijd t is . Je krijgt dus : p = m * dx/dt. Voordat we de golfvergelijking van Schrodinger (zie hierboven ook ) gaan afleiden , waarbij de functionalen die de oplossingen van de vergelijking van Schrodinger zijn , welke oplossingen we binnenkort ook hier gaan afleiden, golffuncties phi zijn , de eigenvectoren van het eigenwaardeprobleem dat de tweede-graads-Schrodinger-partiele differentiaalvergelijking in x is, maar ook een eerste-graads partiele differentiaalvergelijking in t (zie hier naar beneden)dus uit te drukken in de som van sinusfuncties en cosinusfuncties ook gelijk aan een functie zoals e tot-de-macht een complexe functie. We zeggen nu al dat de golffunctie in de p-basis (p is het moment van het (kwantum-)deeltje de Fourier-transformatie van de golffunctie in de x-basis (x is de plaats van het (kwantum-)deeltje ) is. Een Fourier-transformatie van een wiskundige functie is (zoals je ook Laplace transformatie hebt en ook ontwikkeling van een functie in een Taylorreeks) die functie getransformeerd in een vaak oneindige reeks van sommen van sinus- en cosinus-functies . (binnenkort de theorie van Fourier-transformaties , in het bijzonder ook met functie van complexe getallen , waarvoor een stuk meer wiskunde-theorie nodig is en de toepassing van deze theorie op de theorie van de kwantum-mechanica, waar , met de imaginaire coefficient in de Schrodinger-vergelijking, de oplossingen , de golffuncties die de eigenvectoren zijn , daarom complexe functies zijn en de eigenwaarden van het probleem de verschillende (kwantum-)-energie-toestanden die het (kwantum-)deeltje kan aannemen en waarvan de laagste waarde de grond-energietoestand is , de een-na-laagste waarde de eerste aangeslagen toestand enzovoorts.(in de volgende items meer)
De Schrodinger-vergelijking kan geschreven worden als (de afleiding ervan en de oplossing volgen later) : i*h-bar * de partiele afgeleide naar t van phi (x,t) = (-h-bar^2/(2*m) * de tweede partiele afgeleide naar x ( dat is de partiele afgeleide naar x van de partiele afgeleide naar x ) van phi (x,t) + v(x,t) *phi (x,t) . i is hier het imaginaire getal i (de wortel uit -1), h-bar is 2*pi*h , waar h de constante van Planck is , ongeveer 6,626*10^(-34) . v(x,t) is een reele functie die de potentiaal heet en phi (x,t), de te vinden functionaal is de golffunctie , die , omdat er in het linker gedeelte van de Schrodinger-vergelijking vermenidgvuldigd wordt met het imaginaire i , complex is. phi (x, t_0) bepaalt alle phi (x,t) omdat de Schrodingervergelijking een differentiaalvergelijking is, en de vergelijking is LINEAIR, omdat , wat je eenvoudig aantoont, a*(phi-1)(x,t) + b*(phi_2)(x,t) en oplossing is (a en b complex) als phi-1(x,t) en Phi-2(x,2) ieder ook oplossingen zijn. ------De "probability density" (waarschijnlijkheids-dichtheid) P(x,t) is gedefinieerd als phi(x,t)-conjugate * phi(x,t) en is de waarschijnlijkheid (tussen 0 en 1) dat je het (kwantum-)deeltje vindt, op de tijd t(binnenkort meer) . in het interval [x, x+dt] . Aldus is de integraal van min oneindig naar plus oneindig van |phi(x,t)|^2 dx gelijk aan 1 , voor alle t.---------------------------Aldus is de Schrodinger-vergelijking (in het een-dimensionale geval) te schrijven als i*h-bar* de partiele afgeleide naar t van phi = H-dakje *phi , met H-dakje = h-bar^2/(2*m) * de tweede partiele afgeleide naar x + v(x) en waar H-dakje de Hamiltonium-operator wordt genoemd (deze is dus tijds-onafhankelijk).----Wat is nu een stationaire energie-toestand E (die een reeel getal is , de hoeveelheid energie is immers reeel) met phi (x,t) = e^(-i*E*t/h-bar) * phi(x) . Er blijkt nu : H-dakje *phi = E* phi (x), is de tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking. We herkennen hierin een wiskundig eigenwaarde-probleem , dat , normaal gesproken,een eindig aantal oplossingen voor E heeft. Deze waarden voor E , stellen in geval van een kwantum-probleem de verschillende waarden voor die de energie van het kwantumsysteem kan aannemen. De laagste waarde van E is dan de energiehoeveelheid in de grondtoestand, de een -na-laagste waarde de energiehoeveelheid in de eerste aangeslagen toestand , de twee-na-laagste waarde de energiehoeveelheid in de tweede aangeslagen toestand enzovoorts. Bijvoorbeeld de (eindig aantal mogelijkheden) energiehoeveelheid van een elektron, in de klassieke voorstelling, in een baan om de kern van een atoom. Door licht op het materiaal te laten schijnen ( bijvoorbeeld een metaal , maar ook een halfgeleider als silicium)kan een lichtdeeltje , een foton , met energie dus E (in joules is newton-meters is wattseconden)= h*f , met h is de constante van Planck , in de orde van 6.26*10 tot-de-macht min 34(binnenkort meer)en f de frequentie van het licht (in trillingen per seconde) door een elektron , precies in een kwantum-hoeveelheid , geabsorbeerd worden , waardoor het elektron die hoeveelheid meer energie krijgt, volgens het klassieke model in een hogere baan komt en aldus het materiaal , als het een halfgeleider, niet of wel licht gedopet met een ander materiaal, is zoals silicium , veel geleidender wordt. Het aangeslagen elektron kan zijn kwantumenergie ook weer verliezen , zoals in een LED (light emitting diode), als daar stroom doorheen gaat , waardoor een foton , een lichtdeeltje ontstaat, zodat de LED dan als lamp , die licht (van een bepaalde frequentie) uitstraalt, werkt. De phi(x) -eigenfuncties als oplossingen van het kwantumprobleem , de bovenstaande vorm van de Schrodinger-vergelijking , neemt dan altijd een complexe waarde aan , de golffunctie genoemd , en de absolute waarde is in het kwantumprobleem , mits "genormaliseerd" ( zie hier direct na)een kansfunctie , die altijd een waarde tussen 0 en 1 aanneemt en de KANS (probability) is, dat het bewuste kwantumdeeltje zich op plaats x (x,y,z ; lengte, breedte, hoogte) bevindt. In de klassieke kwantummechanica werk je dus met kansen ( zie hierboven ook , met hoe die theorie zich zo ontwikkeld heeft ). Dat heeft tot resultaat dat bepaalde processen in de natuurkunde anders verlopen dan je met de klassieke natuurkunde zou verklaren , wat als je er pas mee kennismaakt vaak buiten het bevattingsvermogen wordt bevonden. Orthogonaal is loodrecht op elkaar, in geval van vectoren , wanneer hun inwendig product (correctie) 0 is ( zie hiervoor vooral ook op de pagina onderwerpen wiskunde van deze website). Orthonormaal is , wanneer de twee vectoren niet alleen orthogonaal zijn , maar allebei ook de lengte 1 hebben. Wel nu, voor de Schrodinger-vergelijking geldt dat een oplossing phi(x,t) van het bijbehorende eigenwaarde-probleem (zie hierboven), op het tijdstip 0, dus phi (x, t=0) = phi (x) = de som over alle n van b-n * phi-n(x) . En : de integraal van min oneindig naar plus oneindig (over de gehele oneindige ruimte dus) van dx * phi-conjugate (x)-n * phi (m) * delta-n,m = 1 (Dit betekent : de kans dat het deeltje ergens in het gehele heelal voorkomt is altijd 1 ( 100 procent) , waarbij delta-n,m de zogeten deltafunctie is , die de waarde 0 heeft als n ongelijk m en de waarde 1 als n = m. Nou moet je de functies phi-n(x) normaliseren , met een zogeheten normalisatie-procedure, wat betekent dat de nieuw te vormen functies phi-n(x) allemaal 2 aan 2 orthonormaal zijn , dat wil zeggen loodrecht op elkaar (inwendig product (correctie) 0) en allemaal lengte 1 . Voor de zo te definieren tijdsafhankelijke geldt nu , dat operator A-dakje, met phi (x,t) = De som voor alle n van b-n (zie hierboven , voor de definitie van de b-n) *e^((-i*E-n*t)/h-bar) * phi-n(x) en dat de verwachting van deze operator A-dakje : <A-dakje> gedefinieerd is met de integraal van min oneindig naar plus oneindig (over de gehele ruimte dus) van dx * phi-conjugate (x,t) * A-dakje * phi (x,t) = de som over alle n en m van b-n-conjugate *b-m * e^((-i*E-m*t)/h-bar)) * de integraal van min oneindig naar plus oneindig van dx * phi(x)-conjugate * A-dakje * phi-n(x) . Hieruit blijkt <A-dakje> (de statistische verwachting van A-dakje ) = ( de integraal van min oneindig naar plus oneindig van dx * phi(x,t)-conjugate * A-dakje * phi (x,t) ) / (de integraal van min oneindig naar plus oneindig van dx * phi (x,t)-conjugate * phi (x,t) ) . Normaal gesproken zijn er bij iedere eigenwaarde als oplossing van de Schrodinger-vergelijking oneindig veel complexe oplossingen voor de functie phi, die je als lineaire combinatie van elkaar kunt schrijven en bestaat er een tweetal genormaliseerde complexe oplossingen voor phi (dus waarvan de norm 1 is) die , als je ze bij elkaar optelt een reele oplossing (functionaal dus) voor phi, die aldus een waarde tussen 0 en 1 aanneemt en dit is de waarde van de kans op een bepaalde eigenwaarde die correspondeert (zie hierboven) met een bepaalde energie-waarde.(Binnenkort meer).
Over kans in de kwantummechanica, ook in verband met fotonen en het einde van het determinisme. Determinisme en hoe het allemaal begon met fotonen. Einstein (1905) begon met dat licht bestaat uit zogeheten fotonen. Licht is een golf , maar fotonen zijn ook deeltjes. Eigenlijk geen van beiden. Een deeltje in de betekenis van Newton (plm. 1680) , is een object met afmeting nul, met maasa en snelheid. Een foton is een pakketje energie die je niet in kleinere pakketjes kunt opdelen. De energie van een foton = h*f , met h is de costante van Planck, ongeveer 6.26 * 10^(-34) en f de frequentie van de golf, in trillingen per sekonde .------Laat nu een straal licht een zogeheten polarizer raken. Licht lineair gepolariseerd op de x-as, en gaat in de x-richting dan gewoon door. Licht lineair gepolariseerd op de y-as, gaat helemaal niet door in de x-richting. Licht dat een hoek alpha maakt met de x-as gaat in de x-richting volgens : de energie in de x-richting vector E-x + E-0 * cos (alpha) * vector-x (de eenheidsvector in de x-richting) + E-0 * sin (alpha)* vector-y . Na de polariser dus : E =E-0 * cos (alpha) *vector-x . DE ENERGIE VAN HET ELEKTRISCHE VERSCHIJNSEL IS EVENREDIG MET HET KWADRAAT VAN HET ELEKTRISCHE VELD. Wat betekent dit voor fotonen ? Wat dit betekent is erg raar, aldus professor Zwiebach van het MIT in de Verenigde Staten. Identieke fotonen in de licht-stroom, wellicht vele miljarden, daarvoor geldt : (aldus) een (cos(alpha))^2 -deel gaat door en een 1-(cos(alpha))^2-deel gaat niet door. Soms gaan de deeltjes dus door en hoewel ze identiek zijn, soms niet. Gepolariseerd verandert de kleur van het licht en dus de frequentie , niet. HET EXPERIMENT MET DE POLARISERS LAAT DIT ZIEN. Welke eigenschap van fotonen is hiervoor verantwoordelijk ? Misschien is de ene foton niet de ander, is er een zogeheten verborgen variabele. John Bell (1964) probeerde dit aan te tonen met zijn experimenten. (zie meer naar boven op deze pagina ook). ALDUS ZIJN WE HET DETERMINISME KWIJTGERAAKT EN HEBBEN WE WAARSCHIJNLIJKHEID GEKREGEN. ----------Wat is de GOLFFUNCTIE van een foton ? zie item -121.
Over superpositie, in het bijzonder in de kwantummechanica . Wat is de GOLFFUNCTIE van een foton, of een ander elementair deeltje, bijvoorbeeld een elektron ? Beschouw de toestand van deeltjes als golffunctie, als vectors. | foton, x > en ook | foton, y > . Lineariteit betekent dat de superpositie van beide bestaat. Ook : | foton, alpha > = cos (alpha) * | foton, x > + sin(alpha) * | foton, y > . Bell (1964) merkte op, dat een experiment de ongelijkheid zou kunnen aantonen. (de ongelijkheid van de fotonen). Maar een paar jaar later waren deze experimenten mogelijk, maar deze lieten zien dat dit niet waar is. De aard van superpositie in de kwantummechanica is , in tegenstelling tot in elektromagnetisme, erg 'raar".zie verder : item-122.
