DE SPECIALE EN ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE .(Binnenkort komt hier een inhoudsopgave van deze pagina).
- --De speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein, die die publiceerde in 1905, heeft betrekking op de speciale situatie van eenparige bewegingen, dus zonder versnelling, in tegenstelling tot de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein, die die publiceerde in 1915, die betrekking heeft op situaties met verschillende referentielichamen, die -onder invloed van krachten- bijvoorbeeld gravitatievelden niet-eenparige bewegingen hebben, dus met versnelling, ten opzichte van elkaar.
- LET OP: IN HET HIERONDERSTAANDE, ZOWEL OVER DE SPECIALE ALS OVER DE ALGEMENE RELATIEVITEITSTHEORIE WORDT HET BEGRIP RUIMTE-TIJD EN OOK WEL RUIMTE-TIJD-CONTINUUM GENOEMD. HET IS ZO DAT DE DIMENSIE-HET BEGRIP TIJD VAN DE NATUURKUNDE EEN ANDERSSOORTIG BEGRIP VAN DE NATUURKUNDE DAN DE DRIE RUIMTEDIMENENSIES-BEGRIPPEN LENGTE EN BREEDTE EN HOOGTE DIE RUIMTEBEGRIPPEN VAN DE NATUURKUNDE ZIJN. IN BEREKENINGEN MET DIE ZOGENAAMDE RUIMTE-TIJD IS DE TIJD (IMPLICIET--ER IN VERVAT) IN DIE RUIMTE TIJD MET DE DRIEANDERSOORTIG NATUURKUNDE NAMELIJKRUIMTE BEGRIPPEN LENGTE EN BREEDTE EN HOOGTE. EINSTEIN HEEFT NOOIT BEWEERD DAT DE DIMENSIE TIJD HET ZELFDE SOORT DIMENSIE VAN MECHANICA VAN DE NATUURKUNDE IS ALS DE DRIE DIMENSIES LENGTE EN BREEDTE EN HOOGTE. !!!!! EINSTEIN HEEFT OOK IN DE LATERE JAREN MET ZIJN TOELICHTINGEN OP DE SPECIALE EN ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE HEUS GEEN ENKELE FOUT GEMAAKT !!!
- DEEL 1. DE SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE.....................................Met behulp van experimenten, die je in je gedachten moet uitvoeren, met meetlatten, klokken en een trein rijdend op rails, zijn verschillende fysische feiten te beredeneren, die verrassend afwijkend blijken te zijn van de klassieke mechanica, die aldus niet helemaal juist blijkt te zijn.Einstein schrijft (in 1916): ".........Als we nu aan de stellingen van de Euclidische meetkunde alleen de stelling toevoegen, dat met twee punten van een praktisch star lichaam altijd hetzelfde lijnstuk (dezelfde afstand) correspondeert, ongeacht de positieverandering die we het lichaam laten ondergaan, dan worden de stellingen van de Euclidische meetkunde tot stellingen over de relatieve positie van praktisch starre lichamen. De aldus gecompleteerde meetkunde is dan als tak van de natuurkunde te behandelen."
- Omdat we aan afstand een fysische interpretatie gegeven hebben, zijn we ook in staat de afstand tussen twee punten van een star lichaam op grond van metingen vast te stellen. Daarvoor hebben we een lengtemaat (staaf S) nodig, die als standaardmaat dient. Bij het meten in de natuurkunde maakt men gebruik van het cartesische coordinaten-stelsel. Dit bestaat uit drie platte vlakken die loodrecht op elkaar staan en met een star lichaam verbonden zijn.