Over experimenten met de Mach-Zehnder-iterferometer, over Spin en over Entanglement (Verstrengeling). -----------De Mach-Zehnder-interferometer. Links bevindt zich een zogeheten splitter, die een van links komende lichtstraal splitst in twee lichtsralen , volgens een bepaald voorschrift, waarvan de ene straal naar rechtboven gaat , de ander naar rechtsbeneden, waar beide stralen via een vlakke siegel naar rechts een tweede splitter gekaatst worden, rechts, die het inkomende licht weer in 2 stralen splitst, volgens een bepaald voorschrift, de een naar rechtsboven naar detector-0 en de ander naar rechts beneden naar detector-1. (Uit gevonden in de jaren 1891-1892, toen er nog geen kennis van fotonen was ) Sommige fotonen gaan haar rechts boven , andere naar rechtsbeneden, met de kwantummechanica komt hier de waarschijnlijkheid. Met de interferentie gaan sommige omhoog en andere omlaag. De kleur van het licht en dus de frequentie blijft hetzelfde en er geldt de wet van behoud van energie. Ieder foton interfereert met zichzelf ( de enige mogelijkheid). Ieder foton moet in beide lichtstromen zich bevinden. Ieder foton is een superpositie van 2 fotonen in beide lichtstromen. De uitleg hierover: een vector kan je schrijven als de som van twee (of meer) vectoren. Zo kan je de Natuurkunde begrijpen. In de kwantummechanica krijg je bij superpositie de toestand |A> of |B> ( dus niet alpha*|A> + beta*|B> ), met verschillende waarschijnlijkheden : prob |A> is evenredig met |alpha|^2 en prob |B> is evenredig met |beta>^2 , in principe alpha en beta complexe getallen.---------------------Een elementair deeltje heeft een ANGULAIR MOMENT. Het is de SPIN. De Spin is de richting van het Angulair Moment (naar boven of naar beneden) langs de z-as : |naar boven; z> en | naar beneden ; z>. Je zult met experimenten vinden : 50 procent |naar boven; z> en 50 procent | naar beneden; z> . Maar Einstein zei : hoe kun je je dat indenken ? Als ik een Spin vind (gemeten) dan heeft het de Spin die het al eerder had. Maar in de Kwantummechanica, is het door elkaar. Met Einstein zou je vinden : 50 procent | naar boven; x> en 50 procent |naar beneden; x> , maar je zult in werkelijkheid vinden : 100 procent | naar boven; x> en 0 procent | naar beneden; x> .----------------ENTANGLEMENT (VERSTRENGELING) De deeltjes die verstrengeld zijn hoeven helemaal geen interactie te hebben. Ze kunnen op een paar meter, een paar kilometer, honderdduizenden kilometers, vele lichtjaren van elkaar verwijderd zijn. In een laboratoriumopstelling, bijvoorbeeld op de campus van de T U -Delft zijn verstrengelde deeltjes al aangetoond. Deeltje 1 kan zijn |u-1> ; |u-2> . deeltje-2 kan zijn |v-1> ; |v-2> . De toestand van deze 2 deeltjes : de toestanden zijn een vector, dus hebben we zoiets al het Tensorproduct nodig : TB : |u-1> TB |v-1> We krijgen nou : (alpha-1 *|u-1> + alpha-2*|u-2>) TB (beta-1 *|v-1> + beta-2*|v-2>) = alpha-1*beta-1*|u-1>TB|v-1> +alpha-2*beta-1*|u-2>TB|v-1> + alpha-1*beta-2*|u-1>TB|v-2> + alpha-2*beta-2*|u-2>TB|v-2> . Neem nu |u-1>TB|v-1> + |u-2>TB|v-2> is de toestand van 2 deeltjes. Dan zijn deze 2 deeltjes verstrengeld omdat dit niet normaal gesproken gelijk is aan (alpha-1*|u-1> + alpha-2*|u-2>)TB(beta-1*|v-1> + beta-2*|v-2>) , want dan zou moeten : alpha-1*beta-1 = 1 , alpha-2*beta-2 =1 en alpha-1*beta-2 = 0 en alpha-2*beta-1 = 0 , wat onmogelijk is , dus |u-1>TB|v-2> en |u-2>TB|v-1> moeten beide 0 zijn , dus dan zijn ze verstrengeld. (ga dit na !).*************************************************************----******************************************
**************************************************************EERSTE VAN DE 3 CURSUSSEN KWANTUMMECHANICA DOOR PROFESSOR ZWIEBACH VAN HET MIT (VERENIGDE STATEN) OP EDX----*************************************************************-------NOGMAALS OVER HET FOTO-ELEKTRISCH EFFECT. De eerste die hiermee kwam is Hertz (1887; de Duitse Natuurkundige die net als zijn tijdgenoot de Italiaan Marconi, zo'n beetje de eerste was die kwam met een radio-zender en -ontvanger).Belichte gepepolijste metalen platen kunnen elektronen uitzenden. (Foto-elektrische stroom) . Ten eerste is er een kritische frequentie. Als je de freqeuentie van de lichtstraal groter laat worden, zal na een zekere frequentie mu-0 je een stroom krijgen. mu-0 hangt af van het metaal dat je belicht. Het aantal van "foto-elektronen" hangt af van de intensheid van het licht , maar niet de energie. De energie van zo'n elektron neemt lineair toe met de frequentie mu van het licht. Dit is niet makkelijk te begrijpen. En Einstein kwam met het antwoord. Einstein (1905) kwam tot de conclusie dat licht bestaat uit kwanta (later, plm. 1920 is hiervoor de naam fotonen gegeven), met energie E= h*mu (= E=h*f). Er is een bepaalde minimum hoeveelheid energie W (W heet ook wel de werkfunctie) voor nodig om elektronen vrij te krijgen uit het metaal.Stel zo'n vrij elektron heeft energie E-e dit is dan ongeveer 1/2 *m* v^2 , met m is de massa van het elektron, in de orde van 10^(-31) kilogram en er geldt E-e - W = h*f - W . h is de constante van Planck, ongeveer 6.626 *10^(-34) en vaak wordt in de kwantummechanica h-bar gebruikt ; h-bar = (correctie) h/(2*pi). h-bar heeft de dimensie van het angulair moment. (Bedenk dat de totale energie van een deeltje, van een massa in het algemeen gelijk is aan M*c^2 , met c de snelheid van het licht. (Dit volgt uit de relativiteitstheorieeen van Einstein, zie daar op deze website). Je kunt nu zeggen dat de kinetische energie van een elektron (is de bewegingsenergie) is 1/2*m*v^2 = 1/2*m*c^2 * v^2/c^2 = 1/2 *de totale Energie - v^2/c^2 .(binnenkort gaan we verder hiermee)
De definitie van de COMPTON-GOLFLENGTE VAN EEN DEELTJE (is niet hetzelfde als de DE BROGLIE-GOLFLENGTE). De Compton -lengte = h/(m*c). waarom een lengte geassocieerd met een massa ? Omdat de rest-energie van een deeltje (= m*c^2 , zie item-122) = E-gamma = h*f = h*c/lambda . Hieruit volgt : labda = h*c/ (m*c^2) is dus de Comptonlengte h/(m*c).===IN KWANTUMVELD-THEORIE KUNNEN DEELTJES GECREEERD WORDEN EN OOK VERNIETIGD WORDEN.=====COMPTON "SCATTERING" . Relativistisch (in verband met hoge snelheden, niet zo veel beneden de lichtsnelheid c , toepassing van de (speciale) relativiteitstheorie, met de Lorentz-transformaties). Er geldt E^2 -p^2*c^2 = m^2*c^4 , waarbij de energie E = m*c^2/sqrt(1-v^2/c^2) en het moment, de vector p = m*v( de vector v)/sqrt(1-v^2/c^2). Een foton heeft massa 0 dus E is hier p*c (ga dit na !). Voor een foton geldt p = E/c = h*v/c = h/lambda (lambda is de golflengte). Compton-scattering-theorie ( als X-stralen, Rontgenstralen, op atomen schijnen. X-stralen zijn erg energie-rijke lichtstralen).----Foton-scattering op elektronen die "virtueel"vrij zijn. Ten eerste : weerlegging van de klassieke Thomson-scattering. In de Thomson-scattering foton van een golf, die klein is met een laag-frequentie-golf is de zogeheten Lorentz-kracht erg klein. De Thomson-doorsnede, de oppervlakte ervan dus is d-sigma/d-omega = (e^2/(m*c^2))*1/2*(1+cos(theta)) en een oppervlakte stelt een energie voor. Omdat je een inkomende straal hebt, heb je een zekere hoeveelheid energie in een oppervlakte. Volgens de klassieke theorie is de uitgaande frequentie dezelfde als de inkomende frequentie. Maar met hoge energie is dit niet juist. Behandel de foton nou als een deeltje. Dan heeft het een moment. Analyseer de botsing. Enige tijd na de botsing gaan de foton en de elektron ieder apart, onder een bepaalde hoek, ieder met een verschillende frequentie. De foton heeft energie verloren en het elektron heeft een bepaalde snelheid gekregen. Wat is het verschil ? Het is een aangename berekening.( lambda is de golflengte). lambda-final = lambda-initial + x *(1-cos(theta)) , met x is de lengte van het elektron : h/(m-elektron*c) (De zogeheten Compton-lengte) en 1-cos(theta) maximum 2 , bij 180 graden en met 90 graden , wanneer cos(theta) = 0 , heb je de Compton-shift.
HET VOORSTEL VAN DE BROGLIE. (De Franse Natuurkundige Louis de Broglie, 1924) . Hij claimde : alle deeltjes gedragen zich zo (als golven), niet alleen fotonen. Wat voor golven ? Golven van waarschijnlijkheids-amplitudes. Ze zijn allemaal een waarschijnlijkheids-golf. Een foton : een deeltje heeft een energie E en een moment p. een golf heeft een frequentie f . (De Broglie zei : universeel voor alle deeltjes : materie-golven). We zeggen voor een deeltje met moment p , dat we er een vlakte-golf mee associeren lambda = h/p ( is de Broglie golflengte). Je hebt de twee-spleten -interferentie (zie elders, naar boven op deze pagina), voor fotonen en ook voor elektronen en nog veel grotere deeltjes materie)
DE DE BROGLIE (GOLF-)LENGTE. (1924). DE BROGLIE-GOLVEN. We weten nu en de golf is nu bekend als de golffunctie die aan de Schrodinger-vergelijking voldoet. Heeft deze materie-golf polarisatie of richting? Ja, het heeft die en zo heb je ook SPIN (zie naar boven ook, op deze pagina).Een verzameling van golf-functies , golven beschreven door een hoeveelheid , beschreven als functie van positie en tijd, en het is een COMPLEX GETAL. Golf Phi : PHI ( vector-x , t ) behoort tot de verzameling C| VAN DE COMPLEXE GETALLEN. p = h/lambda = h/(2*pi) * (2*pi)/lambda = h-bar * k (k is het golfgetal). Vragen : 1) Is een golffunctie meetbaar ? en 2) Wat is de betekenis van PHI . Welke eigenschap is het ? (Professor Zwiebach zegt : het is iets vreemds).
2 FRAMES (ASSENSTELSELS) RELATIEF TOT ELKAAR BEWEGEND. Assenstelsel S' naar rechts bewegend met respect tot het assenstelsel S . Pas nu de zogeheten Galileo-transformatie toe. De assenstelsel zijn gerelateerd aan elkaar door de Galileo-transformatie : Dit betekent : op t = 0 t' | = t en x' = x - v*t . Neem nu aan , dat een deeltje met massa m beweegt met snelheid v> in het S-assenstelsel. Het moment ervan is dan p = m*v> . De golflengte ervan h/p .In het assenstelsel S' krijgen we voor het deeltje : v>' , p' met v>' = dx'/dt = d/dt (x- v*t) = v> - v en p' = m*v>' = m*(v> - v) = p - m*v. Dus zijn de golflengten bepaald verschillend. Er geldt : lambda'= h/| p - m*v| is niet gelijk aan lambda = h/p . Denk nou aan een gewone golf ( zoals een geluidsgolf of een watergolf). Die veranderen helemaal niet onder Galileo-transformatie : een golflengte hier is de afstand tussen twee pieken van de golf, maar met de waarschijnlijkheidsgolf PHI (zie hierboven) is het anders. Je kan deze niet direct meten in experimenten, omdat PHI complex is. GALILEO-TRANSFORMATIE VAN GEWONE GOLVEN. De FASE Ksi (Galileo-invariant) = k*(x - (omega/k) *t ) = (2*pi)* (x- v*t) = (2*pi)*x/lambda ( is k) - ( 2*pi*v)/lambda * t ( is omega) . S' zou de zelfde fase "zien" als S daaruit volgt Ksi' = Ksi , wanneer ze refereren naar het zelfde punt en dezelfde tijd. Dus : Ksi' = Ksi = (2*pi)/lambda * (x - v*t) = (2*pi)/lambda * (x' + v*t - mu*t ). Dus (door deze voorwaarde) = (2*pi)/lambda * v * (1 -v|/mu) * t en lees daarom omega' = 2*pi/lambda * v * (1 - v|/mu) = omega *(1 - v/mu) met k' = k daaruit volgt lambda' = lambda voor een gewone golf. Conclusies : 1) PHI's is niet direct meetbaar. Maar sommige PHI kunnen gemeten worden en 2) De PHI's zijn niet Galileo-invariant. En wat betekent dat ? Maar : je zult vinden hoe hun afmetingen vergeleken kunnen worden, dan k(x,t) = (x', t') (hier naar beneden meer).
DE FREQUENTIE VAN EEN MATERIEGOLF.-------De De Broglie-golflengte is dus lambda/p . Wat is de frequentie van de materiegolven ? We hebben p = h-bar*k en E = h-bar*omega dus omega is E/h-bar . HIERMEE KAN JE KWANTUMMECHANICA OPBOUWEN. Golf : fase : k*x - omega*t . v-fase (de fase-snelheid) = omega/k . v-fase = omega/k = E/p = 1/2*m*v^2/(m*v) = 1/2* v (non-relativistisch). Meer betekenis dan v-fase heeft v-groep. v-groep = d omega/dk |k = dE/dp = d/dp (p^2/(2*m0 = p/m (is de snelheid van het deeltje) Het is ook relativistisch waar. In de speciale relativiteit vormt (E/c , vector-p) een 4-vector , ook (omega/c , vector-k) is een 4-vector (E/c , vector-p) = h-bar *(omega/c , k-vector) . Einstein zei E = h*f = h-bar*omega.
GROEP-SNELHEID EN STATIONAIRE FASE BENADERING.Neem aan dat we omega(k) hebben. De groep-snelheid van een golfpakket, geconstrueerd door een superpositie van golven. Superpositie geeft : PHI(x,t) = de integraal van dk THETA(k) * e ^(i*(k*x- omega(k)*t) , waarbij dit laatste, e^(i*(k*x-omega(k)*t) KSI(k) is en THETA(k) een functie is, hier, bijna altijd rond 0 , slechts in een kleine regio, rond k-0 , piekend. Wat wiskunde : als je een functie vermenigvuldigt met sin (x) ( de helft van de tijd positief, de andere helft van de tijd negatief), verandert de integraal van de functie dus nauwelijks. Dit is het principe van de stationaire fase. Je hebt zo nodig dat de fase stationair wordt , met respect tot k en k-0
BEWEGING VAN HET GOLF-PAKKET. d KSI(k)/dk | k-0 = x - d omega(k)/dk | t k-0 = 0 ! Hieruit volgt d omega/dk | t k-0 is ongeveer v-groep. We kunnen nou schrijven : PHI (x , t) = de integraal van dk THETA (k) e^(k*x- omega(k) *t) en PHI(x, t=0) = de integraal van dk THETA(k) * e^(i*k*x) , omega (k) = omega(k-0) + (k-k-0) *d omega/dk | k0 +O (order) ( (k - k-0)^2) (ontwikkeling in een Taylorreeks) . PHI (x,t) is aldus = de integraal van dk THETA(k) * e^(i*k*x) * e^(-i*omega(k-0)*t) * e^(-i*k*d omega/dk | t k-0) * e^(i*k-0*d omega/d k-0 |t ) * e ^(verwaarloosbaar) = e ^(-i *omega(k-0)*t) *e^(i*k-0* d omega/dk |k-0 t ) * de integraal van dk THETA(k) * e^(i*k(x - d omega/ dk | t k-0) ( deze integraal kan als de golffunctie geschreven worden). Helderder : | PHI (x,t)| = | PHI (x- d omega/dk | t k-0 , 0) | . Als PHI een piek heeft , wanneer x = 0 dan heeft het een piek wanneer x - d omega/dk | t k-0 = 0 , aldus is de golf bewogen naar rechts met d omega/ dk * t .
DE GOLF VOOR EEN VRIJ DEELTJE.------We gaan proberen een materie-golf te schrijven. We hebben E = h-bar*omega , p = h-bar*k . SUPERPOSITIE EN DE IDEEEN VAN WAARSCHIJNLIJKHEID hebben we nodig om de golf te vinden. (vlakte-golven in de x-richting). Wat kan de gof zijn . Er zijn vier mogelijkheden. (1) sin (k*x- omega*t) , (2) cos (k*x - omega*t) , (3) e^(i*k*x-i*omega*t) (altijd een e^(-i*omega*t) (4) e^(-i*k*x + i*omega*t) (altijd een e^(i*omega*t) . Deze zijn alle golven. Welk verschil maakt het ? Gebruik altijd superpositie en een vaag besef van waarschijnlijkheid. Gelijke waarschijnlijkheid is er dat de golf naar links of naar rechts beweegt. Geval (1) sin (k*x - omega*t) (beweegt naar rechts) + sin (k*x + omega*t) (beweegt naar links.). Je krijgt 2*sin(k*x)*cos(omega*t) Maar dit is onacceptabel, want het verdwijnt voor alle x op omega*t = pi/2 , 3*pi/2 , 5*pi/2 , .....Geval(2) Met hetzelfde argument kan cos(k*x - omega*t) + cos (k*x + omega*t) ook niet goed zijn. Geval(3) Er op gebaseerd dat e^(-i + omega*t) altijd een fase e^(i*k*x - i*omega*t) + e^(-k*x- i*omega*t) = 2*cos (k*x) * e^(-i*omega*t) heeft. Deze functie verdwijnt helemaal nergens voor alle x. Het kan verdwijnen, maar het deeltje is, niet. Dus goed. Geval(4) Ook niet problematisch. = 2*cos(k*x)*e^(i*omega*t) , dus ook goed.Volgende claim : beide (3) en (4) kunnen niet op dezelfde tijd waar zijn. Want : neem nu aan dat (3) en (4) beide waar zijn. Denk eraan : superpositie stelt nog steeds dezelfde golf voor, en dat kan niet, want beweegt naar rechts. Dus moeten we een keuze maken. En de keuze is : PHI(x,t) = e^(i*k*x - i*omega*t) , altijd met een negatief gesigneerde exponent i*omega*t . Dit is de "materie-golf"van de golffunctie voor een deeltje met p = h-bar*k en E = h-bar*omega ! DAT IS HET BEGIN VAN KWANTUMMECHANICA. EN HET ZAL EEN DEDUCTIEF PROCES ZIJN, OM TE BEPALEN AAN WELKE VERGELIJKING HET VOLDOET, WAT ONS ZAL LEIDEN TOT DE SCHRODINGER-VERGELIJKING.
We hadden : PHI (x,t) = e^(i*k*x - i*omega*t) met p = h-bar * k en E= h-bar *omega (met dus h-bar = h/(2*pi) ). We praten nou over non-relativistische deeltjes en dat is onze focus van aandacht en daarom hebben we E = p^2/(2*m). Misschien zult u meer oplossing vinden en dan zult u het probleem beter begrijpen. En dit zal de SCHRODINGER VERGELIJKING geven. Zeg nu : h-bar/i * d/dx PHI (x,t) = h-bar *k * PHI (x,t) = p*PHI(x,t), met h-bar/i *d/dx, met d/dx , hier de partiele afgeleide naar x , is de differentiaal-operator. (we noemen dit hier : de moment-operator). Dus de operator p-hat = h-bar/i * d/dx . En wanneer p-hat PHI (x,t) = p*PHI(x,t) waar is, zeggen we dat PHI (x,t) een EIGEN-TOESTAND van p-hat is , met EIGENWAARDE p . (is een eigenvector, behorend bij een eigenwaarde-probleem van de lineaire algebra). We zeggen PHI (x,t) is een toestand van definitief moment. (definitief betekent hier, dat als je het meet, je het moment vindt).-----------We krijgen van de bovenstaande golffunctie i*h-bar (-i*omega) PHI = h-bar * omega *PHI = E *PHI(x,t) , waaruit volgt : energie E is weer een getal. We hebben E = p^2/(2*m). Laten we denken aan de energie als een operator. Het is te algemeen, nou niet belangrijk. De energie is hier een functie en heeft een formule : E *PHI = Order PHI. Bedenk nu een Order. E*PHI = p^2/(2*m) (p PHI) = p/(2*m) * h-bar/i * d/dx PHI = 1/(2*m) *h-bar/i * d/dx (p * PHI) = 1/(2*m) * h-bar/i * d/dx ( h-bar/i * d/dx PHI) . We krijgen nou de 2e-orde differentiaal-vergelijking : -H-bar^2/(2*m) * d^2/(dx^2) PHI = E*PHI , met E-hat = -h-bar^2/(2*m) * d^2/(dx^2) , is de energie-operator en het heeft de eigenschap dat E-hat (de energie-operator) dus PHI is een energie-eigentoestand, met energie E. En E-hat = -h-bar^2/(2*m) * d^2/(dx^2) = 1/(2*m) *p-hat^2 . WE HEBBEN NOU VOOR HET EERST EEN SCHRODINGER-VERGELIJKING : i* h-bar * d/dt PHI = - h-bar^2/(2*m) * d^2/(dx^2) PHI .
BESPREKING VAN DE VRIJE SCHRODINGER-VERGELIJKING.---------DE OPLOSSING van i*h-bar d/dt PHI = -h-bar^2/(2*m) * d^2/(dx^2) PHI geeft een relatie tussen k en w : probeer PHI = e^(i*k*x-i*omega*t) . h-bar*omega = h^2*k^2/(2*m) daaruit volgt E = p^2/(2*m) . De vergelijking is lineair. Lineairiteit betekent ook dat je oplossing kan vormen door superpositie. Je kan die vlakte-golven samenstellen en bij elkaar optellen. ALDUS KRIJGEN WE : PHI(x,t) = e^(i*k*x - i*omega(k)*t ) IS EEN OPLOSSING EN ZO ZAL IEDERE SUPERPOSITIE ZIJN . De algemene oplossing PHI (x,t) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dk * THETA(k) * e^(i*k*x - i*omega*t) lost de Schrodinger-vergelijking op. DE VOLLE GOLF-FUNCTIE KAN NIET REEEL ZIJN. We hebben een golf verkregen, maar deze is niet een gebruikelijke golf.
DE ALGEMENE SCHRODINGER-VERGELIJKING, x AND p - COMMUTATOR. We have i*h-bar* d/dt PHI = E-hat *PHI , E-hat = p-hat^2/(2*m). En veronderstel nou dat je een deeltje hebt in een POTENTIAAL (veroorzaakt door een krachtenveld, bijvoorbeeld een magnetisch veld) V(x,t), je hebt E = E-kin + E-pot en de vraag is : is E-hat nou gelijk aan p-hat^2/(2*m) + V(x,t) ? De meeste mensen noemen E-hat zoals die hier is de HAMILTONIAN H-hat . We krijgen nou : i*h-bar * d/dt PHI (x,t) = (- h-bar^2/(2*m)* d/dx^2 + V(x,t)) PHI(x,t) . Het principe van de Schrodinger-vergelijking is 2*h-bar d/dt PHI = H-hat *PHI , lineair met de Hamiltonian H-hat is de energie-operator.V(x,t) is een simpelere operator (vermenigvuldiging door een functie). Introduceer nou een operator x-hat, die handelt op een functie van x , hem vermenigvuldigt met x . x-hat f(x) == x*f(x) . We hadden al p-hat , x-hat en H-hat = p-hat^2/(2*m) + V(x,t). Het maakt verschil in welke volgorde je operatoren vermenigvuldigt. Aldus hebben we twee operators geintroduceerd : x-hat en p-hat . EN DIT IS DE MANIER WAAROP HEISENBERG TOT DE KWANTUM-MECHANICA WERD GELEID. Nou geldt er x-hat p-hat KSI - p-hat x-hat KSI is dit gelijk aan 0 of niet ?? We weten AB KSI = A(B KSI) dus x-hat p-hat KSI - p-hat x-hat KSI = x-hat (h-bar/i * d/dx KSI(x,t) - p-hat (x*(KSI(x,t)) = h-bar/i * x * d/dx KSI - h-bar/i * d/dx (x*KSI) = h-bar/i *x * d/dx KSI - h-bar/i * KSI - h/bar/i KSI = - h-bar/ i *KSI = i*h-bar*KSI. Zo zou je kunnen zeggen (vergeet over KSI) : x-hat *p-hat - p-hat* x-hat = i*h-bar . (Als je hebt [ A-hat , B-hat] = A-hatB-hat -B-hatA-hat, dan heet dit de COMMUTATOR van A en B ).
COMMUTATORS , VOORBEELD VAN MATRICES en 3-DIMENSIONALE SCHRODINGER-VERGELIJKING. We vonden [x-hat , p-hat] = i*h-bar . Je hebt operators (golffuncties en eigentoestanden hier) en je hebt matrices (vectoren en eigenvectoren hier) . Ook matrices commuteren in het algeme en niet.----------------In de theorie van de Spin, Spin-1/2 , heb je de zogeheten PAULI-MATRICES. Sigma-1 = ( 0 1) Sigma-2 =(0 -i ) Sigma-3 = (1 0) (1 0) (-i 0) ( 0 -1), De vector S van de Spin = h-bar/2 * de vector sigma . (later meer hierover)We hebben nu : Sigma-1*Sigma-2 = (i 0), Sigma-2*Sigma-1 =(-i 0) (0 i) (0 i) [Sigma-1 , Sigma-2] = (commutator) 2*i*Sigma-3. In feite kun je matrices voor x-hat en p-hat schrijven. Deze matrices zijn oneindig-dimensionaal. Spin-1/2 is veel simpeler dan [x-hat, p-hat] , dat erg gecompliceerd is. Dit gaat veel meer gegeneraliseerd worden, om de volledige Schrodinger-vergelijking in 3 dimensies te verkrijgen. p-x = h-bar/i * d/dx , p-y = h-bar/i*d/dy en p-z = h-bar/i*d/dz . Dit komt overeen met de de Broglie-golf (zie hierboven) e^(i*vevtor-k*vectorx -i*omega*t) met vector-p = h-bar*k ; p-k = h-bar*d/dx-k . Definitie vector-p-dakje = h/i* LAPLACEOPERATOR. Wat is vector-p-dakje ^2 = vectorp-dakje*vector-p-dakje = h-bar/i *LAPLACEOPERATOR * h/i *LAPLACEOPERATOR = - h^2 * LAPLACEOPERATOR^2. Aldus : i*h-bar *d PHI/dt = ( -h-bar^2/(2*m) * LAPLACEOPERATOR^2 + V(vector-x , t) *PHI(vector-x,t) , wat de volle 3-dimensionale Schrodinger Vergelijking is. [x-dakje-i , p-dakje-i ] = i*h-bar*delta-i-j met delta-i-j = 1 als i = j en = 0 als i is niet j .
INTERPRETATIE VAN DE GOLFFUNCTIE . Wat zei Schrodinger ? Schrodinger dacht dat PHI deeltjes voorstelt die desintegreren, over de gehele ruimte . Dus wanneer je meer PHI vindt , is er daar meer van het deeltje. Hij loste het op voor een deeltje dat Coulomb potentiaal raakt. En de golffunctie valt uit zoals 1/r .Aldus desintegreert het deeltje. Toen kwam Max Born (Duitsland, 1928). Nee, zei Max Born , het deeltje desintegreert niet, maar kiest zijn plaats. Einstein en Schrodinger "haatten"dit . WANT ZO VERLIES JE DETERMINISME. Born kwam met een experiment. PHI(x,t) VERTELT NIET HOEVEEL VAN HET DEELTJE IN x IS OP TIJD t , MAAR VEELEER WAT DE WAARSCHIJNLIJKHEID IS HET DEELTJE TE VINDEN OP PLAATS x OP TIJD t . Neem nu een kleine kubus in de ruimte dx dan is dP (x-dakje, t) de waarschijnlijkheid = | PHI (vector-x,t)|^2 d^3x , met de integraal van -oneindig naar oneindig van d^3x |PHI(vector-x,t)|^2 = 1 . Aldus de golffunctie op een tijd weten bepaalt de golffunctie op alle tijden weten. Dus als de integraal van d^3x |PHI(vector-x,t) een verdeling op een bepaalde tijd is, zal het ook zo een verdeling op een latere tijd zijn.
(WAARSCHIJNLIJKHEIDS-DICHTHEID EN STROOM, HERMITISCHE CONJUGATIE.) NORMALISEERBARE GOLFFUNCTIES EN HET VRAAGSTUK VAN DE TIJD-EVOLUTIE. We kwamen tot de Schrodinger Vergelijking i*h-bar * dPHI(x,t)/dt = (-h-bar^2/(2*m) d^2/dx^2 + V(x,t) ) PHI (x,t) . |PHI(x,t)|^2 dx is dan de WAARSCHIJNLIJKHEID het deeltje in dx te vinden. En als je over de gehele ruimte integreert : de integraal van -oneindig naar oneindig van |PHI(x,t)|^2 dx moet dan 1 zijn , anders heeft het geen betekenis. En als dit geldt voor t = t-0 , als je voor alle x PHI(x,t) weet is het beter dat iedere tijd later dan t-0 het nog steeds aan deze vergelijking voldoet. We zullen leren dat de Hamiltonian een Hermitische operator is. De vergelijking betekent : de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI* (x,t)*PHI(x,t) dx = 1 .Om het bovenstaande te laten gelden, geldt : lim x -> +/- oneindig PHI(x,t) = 0 . De situatie is niet zo gek dat de limiet niet bestaat. Het andere ding is dat lim x -> t-0 d PHI/dx begrensd is (niet oneindig). (Deze twee dingen zijn alles wat je nodig hebt !) De Natuurkunde van een golffunctie is niet veranderd als je de golffunctie vermenigvuldigt met een getal. (Geen verwarring erover :) omdat de golffunctie genormaliseerd is . Golffuncties kunnen of kunnen niet worden genormaliseerd. Veronderstel nu de integraal van -oneindig naar oneindig van |PHI|^2 dx = N (niet gelijk aan 1), dan zeggen we dat PHI normaliseerbaar is , dat wil zeggen dat het genormaliseerd kan worden. Kies ervoor in de plaats PHI' = PHI/(sqrt(N) en nu : de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI' (x,t) = 1/N * de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI (x,t) = 1 .Als je gaat werken met waarschijnlijkheden, heb je PHI' nodig. Als de golffunctie normaliseerbaar is, is hij equivalent met een normaliseerbare golf. De probleem is nu dat de tijd-evolutie de normalisatie niet verstoort. Hoe ?(naar beneden meer)
WORDT WAARSCHIJNLIJKHEID BEHOUDEN ? HERMITISCHHEID VAN DE HAMILTONIAN. (Herhaling : PHI (x,t) -> de integraal van -oneindig naar oneindig van |PHI| ^2 dx = N ). Belangrijkst te onderzoeken : als de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI* (x, t-0) PHI (x, t-0) dx =1 op t = t-0 , dan moet dat ook gelden voor latere t. We gaan dit na !!! (Dat duurt erg lang). Herschrijf dit eerst, met betere notatie. We definieren ro(x,t) als de waarschijnlijkheids-dichtheid = PHI*(x,t)PHI(x,t) . Definieer vervolgens N(t) = de integraal van -oneindig naar oneindig van ro(x,t) dx. Nu weten we dat N(t-0) = 1 .De vraag is nu : zal de Schrodinger Vergelijking garanderen dat dN/dt = 0 . Dan N(t-0) = 1 zal nou voor altijd gelden. Nou geldt : dN/dt = de integraal van -oneindig naar oneindig van d ro(x,t)/dt dx = de integraal van -oneindig naar oneindig van [ dPHI*/dt PHI + PHI* dPHI/dt] . En hier zien we dat de Schrodinger Vergelijking noodzakelijk is !! Omdat je van de Schrodinger Vergelijking(binnenkort meer) i* h-bar dPHI/dt = H-dakje PHI onmiddellijk vindt dPHI/dt = -i/h-bar H-dakje PHI , heb je hier van + -i*h-bar (dPHI/dt)* = (H-dakje PHI)* . Het is juist de afgeleide van de complex-conjugaat, dus -i*h-bar dPHI*/dt = (H-dakje PHI)* --> dPHI*/dt = i/h-bar (H-dakje PHI)* .Dit ziet er niet zo slecht uit en is een sterke aanwijzing. Dus dN/dt = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx i/h-bar [(H-dakje PHI)*PHI - PHI*(H-dakje PHI)] .Dit moet 0 zijn : de integraal van (H-dakje PHI)* dx = de integraal van PHI* (H PHI) dx. Je hebt hier H van de conjugate functie naar de niet-conjugate functie gebracht. Dit is geldig (waar) als H-dakje een HERMITISCHE OPERATOR is. Definitie : een HERMITISCHE OPERATOR voldoet aan (hier) de integraal van (H-dakje PHI-1)*PHI-2 = de integraal van PHI*H-dakje PHI-2 . En als dit voor twee willekeurige functies geldt, geldt voor twee functies H-dakje hetzelfde. Je hebt de integraal van PHI-1* T PHI-2 = de integraal van ( T-dagger PHI-1) PHI-2 en uiteindelijk is T Hermitian als T-dagger = T , dus H-dakje is een Hermitische operator.
WAARSCHIJNLIJKHEIDS STROOM EN BEHOUD VAN STROOM . T is Hermitian als T = T-dagger . De berekening dN/dt = de integraal van -oneindig tot oneindig van dx i/hbar *[(H-dagger PHI)* PHI -PHI* H PHI ] = (we hebben dro/dt = -i/hbar ) i/hbar * [ -hbar^2/(2*m) * d^2/dx^2 PHI* + V(x,t) PHI* PHI + hbar^2/(2*m) * PHI* d^2/dx^2 - PHI* V(x,t) PHI (de tweede en de vierde term vallen weg tegen elkaar) (De potentiaal V is --natuurlijk-- reeel) . Je krijgt nou dro/dt = d/dx -i*hbar/(2*m) * (d^2/x^2 PHI* PHI -PHI* d^2/dx^2 PHI) en we moeten dit meer vereenvoudigen. We hebben dro/dt = -hbar/(2*m) * d/dx (d/dx PHI* PHI - PHI* d/dx PHI ) = ... We herschrijven dit en krijgen ...= -d/dx [hbar/(2*i*m) *( PHI* d/dx PHI - PHI d/dx PHI* )] . Wat gebeurt er met deze twee grootheden als x naar oneindig gaat. Dan "blaast het niet op" (gaat naar 0), is wat we moeten bewijzen. We gebruikten ro (denk eraan z - z* = 2*i* Im (z) ) . Dus PHI* d/dx PHI - PHI d/dx PHI* = 2*i *Im (PHI*d/dx PHI ). Dus dro/dt = -d/dx [ hbar/m * Im (PHI* d/dx PHI)] , waarbij hbar/m * Im (PHI* d/dx PHI) = J(x,t) (is de stroomdichtheid) . Dus d/dt ro = -d/dx J --> d/dt ro + d/dx J = 0 . (Dit heet behoud van stroom). We hebben dit eerder gezien in elektro-magnetisme. We begonnen met waarschijnlijkheidsdichtheid en we werden geleid naar het bestaan van een stroom. Eenheden van PHI : [PHI] = 1/sqrt(L) en eenheden hbar : [hbar] = M*L^2/T , [J] = 1/T en deze stroom is waarschijnlijkheid per tijdseenheid.
DRIE-DIMENSIONALE STROOM EN BEHOUD. 3-Dimensionaal : De stroom vector-J (x,t) = hbar/m * Im (PHI* LAPLACEOPERATOR PHI) ; d/dt ro + LAPLACEOPERATOR vector-J = 0. We hadden dN/dt = de integraal van -oneindig naar oneindig van d/dt ro dx = - de integraal van -oneindig naar oneindig van dx d/dx vector-J = -[J (x= oneindig, t] - J (x= -oneindig, t)] , J = (zie boven) hbar/(2*i*m) ( PHI* d/dx PHI - PHI d/dx PHI*) en d/dt N = 0 !En dit laat de consistentie zien maar er zijn 2 ideeen : 1) Bestaan van een stroom voor waarschijnlijkheid en 2) H-dakje is een Hermitische operator. ER IS EEN VOLLEDIGE ANALOGIE MET ELEKTROMAGNETISME . ro EM : ladingsdichtheid , QM : waarschijnlijkheidsdichtheid . Q EM : lading in een volume, QM waarschijnlijkheid om het deeltje in een volume te vinden . vector-J EM stroom-dichtheid, QM waarschijnlijkheidsstroom-dichtheid .-------We weten dat de totale waarschijnlijkheid (over de gehele ruimte) 1 moet zijn . Wanneer de waarschijnlijkheidsdichtheid verandert, moet er een stroom zijn.------Nou de vaststelling in 1-dimensie. Op de lijn heb je de punten a en b . P-a-b (t) (de waarschijnlijkheid) = de integraal van a naar b van dx ro(x,t) , d/dt P-a-b = de integraal van a naar b van dx d/dt ro = - de integraal van a naar b van dx d/dx J = - (J(x+ b,t) - J (x= a,t)) = (BELANGRIJK RESULTAAT) d/dt P-a-b = - J(b,t) + J (a,t). De verandering van de waarschijnlijkheid om het deeltje in een zeker gebied te vinden , is de stroom.
GOLF-PAKKETTEN EN FOURIER REPRESENTATIE. Golfpakketten en onzekerheid. Op een vastgestelde tijd is t = t-0 werken we met pakketten met een vastgestelde tijd. Dit PHI (x,0) = 1/(sqrt(2*pi)) * de integraal van -oneindig naar oneindig van XSI (k) * e^(i*k*x) dk , heeft een Natuurkundige betekenis, een kwantummechanische betekenis. KSI (k) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van e^(-k*x) ( een "gewicht") . BELANGRIJK : PHI(x,0) --> KSI(k) IS EEN FOURIER TRANSFORMATIE . We behandelden al eerder golfpakketten en we hebben (zie boven) een zekere "intuitie"gekregen. Met PHI(x,0) vind je onzekerheden op een zekere positie x : PHI(x,0) piekt omstreeks x = 0 . PHI is reeel of complex. Nou is het niet reeel, aldus is het redelijk om de absolute waarde te tekenen, dus kunnen we zeggen |PHI (x,0)| piekt met x= 0 .
Is PHI(x,0) reeel ? Nee ! Bewijs : (PHI(x,0)* = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI(k)* * e^(-i*k*x) dk = (verander nou k = -k ) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI*(-k) * e^(i*k*x) = wel of niet 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI (k) * e^(i*k*x) dk = KSI(k). Het is eenvoudig in te zien , dat als dit waar is , PHI(x,0) reeel is . De vraag is ook : wanneer is PHI(x,0) reeel ? Reeelheid vereist 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van (KSI(k)-KSI*(k))*e^(i*k*x) dk = 0 . Het betekent KSI(k) - KSI(-k) = 0 en dat is correct . (Je kan het baseren op de Fourier Transformatie). Als een functie een nul-Fourier Transformatie heeft, moet de functie nul zijn, dus : (KSI(-k))* = KSI(k) is de voorwaarde voor reeelheid. Maar KSI voldoet niet aan deze eigenschap, en daarom is PHI niet reeel.
BREEDTES EN ONZEKERHEDEN. Terug naar de integraal. We zullen schrijven k = k-0 + k-tilde ; PHI(x,0) = 1/sqrt(2*pi) * e^(i*k*x) * de integraal van -oneindig naar oneindig van d k-tilde * KSI(k-0 + k-tilde) * e^(i*k-tilde * x) dk zal zijn d k-tilde. Aldus is het relevante gebied van integratie van -delta k/2 tot delta k/2 . (Als x= 0 dan is de fase e^(i*k-tilde*x) = 1 = stationair.) Voor iedere x verschillend van 0 zal de fase bereik hebben over (-delta k/2)*x tot (delta k/2)*x. Als je over die piek integreert is de totale fase-ëxcursie" = delta k*x . Als x zo is dat delta k*x significant minder dan 1 is , dan krijg je een bijdrage. (Als delta k*x >> 1 , dan heeft de fase, rennend over de piek, veel fluctuaties.) **Uiteindelijke conclusie : PHI (x,0) zal afmeetbaar in een interval x behoort tot (-x-0, x-0) zijn , als delta k * x-0 is ruwweg 1 . En daarom is de ONZEKERHEID in x gegeven door 2*x-0 . Dus ruwweg delta k * delta x = ongeveer 1. Kwantummechanica is hier, waar je beseft dat de golven in Kwantummechanica e^(i*k*x) toestanden voorstellen met een zekere waarde van moment . delta p = hbar * delta k . Dus delta p * delta x = ongeveer hbar. En : delta p * delta x altijd => hbar/2 (LATER !!).
VORM VERANDERINGEN IN EEN GOLF. Het fenomeen is dat een golfpakket dat beweegt van vorm verandert. PHI(x,t) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI(k) * e^(i*k*x) * e(-i*omega(k)*t). Als we omega(k) in een Taylorreeks ontwikkelen, krijgen we omega(k) = omega(k-0) =(k-k-0) * d/dk omega |k-0 + 1/2 *(k - k-0)^2 d^2/dk^2 |k-0 + .......Nu is d/dp E = p/m = hbar*k/m ; d^2/k^2 = hbar/m en hogere afgeleiden d^3/dk^3 enzovoorts = 0 . We gaan terug naar de integraal , we doen : e^(-i*omega(k)*t = e^(........-i*1/2*(k - k-0)^2 *hbar/m * t) . -i*1/2*(k- k-0)^2*hbar/m* t is eerder vermeden, deze fase , maar zal de vorm veranderen. (zo lang dit << 1 is, (k - k-0)^2 * hbar/m *|t| << 1 , geen verandering van vorm). Schat dit : ongeveer (delta k)^2 * hbar/m * |t| << 1 --> (delta p)^2 * |t|/(hbar*m << 1 . Aldus, met delta p * delta x = ongeveer hbar , krijgen we |t| < hbar*m/hbar^2 * (delta x)^2 = m/hbar * (delta x)^2 . We krijgen delta p * |t|/m <= hbar/(delta p) --> delta p/m * |t| << delta x. (Omdat v = p/m , is delta p/m een onzekerheid in snelheid). Het verandert de (pakket-) vorm , omdat het geen definitief moment heeft maar een onzekerheids-moment.
TIJD EVOLUTIE VAN EEN VRIJ DEELTJE PAKKET. Veronderstel je weet PHI(x,0). Stap 1 . Bereken KSI(k) : KSI(k) = 1/sqrt(pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI(x,0) * e^(-i*k*x) . Stap 2 . Met dit is PHI(x,0) = 1/sqrt(pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk KSI(k) * e^(i*k*x) . Stap 3 . PHI(x,t) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk THETA(k) * e^(k*x-omega(k)*t) . hbar *omega(k) = hbar^2 * k^2/(2*m) (Dit is het antwoord). Nagaan met de Schrodinger Vergelijking (Dit is het antwoord) i*hbar* d/dt PHI = -hbar^2/ (2*m) * d^2/dx^2 PHI ; lost de Schrodinger Vergelijking op. Er is een Stap 4 . Doe de k-integraal ; soms is het mogelijk. Relevant waar voor de Gaussian = e^(-x^2/(4*a^2)/[ (2*pi)^(1/4) * sqrt (a)]
FOURIER TRANSFORMATIES EN DELTAFUNCTIES. Moment-ruimte en relevantie van moment-ruimte. Golffuncties vertellen je over de waarschijnlijkheid van de positie van een deeltje in de ruimte.Aantonen van moment-ruimte. PHI(x) (de golffunctie) is een superpositie van vlakte-golven : -1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI(k) * e^(i*k*x) dk . (Fourier) : KSI(k) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI(x) * e^(-i*k*x) dx. KKSIS al van -oneindig naar oneindig van dx' PHI(x') * 1/(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk e^(i*k*(x - x')) . Definitie : delta(x - x') = 1/(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk e^(i*k*(x - x')) .
PARSEVALS IDENTITEIT. Wat met de normalisatie-voorwaarden wanneer we denken in moment-voorwaarden ? Wat is de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI*(x) PHI(x) ? De integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI*(x) PHI(x) = de integraal van -oneindig naar oneindig van 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk KSI*(k) * e^(-i*k*x) . 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk' KSI(k') * e^(i*k'*x) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dk KSI*(k) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dk'KSI(k') . 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx e^(i*(k'- k)*x) (deze integraal = delta (k'- k) ) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dk KSI*(k) KSI(k) (en dit is PARSEVALS STELLING.) (Dus : de integraal van -oneindig naar oneindig van dx |PHI(x)|^2 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dk |KSI(k)|^2. Niet alleen is KSI(k) zoveel Natuurkunde als PHI(x) , het heeft ook dezelfde normalisatie-voorwaarde en misschien heeft KSI(k) betekenis in de moment-ruimte . Moment p = hbar*k* dp/dk /hbar , dus KSI(k) = KSI-tilde(p). Ten eerste is PHI(x) = 1/sqrt(2*pi) * de integraal van -oneindig naar oneindig van KSI-tilde(p) * e^(i*p*x/hbar) dp/hbar . Je kan dus ook schrijven voor Parsevals stelling : de integraal van -oneindig naar oneindig van dx |PHI(x)|^2 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dp |KSI(p)|^2 .
DRIE DIMENSIONALE FOURIER TRANSFORMATIES. We zullen nou |KSI(p)|^2 dp interpreteren als de waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden met moment in het bereik [p , p+ dp] . Mogelijk door (de wet van) behoud van waarschijnlijkheid. In de 3-dimensionale ruimte vervang je x door vector-x en delta^3 (vector-x - vector-x') = 1/(2*pi)^3 * de integraal van -oneindig naar oneindig van d^3vector-k e^(vector-k * (vector-x - vector-x'). De stelling van Parseval is nou : de integraal van -oneindig naar oneindig van d^3vector-x |PHI(vector-x)|^2 = de integraal van -oneindig naar oneindig van d^3vector-p |KSI(vector-p)|^2 .
VERWACHTINGS VARIABELEN VAN OPERATOREN. Je hebt een -random-variabele- Q, die waarden kan aannemen in de verzameling Q-1 , ....., Q-n met waarschijnlijkheden P-1 , ....., P-n .Deze -random-variabele- heeft een VERWACHTINGSWAARDE gegeven met <Q> == de som van i = 1 tot n Q-i * P-i (de definitie ervan) . In een Kwantumsysteem volgen we deze analogie erg precies. PHI*(x,t) PHI(x,t) dx is de waarschijnlijkheid dat het deeltje in ( x, x + dx) is. <x-dakje> = de integraal van -oneindig naar oneindig van x * PHI(x,t) * PHI(x,t) dx (de verwachte waarde van x-dakje , de gemiddelde waarde die je waarneemt), en dat is in de Kwantummechanica een definitie. En wat betekent het experimenteel ? Deze grootheid kan van tijd afhangen. De verwachtings-waarde is Kwantummechanica. We komen tot : <p-dakje> = de integraal van -oneindig naar oneindig van p * |KSI(p,t)|^2 = de integraal van - oneindig naar oneindig van dx PHI*(x) p-dakje PHI(x) , met p-dakje = hbar/i * d/dx (de moment-operator, zoals al eerder besproken).Dat is de manier, in de Kwantummechanica, zoals mensen de verwachtingswaarde van operators in het algemeen definieren. In het algemeen voor een operator Q-dakje : <Q-dakje> (tijdsafhankelijk) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI*(x,t) Q-dakje PHI(x,t) .
TIJD-AFHANKELIJKHEID VAN VERWACHTINGSVARIABELEN. d/dt <Q-dakje> = d/dt de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI*(x,t) Q PHI(x,t) = de integraal van -oneindig naar oneindig van (d/dt PHI* Q PHI(x,t) + PHI* Q d/dt PHI(x,t) ). (d/dt PHI en d/dt PHI* van de Schrodinger vergelijking). Wat is dit ? = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (i/hbar * (H-dakje PHI)* Q PHI(x,t) - i/hbar PHI* Q H-dakje PHI(x,t) ) . We gebruikten de Schrodinger Vergelijking in de vorm : i* hbar d/dt PHI = H-dakje PHI (2 keer). Aldus : i *hbar * d/dt <Q> ( de verandering in de tijd van de verwachting) = de integraal van -oneindig naar oneindig van d^3 x (PHI* Q H-dakje PHI - (H-dakje PHI)* Q PHI ) = (dus nog een ding meer met Hermtischheid) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (PHI* Q H-dakje PHI - PHI* H Q*) , (we herkennen een commutator, zie hierboven). Aldus hebben we hier i*hbar * d/dt <Q> = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI*(Q H-dakje - H Q) PHI(x,t) = [Q,H]. Dus uiteindelijk is dit <[Q,H]> , een belangrijk resultaat. Aldus hebben behoudswetten in de Kwantummechanica te maken met dingen die commuteren met de Hamiltonian. (Het is een idee , dat we verder en verder gaan ontwikkelen).
******************************************************----------****************************************************------------(UIT DE TWEEDE VAN DE DRIE CURSUSSEN KWANTUMMECHANICS VAN HET MIT). Over de eigenwaarden van een Hermitische matrix zijn altijd reeel en van een anti-Hermitische matrix puur imaginair. (Deze 2e en ook de 3e cursus van Kwantummechanica gaat over bepaalde toepassingen , met verschillende typen "ingestelde"potentialen van de Kwantummechanica).
VERWACHTINGSWAARDE VAN HERMITISCHE OPERATOREN. Uit de definitie ervan volgt dat een operator Q-dakje Hermitisch is wanneer de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-1* Q-dakje PHI-1 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (Q-dakje PHI-1)* PHI-2 . Definitie (PHI-1, PHI-2) = de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI-1-* (x) PHI-2(x) dx . Dan : (a * PHI-1 , PHI-2) = a* * (PHI-1,PHI-2) en (PHI-1 , a * PHI-2) = a * (PHI-1, PHI-2) dan voor Q-dakje (indien Hermitisch) : (PHI-1 Q PHI-2) = (Q PHI-1, PHI-2) . De verwachtingswaarde van Q-dakje in PHI(x) = < Q>-phi = de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI* Q-dakje PHI dx = (PHI, Q-dakje PHI) . Claims : Claim-1 : <Q-dakje> is reeel (behoort tot R) . Bewijs (<(Q-dakje)-phi)* = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (PHI* Q-dakje PHI)* = de integraal van p-oneindig naar oneindig van dx PHI (Q-dakje PHI)* = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (Q-dakje PHI)* dus (omdat Q Hermitisch is) = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI* Q PHI = < Q-dakje>phi. Claim-2 : De eigenwaarden van de operator Q zijn reeel. Bewijs : zeg : Q-dakje PHI-1 = q-1 * PHI-1 ; q-1 is de eigenwaarde ; PHI-1 is de eigenfunctie , met Claim-1 krijgen we : <Q-dakje>phi-1 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-1* Q-dakje PHI-1 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-1* q-1 PHI-1 = q-1 * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-1* PHI-1 en door Claim-1 met PHI-1* PHI is reeel en <Q-dakje)phi-1 is reeel : q-1 is reeel. Indien PHI-1 genormaliseerd is volgt : voor alle eigenfuncties : DE EIGENRUIMTE WORDT OPGESPANNEN door alle (genormaliseerde) eigenfuncties en dan q-1 * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-1* PHI-1 = q-1.
EIGENFUNCTIES VAN EEN HERMITISCHE OPERATOR. Iedere Hermitische operator heeft evenveel eigenfuncties als eigenwaarden. iedere toestand kan geschreven worden als superpositie van die eigenvectoren. HET IS DE SPECTRAALSTELLING VAN DE WISKUNDE. Beschouw de verzameling eigenfuncties en eigenwaarden van de Hermitische operator Q. Q PHI-1 = q-1 * PHI (x) ; Q PHI-2 = q-2 * PHI-2(x) ; .......... Claim-3 . De eigenfuncties kunnen zo georganiseerd worden dat ze aan de volgende relatie voldoen : de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI-i* (x) PHI-j(x) = delta-i-j . (De welbekende deltafunctie). Dit is orthogonaliteit ! Als q-1 is niet-gelijk q-2 dan kunnen we de eigenschap bewijzen. De integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-i* Q-dakje PHI-j = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-i* q-j PHI-j = q-j * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (Q PHI-1)* PHI-2 = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx (q-i PHI-i)* PHI-j = q-i * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-i* PHI-j . Dus q-i - q-j (beide reeel) = 0 dus q-i = q-j , maar we begonnen met de aanname dat q-i en q-j verschillend zijn . Het bewijs is niet perfect, het ontkent degeneratie. Degeneratie is er wanneer eigenfuncties verschillend zijn maar dezelfde eigenwaarde hebben .Bijvoorbeeld hebben ze dezelfde energie-toestand. Zijn die twee eigenfuncties orthogonaal ? Ze kunnen zo georganiseerd worden . Maar ze zijn niet noodzakelijk zo. Er zijn nog steeds genoeg eigenvectoren om deze ruimte op te spannen.
VOLLEDIGHEID VAN EIGENVECTOREN EN METING-POSTULAAT. Claim-4 . (Belangrijk !) De eigenfuncties van Q-dakje vormen een verzameling van basisfuncties . Iedere redelijke PHI kan geschreven worden als een superpositie van Q-dakje-eigenfuncties. Zo is dus iedere PHI(x) (deze fysische toestand) = alpha-1 * PHI-1(x) + alpha-2 * PHI-2 (x) + ...... = de som over alle i-s van alpha-i * PHI-i(x). (De PHI-i(x) zijn de eigenfuncties van de Hermitische operator). Je kan de volgende integraal doen : (PHI-i , PHI) = de integraal van -oneindig naar oneondig van PHI-i* * de som over alle j van alpha-j * PHI-j = de som over alle i van alpha-j * de integraal van -oneindig naar oneindig van PHI-i* PHI-j dx = de som over alle j van alpha-j * delta-i-j . (ga dit na !) = alpha-i . Als de golffunctie in-het-kwadraat ; de integraal van -oneindig naar oneindig van abs (PHI)^2 dx = 1 = de integraal van -oneindig naar oneindig van (de som over alle i van alpha-i * PHI-i)* * de som over alle j van alpha-i * PHI-j dx = de som over alle i van de som over alle j van alpha-i* * alpha-j * de integraal van -oneindig naar oneindig van dx PHI-i* PHI-j (PHI-i* PHI-j = delta-i-j) = de som over alle i van alpha-i* * alpha-i = de som over alle i van abs(alpha-i)^2 = dus 1 . Dit is hoe je iedere toestand in de verzameling van iedere Hermitische operator die je zoekt uitbreidt. Nu moeten we HET METINGS-POSTULAAT vaststellen. Hoe moeten we meten ? Je wilt de operator Q-dakje meten. Iedere operator Q-dakje-j kan het moment, de energie, het angulair moment , de kinetische energie de potentiele-energie -operator zijn . JE MEET EEN BIJZONDERE WAARDE VAN DE OPERATOR MET VERSCHILLENDE WAARSCHIJNLIJKHEDEN. DE WAARSCHIJNLIJKHEID DIE JE MEET PHI-i IS ABS(ALPHA-i)^2 !! De hele zaak "collapsed" tot PHI-i , dan. HET METINGS-POSTULAAT. Als we Q-dakje meten in de toestand PHI , zijn de mogelijke waarden q-1 , q-2 , ..... De waarschijnlijkheid p-i om q-i te meten is p-i = abs(alpha-i)^2 . (Met abs(alpha-i)^2 = abs ( (PHI-i , PHI))^2 . Na de uitkomst q-i wordt de toestand van het systeem PHI(x) = PHI-i(x) . ("COLLAPSE" VAN DE GOLFFUNCTIE.) En met de volgende meting zul je weer PHI-i(x) vinden. Hoe is dit allemaal mogelijk ? Dit komt omdat Hermitische operatoren "rijk genoeg"zijn , aldus de professor , om je toe te staan iedere toestand als een superpositie van hen te schrijven. We wisten al dat iedere vector in een vectorruimte geschreven kan worden op oneindig veel manieren als verschillende superpositie van vectoren. Aldus kunnen we een aantal dingen doen om "intuitie aan dit toe te voegen" .Het is een erg "vreemd" postulaat, aldus de professor. (Hij bedoelt waarschijnlijk hiermee dat je ermee tot nieuwe inzichten komt, in strijd met de klassieke natuurkunde, het klassieke beeld). Het verdeelt , zoals je ziet, de Kwantummechanica in twee hoofdonderdelen : het onderdeel van de Schrodinger Vergelijking en het onderdeel van meten.De meting is een soort van extra postulaat en nadat je gemeten hebt neemt de Schrodinger Vergelijking het over en blijft het ontwikkelen.
CONSISTENTIE-VOORWAARDE; DEELTJE OP EEN CIRKEL. De manier waarop we denken over Verwachtings-waarden. Veronderstel KSI = de som over alle i van a-i *KSI-i ,<Q>-KSI = de integraal van dx KSI* * Q * KSI = de integraal van dx(de som over alle i van alpha-i * KSI-i)* Q (de som over alle j van alpha-j KSI-j) = de som over alle i van de som over alle j van alpha-i* alpha-j KSI-i* Q KSI-j =de som over alle i van de som over alle j van alpha-i* alpha-j q-j delta-i-j = de som over alle i van |alpha-i|^2 q-i . Voorbeeld . Deeltje op een cirkel. x behoort tot [0,L] . Topologisch : alles wat gesloten is is een cirkel. KSI =sqrt(2/L *(1/sqrt(3) * sin (2*pi*x/L) +sqrt(2/3) *cos(6*pi*x/L)) (golffunctie van een punt op een cirkel). KSI(L) = KSI(0) .Als je momenten meet, wat zijn dan de mogelijke waarden en de waarschijnlijkheden ?). Moment = hbar/i * d/dx KSI-m = hbar*2*pi*m/L * KSI-m -> p = hbar*2*pi*m/2 . ( uit de wiskunde : sin(x) = (e^(i*x)-e^(-i*x))/2 ; cos(x) = (e^(i*x) + e^(-i*x))/2 ). Aldus : KSI = sqrt(2/3) * 1/(2*i) KSI-1 - sqrt(2/3) *1/(2*i) * KSI-1 + 1/sqrt(3) * KSI-3 + 1/(sqrt(3) * KSI--3 .
DEFINIERING VAN ONZEKERHEID. Onzekerheid-Randomwaarden Q . Q-1 , ......, Q-n , kansen (waarschijnlijkheden) p-1,....,p-n .DELTA Q is de standaardafwijking. Het gemiddelde van Q = de som over alle i van P-i * Q-i . Onzekerheid is ook wat verwachtings-waarde : (DELTA Q)^2 = de som over alle i van p-i (Q-i - het gemiddelde van Q)^2 (de definitie), (=> 0) . Als DELTA Q = 0 , dan is de randomwaarde niet random. Vereenvoudig : (DELTA Q)^2 = de som over alle i van p-i *Q-i^2 - 2 * de som over alle i van Q-i * het gemiddelde van Q + de som over alle i van (het-gemiddelde-van-Q)^2 = het gemiddelde van Q^2 - 2*(het gemiddelde van Q)^2 + (het gemiddelde van Q)^2 . Dus (DELTA Q)^2 = het gemiddelde van Q^2 - (het gemiddelde van Q)^2 , dus het gemiddelde van Q^2 => (het gemiddelde van Q)^2 . In de Kwantummechanica krijgen we de definitie met Hermitische operator Q-dakje : ((DELTA Q-dakje)-KSI)^2 is gedefinieerd als < Q-dakje^2>-KSI - (<Q-dakje>-KSI)^2 . Claim-1 : (DELTA Q)^2-KSI = de integraal van -oneindig naar oneindig van dx [(Q-<Q>)KSI]^2 . De onzekerheid verdwijnt als, en alleen als, de toestand een eigentoestand van Q is. DE ONZEKERHEID VERDWIJNT ALS, EN ALLEEN ALS, DE TOESTAND EEN EIGENTOESTAND VAN Q IS. Dan is er geen onzekerheid (Naar beneden meer).
ONZEKERHEID EN EIGENTOESTANDEN. De laatste toestand. (van deze analyse). bewijs ervan. ALS JE EEN EIGENTOESTAND VAN Q HEBT, ALS EEN TOESTAND VAN Q EEN EIGENTOESTAND VAN Q IS, IS ER GEEN ONZEKERHEID. Dit komt overeen met ons METING-POSTULAAT (zie hierboven), dat zegt dat je op een eigentoestand van KSI van Q, je Q meet. Q-dakje KSI = lambda*KSI , dan is de integraal van dx KSI* Q-dakje KSI = lambda * de integraal van dx KSI* KSI = (omdat KSI* en KSI genormaliseerd zijn) = lambda . Uit deze vergelijking volgt : -> Q-dakje KSI- = <Q-dakje>-KSI KSI- , dus Q-dakje = <Q-dakje>-KSI , (Q-dakje - <Q>) KSI = 0 ;dus DELTA Q = 0 , dus geen onzekerheid (Claim-2). Als dit zo is, dan is KSI een eigentoestand van Q-dakje . We hebben zo niet het onzekerheids-principe in het algemeen bewezen, we hebben : wanneer je hebt dat delta x * delta p groter of gelijk is aan hbar/2 , zijn deze dingen berekend met die definities. "Het is wiskundig een rigoreus resultaat".
STATIONAIRE TOESTANDEN: SLEUTEL-VERGELIJKINGEN .*H-bar * (Stationaire toestanden zijn eenvoudige en nuttige oplossingen van de Schrodinger Vergelijking) Een Stationaire toestand (is niet een statische toestand) heeft tijd-afhankelijkheid. Dus XSI (x,t) is een stationaire toestand als je het kan schrijven als een product g(t) * KSI(x). Je hebt d/dt <x> = /m (de snelheid) . Je hebt : i *hbar *dDSI(x,t)/dt = H-dakje KSI(x,t) = (- h-bar^2/(2*m) * d^2/d x^2 + V(x) * KSI (x,t) ) . Substitueer hierin XSI(x,t) = g(t) *KSI(x) en we krijgen i* h-bar * KSI(x) d g(t)/d t = g(t)* H-dakje * KSI(x) en omdat we geen tijdsafhankelijkheid hebben , is H-dakje * KSI(x) een functie van x . Deel door KSI : dus i *h-bar *1/g d g/d t = 1/XSI(x) * H-dakje * KSI(x) . Heel vreemd is de linkerkant een functie van t alleen en de rechterkant een functie van x alleen. Aldus moet iedere kant een constante zijn , zeg E (met eenheden van energie; een reele constante). Het is een reele grootheid. g(t) = c*e^(-i*E*t/h-bar) . De andere vergelijking is (-i*h-bar^2/(2*m) d^2/ d x^2 + V(x) ) KSI = E KSI(x) , de tijds-onafhankelijke Schrodinger-vergelijking geheten. (Eigenfunctie-vergelijking) . De gehele oplossing is nou : KSI (x,t) = c* KSI(x) * e^(-i *E*t/h-bar) . En, genormaliseerd, moet het zijn : 1 = de integraal van KSI*(x,t) KSI(x,t) dx = de integraal van KSI*(x) e^(i*E*t)/h-bar KSI(x) e^(-i*E*t/h-bar) = 1 .
VERWACHTINGS-VARIABELEN VAN STATIONAIRE TOESTANDEN (binnenkort meer)
COMMENTAREN OVER HET SPECTRUM EN CONTINUITEIT-VOORWAARDEN.De eigenfuncties van H gaan een orthonormale verzameling van functies vormen die de ruimte opspannen. KSI-1 (x) E-1 , KSI-2 (x) E-2 ,.... spectrum van de theorie. (gezegd : als je een theorie wil oplossen, betekent dat het vinden van de energie-eigentoestanden) . We schrijven een beetje anders : d^2/dx^2 KSI = 2*m/hbar^2 * (V(x) -E) KSI(x) . ((Een potentiaal V(x) kan eenvoudig zijn (een parabool) of sprongen hebben of een delta-functie hebbe of oneindige sprongen of discontinu op ieder punt enzovoorts.)). We kijken naar deze potentialen en zetten grens-voorwaarden op. KSI(x) moet continu zijn . KSI'(x) is continu tenzij V(x) een delta-functie heeft . Als KSI'(x) discontinu is , dan is KSI''(x) proportioneel naar een delta-functie.
OPLOSSEN VAN EEN DEELTJE OP EEN CIRKEL. De Schrodinger-vergelijking. X gaat van 0 naar L . x is hetzelfde als x + L . (De cirkel is de hele oneindige lijn aldus, met deze identificatie ). Dus KSI(x +L) = KSI(x) en V(x) =0 dan : H-dakje = -hbar^2/(2*m) d^2/dx^2 . Energietoestanden : -hbar^2/(2*m) d^2/dx^2 KSI = E KSI . (vind de oplossingen !) . Alle energieen die je kan vinden zijn of 0 of positief. We doen : de integraal van 0 naar L van dx KSI* -> -hbar^2/(2*m) * de integraal van dx [KSI*(x) d/dx d/dx KSI(x) ] = E * de integraal van KSI* KSI(x) dx, met KSI* KSI = 1 , indien normaliseerbaar dus = E . (Integreren bij parts geeft ) de integraal van dx * [d/dx (KSI* d KSI/dx) - dKSI*/dx dKSI/dx ] = E = -hbar^2/(2*m) KSI* dKSI/dx ]L-0 + hbar^2/(2*m) * de integraal van 0 naar L van dx *|d/dx KSI|^2 = E (>0 , zoals geclaimd). Wat het ook is, de golffunctie hier, de afgeleide ervan, alles is periodiek met L. De differentiaalvergelijking is d^2/dx^2 KSI = -(2*m*E/hbar^2) KSI = -k^2 KSI , k behorend tot R . Dus k^2 = 2*m*E/hbar -> E = hbar^2*k^2/(2*m) , p = hbar*k . Probeer : je kan sin(k*x) kiezen , cos(k*x) en e^(i*k*x). Laten we e^(i*k*x) proberen en we krijgen KSI = e^(i*k*x) .
ENERGIE-EIGENTOESTANDEN VAN EEN DEELTJE OP EEN CIRKEL. (binnenkort meer)
********************************************************----------------ONEINDIGE EN EINDIGE VIERKANTE BRONNEN, EIGENSCHAPPEN VAN BEGRENSDE EIGENTOESTANDEN.---------------------------------------------------------
ONEINDIGE VIERKANTE BRON-ENERGIE EIGENTOESTANDEN. Het probleem van de oneindige vierkante muur. Op x = 0 gaat een muur recht omhoog en naar beneden en ook een muur op x=a .Geen potentiaal tussen de muren. V(x) = 0 met 0<x<a en = oneindig met x<= 0 en x => a . De golffunctie moet zo verdwijnen buiten het interval. Je zult zien dat het deeltje een kans heeft, in de omgeving te zijn, waar dat volgens de klassieke Natuurkunde niet kan. KSI=0 x< 0 , x>a en de golffunctie moet continu zijn : aldus nemen we KSI(0) = KSI(a) = 0, vanwege continuiteit. Wat is nou de Schrodinger-vergelijking ? KSI'' = 2*m*E/hbar^2 KSI(x) = - k^2 *KSI(x) . Neem KSI (x) = c-1 * cos(k*x) + c-2 * sin (k*x) . De golffunctie moet verdwijnen met x = 0 , dus geen c-1 , dus KSI(x) = c-2 *sin(k*x) , met KSI (x=a) = 0 = c-2 *sin(k*a) , dus moet k*a een veelvoud van pi zijn : k*a = n*pi -> k*n = pi*n/a . Wat nemen we hier voor n ? n = 0 is niet toegestaan. Hoe met positieve en negatieve n's ? Als je hebt : sin(-k*a) = -sin(k(x)) . Dezelfde golffunctie . Aldus moeten wij ons beperken tot n=1, 2, 3, .....Normalisatie geeft KSI-n = N * sin(n*pi*x/a) , geeft N^2 * de integraal van 0 naar a van sin^2 (n*pi*x/a) = N^2 * 1/2 * a = 1 . N= sqrt(2/a) .Dus KSI-n (x) = sqrt(2/a) * sin (n*pi*x/a) ; n=1, 2, .....oneindig en E-n = hbar^2 *pi^2* n^2/(2*m*a^2) : DE ENERGIE NEEMT TOE WANNEER n TOENEEMT.
KNOPEN EN SYMMETRIEEN VAN DE ONEINDIGE VIERKANTE BRON EIGENTOESTANDEN. Met n=1 is de gafiek, tegen de plaats x, een omgekeerde boog, dus geen knooppunten, met n =2 is de grafiek een slinger met links een top en rechts een dal , dus 1 knooppunt, met n=3 heeft de grafiek in het midden een dal en links en rechts daarvan, aan iedere kant een top, dus 2 knooppunten enzovoorts. Merk op dat het aantal knooppunten toeneemt met de energie van de eigentoestanden. Soms is het beter om de 1e muur op -a/2 te plaatsen en de 2e muur op a/2, het midden is x=0 . Nou is de grondtoestand symmetrisch. De volgende toestand anti-symmetrisch en de dan volgende toestand weer symmetrisch . Begrensde toestanden van een symmetrische V(x) = V(-x) zijn even of oneven. Dit is niet eenvoudig te bewijzen. Geen zogeheten degeneraties.
EINDIGE VIERKANTE BRON, OPZETTEN VAN HET PROBLEEM. Eindige vierkante muur. We gaan er vergelijkingen voor schrijven. We gaan nou geen oplossingen zoeken. V(x) = -V-0 (V-0 > 0) -a<x<a . Zoek naar begrensde toestanden . E<0 . KSI'' = -2*m/hbar^2 * (E-V(k)) KSI. Energie kan opgevat worden als de potentiele energie plus de kinetische energie. -2*m/hbar^2 * (E -V(x)) zal constant zijn, zeg x. alpha < 0 |x| <a , alpha >0 |x| >a . Als de POTENTIAAL oneindig wordt dan wordt de bron oneindig diep. Je hebt altijd meer energie dan de minimum-potentiaal. Beschouw dat de potentiaal altijd symmetrisch is met even oplossingen : KSI(x) = KSI(-x) .Eerste definitie : k^2 == 2*m/hbar^2 (V-0 -|E|) > 0 , dus KSI'' = -k*KSI , de oplossingen zijn eenvoudig trigonometrisch = cos(k*x) (-a < x < a) . Wat met de regio x>a : KSI'' = -2*m/hbar^2 E KSI (V = hier v0) = 2*m*|E|*KSI/hbar^2 ; de definitie van kappa^2 = 2*m*|E|/hbar^2 -> KSI'' = kappa^2*KSI. KSI is proportioneel aan e^(+/-kappa*x) : KSI(x) = A* e^(-kappa*x) , x>a . Als je k^2 en kappa^2 bij elkaar optelt krijg je k^2 + kappa^2 = 2*m*V-0/hbar^2 . Dus kappa^2 * a^2 + kappa^2*a^2 = 2*m*V-0*a^2/hbar ^2 . We moeten de energie vinden. Definieer nou epsilon = kappa*a >0 en eta = k*a > 0 . z-0^2 = 2*m*V-0*a^2/hbar^2 .---- z-0 zal je het aantal begrensde toestanden geven.
EINDIGE VIERKANTE BRON-ENERGIE EIGENTOESTANDEN. KSI moet continu zijn op x = a . cos(k*a) = A* e^(-kappa*a) (*) . KSI' moet continu zijn op x= a net zo . -k*sin(k*a) = -kappa *A*e^(-kappa*a) (**) . Door (*) gedeeld geeft (**) k*tan(k*a) = kappa -> phi = eta *tan(epsilon) . Nou phi^2 = kappa^2 * a^2 = 2*m*|E|*a^2/hbar^2 = 2*m*V-0*a^2/hbar^2 * |E|/V-0 , dus E/V-0 = (phi/z-0)^2 . Dit kun je tekenen in een grafiek. In het oneven geval (oneven oplossingen) : phi = -eta *cot(eta) . En nou, heb je soms geen enkele oplossing.
NIET-DEGENERATIE VAN BEGRENSDE TOESTANDEN VOOR DEELTJES OP DE REELE LIJN , REELE OPLOSSINGEN. Twee eigenschappen (die we gaan bewijzen) : 1) Voor 1Dimensionale potentialen over x behoort tot (-oneindig , oneindig) zijn er geen degenerate gebonden toestanden (normaliseerbare energie eigentoestanden (dus KSI -> 0 , x -> +/- oneindig)). 2) Met V(x) reeel kunnen de energie eigentoestanden gekozen worden reeel te zijn . Voor 1Dimensionale potentialen zijn de begrensde toestanden reeel op naar een fase.-----Kan reeel zijn in 2) betekent dat je een oplossing kan vinden die complex is. Als KSI(x) (complex) de Schrodinger-vergelijking oplost, laat je zien dat KSI* ook de Schrodinger-vergelijking oplost. KSI + KSI* = reeel (lost ook de Schrodinger-vergelijking op, dus) . Definieer nou KSI-reeel = (KSI(x) + KSI*(x))/2 (reele oplossing met dezelfde energie) en KSI-imaginair(x) = 1/(2*i) * (KSI(x) - KSI*(x)). 2) zegt ook : als je een begrensde toestand hebt van 1Dimensionale potentiaal dan is meer waar. Iedere oplossing dat je dan vindt is in principoe reeel. Twee oplossingen met dezelfde energie zouden degenereren maar met 1) zijn ze niet degenerate gebonden toestanden, dus KSI-imaginair(x) komt overeen met KSI-reeel(x) en beide zijn reeel, aldus zijn ze gelijk keer een constante. (De enige mogelijkheid). Maar dat betekent dat de oorspronkelijke oplossing KSI = KSI-reeel + i*KSI-imaginair = KSI-reeel + i*c*KSI-imaginair = (1 + i*c)*KSI-reeel = e^(i*Arg(1+i*c)) * sqrt(1+c^2)*KSI-reeel.
****************************************************************-EIGENSCHAPPEN VAN 1D ENERGY EIGENTOESTANDEN, KWALITATIEVE EIGENSCHAPPEN VAN GOLFFUNCTIES, SCHIET-METHODE.*****************-------
POTENTIALEN DIE VOLDOEN AAN : V(-x) = V(x) . 3) als V(-x) = V(x) kunnen de eigentoestanden gekozen worden even of oneven te zijn , onder x -> -x . Voor 1-D-potentialen zijn de begrensde toestanden of even of oneven. Bewijs : KSI'' (x) + 2*m/hbar^2 * (E- V(x) KSI(x)) = 0 ....(1) . KSI''(x) betekent de tweede afgeleide van KSI geevalueerd op x. Definieer PHI(x) = KSI(-x) , dus d/dx PHI(x) = KSI'(-x)(-1) en d^2/dx^2 PHI(x) = KSI''(-x)*(-1)*(-1) = KSI''(-x). Evalueer nou (1) op -x . We krijgen KSI''(-x) + 2*m/hbar^2 (E- V(x))*PHI(x) , met hier V(x)=V(-x) = 0 (2) . We hebben bewezen dat beide KSI(x) en PHI(x) = KSI(-x) oplossingen van de Schrodinger-vergelijking zijn met dezelfde energie. We hebben nou (definities) : KSI-s(x) = 1/2 *(KSI(x) + KSI(-x) en KSI-a = 1/2 *(KSI(x)-KSI(-x)) . We hebben KSI-s(-x) = KSI-s (x) en KSI-a(-x) = -KSI-a(x) . KSI-s en KSI-a zijn 2 oplossingen met dezelfde energie, aldus is de stelling bewezen. (Ze kunnen zowel even als oneven gekozen worden). In de 1-Dimensie situatie kun je niet 2 oplossingen hebben omdat ze dan degenereren , dus KSI(-x) heeft dezelfde energie als KSI(x), ze moeten reeel zijn (KSI(-x) = i*KSI(x)) . Dus KSI(x) = c*KSI(-x) = c*c*KSI(x). Nu, met c = +1 is KSI even en met c = -1 is KSI oneven.
KWALITATIEVE INZICHTEN. LOKALISEER DE BROGLIE-GOLFLENGTE. Kwalitatieve inzichten in (reele) energie-eigentoestanden. Totale E = K + V(x) . (In de klassieke Natuurkunde is E - U-kin + U-pot . De totale energie E is een getal gezet dat vastgesteld is.(K(x) + V(x) ). Klassiek : U-kin = p^2/(2*m) (p is het moment) . We krijgen nou : de De Broglie golflengte lambda = h/p . In de Kwantummechanica is de Energie sin, cos (met de Schrodinger-vergelijking). Als de potentialen V(x) groeien met groeiende x , is de energie K dalende vanwege de constante E-totaal en p(x) , het moment, eveneens dalende dus, dus lambda(x) neemt toe. (De golflengte wordt groter). Verandert de amplitude ook ? Nou het geval dat V(x) varierend is en wordt en was groter dan E . Klassiek zou U-kin negatief zijn, wat onmogelijk is, dus zijn dat de verboden x-regios. (Waar V(x) > E) . Een bepaalde benadering van Kwantummechanica , de WKB-benadering : als lambda(x)*d/dx V << V(x) (N.B. een exacte oplossing zal geen cos of sin zijn) -> lambda(x) = h/(P(x)) = h/sqrt(2*m*K(x)) .
CORRESPONDENTIE-PRINCIPE , AMPLITUDE ALS EEN FUNCTIE VAN PLAATS. Wat is het Correspondentie-principe ? (De golffunctie zal groter zijn , waar het deeltje (in de toegestane regio) meer is ("meer tijd besteedt"). De waarschijnlijkheid te zijn in (x, x + dx) = (KSI(x))^2 dx = dE/T (T is de periode van de beweging) = dx/(|V(x)|*T) = dx * m/(p(x)*T) . Onze belangrijkste resultaat is het vergelijken van beide zijden dat |KSI(x)|^2 proportioneel is aan 1/p(x) proportioneel aan lambda(x). De golf betekent dat |KSI(x)|^2 oscilatie is, maar p(x) heeft geen oscilatie. Je schrijft dat de amplitude van |KSI(x)| proportioneel is aan 1/sqrt(p(x)) proportioneel aan sqrt(lambda(x)). Wat gebeurt er : klassiek komt de distributie, de waarschijnlijkheids-distributie van het deeltje overeen met de gemiddelde distributie van die in Kwantummechanica.(die oscileert). Veronderstel nou dat je een potentiaal hebt die lineair groeit en wanneer de potentiaal oneindig is neemt p(x) af als x toeneemt , dus lambda (x) neemt toe als x toeneemt. Aldus heeft je golffunctie een steeds toenemende golflengte en tegelijkertijd neemt de amplitude toe, omdat het deeltje langere tijd moet verblijven. DIT IS HET CORRESPONDENTIE-PRINCIPE. (WKB-benadering).
**************************************************************----DELTA-FUNCTIE-POTENTIAAL, DE KNOOPPUNT-THEORIE VERKLAREND. EENVOUDIGE HARMONISCHE OSCILATOR.*************************--------*******************************************
DELTA-FUNCTIE-POTENTIAAL : INLEIDING. Een-dimensionale potentiaal, functie van x . V(x)= -alpha * delta(x) , alpha>0 . Aldus begrensde toestanden, (E<0) ? Hoeveel begrensde toestanden ? Eenheden ? Drie constanten : alpha , m, h-bar . [alpha], eenheden van energie , (delta eenheid 1/L ) aldus heeft alpha eenheden energie*lengte.(Energie = h^2/(m*L^2) = (alpha/L)) -> lengte-eenheden L = h-bar^2/(m*x) ; E= m*alpha^2/h-bar^2. De begrensde-toestand energie moet wegvallen. Energie, zeggen we, is negatief : E-b = m*alpha^2/h-bar^2. De Schrodinger-vergelijking is : -h-bar^2/(2*m) * KSI'' = E KSI -> x is niet 0 KSI" = -2*m*E/h-bar^2 *KSI = kappa^2 *KSI . Oplossingen : e^(-k*x) , e^(k*x) , cosh (kappa*x) , sinh (Kappa*x) .
DELTA FUNCTIE POTENTIAAL-2. OPLOSSEN VOOR DE BEGRENSDE TOESTAND. x is niet-gelijk 0 : KSI(x) = A* e^(-kappa*|x|) = A* e^(-kappa*x) als x>0 en A*e^(kappa*x) als x <0 De grafiek hiervan , van horizontaal x en verticaal KSI(x) ziet er zo uit : KSI(x) neemt vanuit -oneindig een waarde aan van 0 langzaam stijgend tot een maximum-waarde als x=0 en dan weer dalend tot naar 0 richting +oneindig. Het is een continue golffunctie , anders kon het niet voldoen aan de Schrodinger-vergelijking. We hebben nog niet de delta-functie gebruikt. Wat voor soort van discontinuiteiten hebben we met een delta-functie ? De Schrodinger-vergelijking : -h-bar^2/(2*m) * d^2 KSI/dx^2 + V(x) KSI(x) = E KSI(x). Als we integreren van -epsilon naar epsilon dx -> -h-bar^2/(2*m) (d PHI/dx | x=epsilon - d PHI/dx | x= -epsilon + de integraal van -epsilon naar epsilon van dx (-alpha * delta(x) * PHI(x) = E * de integraal van -epsilon naar epsilon van PHI(x) dx (continu dus =0) , met ( de integraal van dx d^2/dx^2 PHI = de integraal van b naar a van dx d/dx .... . We gaan nu enkele van deze integralen doen met limiet epsilon -> 0 . Dus : -h-bar^2/(2*m) * lim (epsilon -> oneindig) (d PHI/dx |-epsilon - d PHI/dx |-min-epsilon - alpha *PHI(0) = 0 . -h-bar^2/(2*m) * DELTA-0 PHI'- alpha * PHI(0) = 0 -> DELTA-0 PHI'= - 2*m*alpha/hbar^2 PHI(0) . (DELTA-0 is de discontinuiteit met x=0) . Dit is voor : V(x) = -alpha delta(x) . Dus -kappa * A* e^(-kappa*epsilon) - kappa *AAe^(-kappa*epsilon) = -2*m*alpha/h-bar^2 *A . Dus -2*kappa*A = -2*m*alpha*A/hbar^2 -> kappa = m*alpha/hbar^2 (is de energie : E = -hbar^2*kappa^2/(2*m) = -hbar^2*m^2*alpha^2/(2*m*hbar^2). E = 1/2 * m*alpha^2/hbar^2 .
KNOOPPUNT-THEORIE .De grondtoestand heeft geen knooppunten. De eerste aangeslagen toestand heeft 1 knooppunt. De tweede aangeslagen toestand heeft 2 knooppunten. PHI(x-0) = PHI'(x-0) = 0 is niet mogelijk . Knooppunttheorie. PHI-1 , PHI-2 , PHI-3 , ... E-1<E-2<E-3 . In een willekeurige potentiaal, is dit ook waar. Het is gebaseerd op continuiteit. Nou : laten we een nieuwe potentiaal invoeren : de potentiaal is oneindig als x< -a en x>a , tussen -a en a is V-a(x) = V(x). De begrensde toestanden van V-a(x) als a-> oneindig zijn de begrensde toestanden van V(x) . Natuurkundig is dit redelijk maar wiskundig is hier een betere verklaring. Als a naar 0 gaat, ja dan heb je een grondtoestand met 0 knooppunten enzovoorts. Als a groter wordt, de breedte toeneemt, heeft de grondtoestand dan knooppunten ? Nee, anders moet er een punt zijn met PHI = PHI'=o , wat onmogelijk is. Zo heeft de grondtoestand van de hele grote potentiaal dus geen knooppunten.
HARMONISCHE OSCILATOR ; DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGEN. Een voudige Harmonische Oscilator. E = E-kin + E-pot = p^2/(2*m) + 1/2 *m*omega^2*x^2. ( 1/2 *m*omega^2*x^2 = 1/2 * k*x^2 , met omega = sqrt(k/m) ).natuurkundigen in het begin van de 20e eeuw besloten een harmonische oscilator te doen, een kwantum harmonische oscilator, zij moesten de Hamiltoniaan uitvinden. H-dakje = p-dakje^2/(2*m) + 1/2 * m *omega^2*x-dakje^2 (de tweede term is de kwadratische potentiaal = V(x) =1/2 *m*omega^2*x^2 . [x-dakje,p-dakje] = i*hbar . Daarom zal deze kwadratische potentiaal de kwantum-oscilatoren "regeren". IN FEITE, WANNEER JE ELEKTRONEN IN EEN MAGNETISCH VELD HEBT, HEB JE DIT. (HIEROP IS DE PUBLICATIE UIT 2007 VAN DE 3 FRANSE WISKUNDIGEN GEBASEERD, DIE STAAT OP DE SUBPAGINA ONOPGELOSTE PROBLEMEN VAN DE WISKUNDE VAN DE PAGINA ONDERWERPEN WISKUNDE VAN DEZE WEBSITE. Nou willen we de energie-eigentoestanden vinden. H-dakje PHI-n (x) = E-n PHI-n (x) . (E-n is de energie van de n-de toestand). DUS DE ENERGIE IS GEKWANTISEERD. We hebben -hbar^2/(2*m) d^2/dx^2 PHI + 1/2 * m *omega^2 *PHI(x) = E PHI(x) . Nou moeten we de variabele x veranderen in een variabele zonder eenheden. Nou x = a*u (is eenheid-vrij) , ideaal voor een numerieke oplossing. Je differentiaal-vergelijking wordt nou -hbar^2/(2*m*a^2) d^2/du^2 PHI + 1/2 *m *omega^2*a^2*u^2*PHI = E PHI. Met m*omega^2*a^2*u^2 = hbar*omega. Dus wordt het -1/2 *hbar*omega d^2/du^2 PHI + 1/2 hbar*omega*u^2 PHI = E PHI. We krijgen (vermenigvuldigend met 2/(hbar*omega) ) -d^2/du^2 PHI + u^2 PHI = 2*E/(hbar*omega) PHI . Het suggereert een eenheids-vrije energie EPSILON = 2*E. Dus E = hbar*omega*EPSILON/2 . EPSILON is in de orde van 0,87 eV (elektronen-Volt) En we hebben d^2/du^2 = (u^2 - EPSILON) PHI .
GEDRAG VAN DE DIFFERENTIAAL-VERGELIJKING. d^2/du^2 PHI = (u^2 -epsilon) * PHI . Maar de oplossingen divergeren. Alleen normaliseerbaar als geen energie bepaalde specifieke waarden aanneemt. Wat als u -> plus of min oneindig ? Wel, d^2/du^2 is ongeveer u^2 * PHI . Je kan nou proberen PHI = e^(u^2) , bijvoorbeeld is PHI u*k * e^(alpha*k^2 /2) ? PHI' is hier ongeveer alpha * u *PHI , PHI'' is hier ongeveer (alpha * u)^2 * PHI en daarom zie je alpha = +/- 1 . PHI is misschien A* u^k * e^(-k^2/2) (klinkt goed, de oplossing die we willen) + B* u^(k) * u ^(u^2/2) (dit "klinkt"erg slecht) met u -> plus of min oneindig. Tenslotte PHI(u) = h(u) * e^(-u^2/2). We konden hopen h(u) (divergeert) is een polynoom. Substitueer nou de differentiaalvergelijking voor PHI in de differentiaalvergelijking voor u . Wat is de differentiaalverghelijking voor h ? d^2/du^2 - 2*u * dh/du + (epsilon-1)*h = 0 . (Je krijgt een polynoom-oplossing).( Je ziet ook hier dat, net met het vinden van oplossingen voor een gewone of een partiele differentiaalvergelijking je moet PROBEREN welk functie als oplossing voldoet. Zo voldoet aan df(x)/dx = -x de functies sin(x) en cos(x) , algemeen de functie A*sin(x) + B*cos(x))
******************************************************---------------EENVOUDIGE HARMONISCHE OSCILATOR-2 . CREATIE EN ANNIHILATIE OPERATOREN.************************************************-------
RECURSIE RELATIE VOOR DE OPLOSSING .-h-bar^2/(2*m) * d^2/dx^2 PHI(x) + 1/2 *m*omega^2 * x^2 * PHI (x) = E PHI(x) . Voor h(u) hebben we d^2h/du^2 - 2*u* dh/du + (epsilon -1) *h = 0 (**) . Misschien is er een polynoom-oplossing voor (**) . We proberen een reeks-ontwikkeling. h(u) = de som van k tot oneindig van a-k * u^k . Je hebt : (a-j * u-j + a-j+1 * u^(j+1) + u-j+2--j+2 ....) In de differentiaalvergelijking geeft dit : d^2 u/du-2 = .........(j+2)*(j+1) * a-j+2 * u^j - 2*u * dh/du : .....-2*j*a-j*u^j en van (epsilon-1)*h : (epsilon-1)* a-j* u-j . Aldus hebben wij verkregen : de som van j=0 tot oneindig van [ (j+2)*(j+1) * a-j+2 - 2-j *a-j + (epsilon-1)*a-j] *u-j = 0 , en aldus moet iedere coefficient 0 zijn , dus hebben we (j+2)*(j+1) * a-j2*j+1 - epsilon)*a-j , recursie : a-j+2 = (2*j+1 - epsilon)/((j+2)*(j+1)) * a-j voor j = 0, 1, 2, ..... Van a-0 krijg je a-2 , a-4 , a-6 .... dus je hebt een even oplossing voor h(u), en van a-1 krijg je a-3 , a-5, a-7, ....., een oneven oplossing. (a-0 , a-1) met a-0 = h(0) en a-1 = h'(0) .
KWANTISATIE VAN DE ENERGIE. (vervolg van het vorige item : item-178) a-j-2/a-j = ongeveer 2*j/j^2 = 2/j . e^(u^2) = de som van n=0 tot oneindig van 1/n! * u^(2*n) , (zet 2*n = j) = de som voor j = 0, 2, 4, .... van 1/(j/2)! * u^j = de som voor j= 0, 2, 4, ... van c-j * u^j met c-j = 1/(j/2)^n . Nou c-j+2/c-j = (j/2)^(2*n+j) /((j+2)/2)! = .... (divergeert). Dus PHI(u) ongeveer e^(k^2/2) is geen oplossing. Er bestaat een j zodat 2*j + 1 = epsilon ; j = 0,1,2 . a-j+2 = 0. Dus h(u) = a-j * u^j + a-j-2 * u^(j-2) . Noem j = n . epsilon = 2*n + 1 ; h(u) = a-n * u^n + a-n-2 * u^(n-2) + ...... . E = h*omega/2 (2*n+1) -> E-n = h* omega((2*n+1)/2) = h*omega (n+1/2) . De energie-toestanden zijn of even of oneven. Deze worden Hermitische polynomen genoemd. epsilon = 2*n + 1 dus d^2 H-n(u)/du - 2*u *dH-n/du + 2-n *H-n(u) = 0 is de Hermitische differentiaal-vergelijking. H-n = 2^n * u^n + .... u^(n-2) . H-0(u) = 1 , H-j (u) = 2*u H-2 = 4*u^2 -2 H-3 = 8*u^3- 12*u . Beschouw e ^(-z^2 + 2*z*u) = de som van n=j tot oneindig van z^n/n! * H-n(u). We hadden u = x/a -> golffuncties PHI-n(x) = H-n * e^(-x^2/(2*a^2)) = e^(m*omega *x^2/(2*h-bar)) met a^2 = h-bar/(m*omega) .En de energieen E-n = h-bar * omega *(n+1/2) , dus E-0 * h*omega/2 ; E-1 = 3/2 (?-- ga na) enzovoorts.
ALGEBRAISCHE OPLOSSING VAN DE HARMONISCHE OSCILATOR . Algebraisch : H-dakje = p-dakje^2/(2*m) + 1/2 * m *omega^2 * x-dakje ^2 = 1/2 *m *omega^2 *( x-dakje + p-dakje^2/(m^2 * omega^2)) . Het idee is de Hamiltoniaan te factoriseren, dat is te schrijven als twee factoren H = V-dagger V + een getal. Denk eraan (AB)-dagger = B-dagger A-dagger , dus V-daggerV is een Hermitische operator. x-dakje^2 + p-dakje^2/(m^2*omega^2) = a^2 + b^2 = (a-i*b) *(a+i*b) . Probeer nu te schrijven x-dakje^2 + p-dakje^2/(m^2 * omega^2) = (?) (x-dakje - i*p-dakje/(m*omega) )*( x-dakje + i* p-dakje/(m*omega)) + h-bar/(m*omega) . Noem x-dakje - i*p-dakje/(m*omega) V-dagger en x -dakje + i *p-dakje/(m*omega) V . Je hebt (PHI, A PHI) = (A-dagger PHI , PHI) (x-dakje en p-dakje , zijn beide zoals je weet Hermitian). Dus H-dakje = 1/2 *m* omega^2 (V-dagger V + h-bar/(m*omega)) ; H-dakje = 1/2 *m *omega^2 * V-dagger * V + 1/2 *h-bar *omega. Aldus factoriseerden we de Hamiltonian. [V, V-dagger] = [ x-dakje + i*p-dakje/(m*omega) , x-dakje - i*p-dakje/(m*omega) ] = -i/(m*omega) * [x-dakje , p-dakje] + i/(m*omega) [p-dakje, x-dakje ] . (Want: [x-dakje, p-dakje] = i*h en [p-dakje,x-dakje] -i*h ). Dus [V, V-dagger] = 2*h-bar/(m*omega) -> [ sqrt (m*omega/(2*h-bar)) * V , sqrt (m*omega/(2*h-bar)) * V-dagger ] = 1 . Definieer a = sqrt ( m*omega/(2*h-bar) * V en a-dakje-dagger = sqrt (m*omega/(2*h-bar)) * V-dagger , aldus [ a, a-dagger] = 1 . (a is niet Hermitian, omdat a = a-dagger) . Nou a-dakje = sqrt (m*omega/(2*h-bar)) * (x-dakje + i*p-dakje/(m*omega)) ; a-dakje-dagger = sqrt (m*omega/(2*h-bar)) * (x-dakje - i*p-dakje/(m*omega)) ; x-dakje = sqrt (h-bar/(2*m*omega)) * (a + a-dagger) ; p-dakje = i* sqrt(m*omega*h-bar/2) * (a-dagger - a) .( x-dakje en p-dakje dus Hermitian)
GRONDTOESTAND GOLFFUNCTIE. (binnenkort meer)

WEBSITE VAN FRANK BOON

Website op het gebied van Wiskunde, Natuurkunde, Scheikunde, Technische Zaken, Sterrenkunde, planten en dieren, Filosofie en Economie

KWANTUMMECHANICA. (Binnenkort komt hier een inhoudsopgave van deze pagina). MEER OVER KWANTUMMECHANICA OOK OP DE PAGINA ONDERWERPEN NATUURKUNDE VAN DEZE WEBSITE.

Onze services