In eerste instantie: "De MECHANICA moet beschrijven hoe de positie van lichamen in de ruimte verandert met de tijd.".........De begrippen "positie" en "ruimte" moeten wel nader verklaard worden. Een volledige beschrijving van de beweging krijgt men echter pas als men aangeeft hoe de positie van het lichaam met de tijd verandert. Uitgaande van de klassieke mechanica kunnen we voor definitie van de tijdvoldoen met:...we stellen ons twee identiek geconstrueerde klokken voor, de een in het bewegende voorwerp, bijvoorbeeld in een rijdende trein, en de andere op een vast punt, bijvoorbeeld op een punt op een voetpad, dat naast de rails ligt, waarover de trein rijdt. Zoals bekend (zie ook de hoofd-pagina onderwerpen natuurkunde hierover) luidt de traagheidswet van de klassieke mechanica (bedoeld wordt de zogenaamde Galilei-Newton-mechanica), die een van de vier hoofdwetten van Newton van de mechanica is : ..een lichaam dat voldoende ver verwijderd is van andere lichamen, volhardt in een toestand van rust of van eenparige rechtlijnige beweging....(Er is te beredeneren: een coordinatenstelsel in een zodanige bewegingstoestand dat ten opzichte ervan de traagheidswet geldt, noemen we een "Galileisch" coordinatenstelsel. Alleen voor een Galileisch coordinatenstelsel kunnen de wetten van de Galilei-Newton-mechanica als geldig beschouwd worden)....................Het RELATIVITEITSPRINCIPE (eerst in de beperkte betekenis).......We gaan weer uit van het voorbeeld van de treinwagon die met constante snelheid rijdt. Deze beweging noemen we eenparig .(Eenparig vanwege de constante snelheid en richting en translatie omdat de treinwagon ten opzichte van de spoorbaan wel van positie verandert, maar daarbij geen rotatie uitvoert). We kunnen redeneren:.....als een massa m rechtlijnig en eenparig beweegt ten opzichte van een coordinatenstelsel C , dan beweegt zij ook eenparig en rechtlijnig ten opzichte van een tweede coordinatenstelsel C' , indien dit een eenparige translatie uitvoert ten opzichte van C . Het relativiteitsprincipe (in de beperkte betekenis) luidt nu: ...als C' ten opzichte van C eenparig en zonderv rotatie beweegt, dan verlopen de natuurprocessen ten opzichte van C' volgens precies dezelfde algemene wetten als ten opzichte van C . Volgens het additietheorema van snelheden volgens de klassieke mechanica zal bijvoorbeeld een man in een treinwagon, die met een snelheid w in de rijrichting loopt, terwijl die treinwagon met constante snelheid v over de rails rijdt, in een seconde in totaal de afstand W = v + w ten opzichte van de spoorbaan afleggen. Later zullen we zien, dat de beschouwing die tot dit zogenaamde additietheorema van snelheden volgens de klassieke mechanica, leidt, niet juist is...Eerst wat anders. Uit de natuurkunde weten wij dat DE VOORTPLANTINGS_SNELHEID VAN LICHT IN VACUUM, IN EEN RECHTE LIJN, ONGEVEER-EN DUS NIET PRECIES- 300.000 kilometer PER SECONDE IS,-EN IN BIJVOORBEELD GLAS EN WATER-H2O-IETS DAARVAN VERSCHILLEND...... Neem nu weer het voorbeeld van de spoorbaan, waarover een treinwagon rijdt met snelheid v. In de zelfde richting waarin de trein rijdt wordt langs de spoorbaan een lichtsignaal gezonden, waarvan dus ook het voorste punt zich met de lichtsnelheid (c) voortplant. De constante snelheid van de treinwagon noemen we v , natuurlijk veel langzamer dan de lichtsnelheid. De snelheid w van het licht ten opzichte van de wagon zou dan zijn : w = c - v . Dit resultaat is evenwel in strijd met het relativiteitsprincipe (zie hierboven). Volgens het relativiteitsprincipe moet immers de voortplantingssnelheid van licht, evenals iedere andere algemene natuurwet, gelijk blijven, of in ons voorbeeld nou de treinwagon als referentielichaam dient of dat de rails als referentielichaam dient. Met het oog op dit dilemma LIJKT het onvermijdelijk dat of het relativiteitsprincipe of de eenvoudige wet voor de voortplanting van het licht in vacuum opgegeven moet worden. Deze weg kunnen en hoeven we echter niet te volgen. De ontwikkeling van de theoretische natuurkunde plusminus 1900 ,met name het baanbrekende onderzoek door H.A.Lorentz, naar de elektrodynamische en optische processen in bewegende lichamen toonde namelijk aan dat de ervaringen in deze gebieden noodzakelijkerwijs leiden tot een theorie van de elektromagnetische processen waarin de wet van de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid een onvermijdelijke consequentie is. Met de RELATIVITEITSTHEORIE hoeft ook het relativiteitsprincipe (zie hierboven) niet verworpen te worden, maar komt men juist door systematisch vast te houden aan zowel het relativiteitsprincipe als de theorie van de constante lichtsnelheid tot een logisch overtuigende theorie....Denk nou in gedachten dat op twee ver van elkaar verwijderde plaatsen A en B van de spoorbaan de bliksem is ingeslagen in de rails. Neem verder aan, dat deze beide bliksem-inslagen gelijktijdig plaats vonden....--Wat is echter gelijktijdigheid ??? Welnu , we veronderstellen in bovenstaande voorbeeld, dat in verschillende van plaatsen de spoorbaan identiek geconstrueerde klokken worden geplaatst en dat zij zodanig worden afgesteld dat hun wijzers gelijktijdig dezelfde posities innemen. Onder "tijd" van een gebeurtenis verstaat men dan de tijdsaanduiding (positie van de wijzers) van de klok die zich in de onmiddellijke nabijheid (in de ruimte) van de gebeurtenis bevindt. We hebben dan ook de nauwelijks te betwisten hypothese aangenomen, dat de klokken even snel lopen, in geval dus als ze identiek geconstrueerd zijn.------------------------------De relativiteit van gelijktijdigheid......Als we nu in gedachte op de rails een zeer lange trein met constante snelheid v laten rijden, zijn twee gebeurtenissen (bijvoorbeeld de beide blikseminslagen A en B -zie boven), die ten opzichte van de spoorbaan gelijktijdig zijn, niet gelijktijdig ten opzichte van de trein. Dit is te zien, omdat we zeggen dat de blikseminslagen A en B ten opzichte van de spoorbaan gelijktijdig zijn, dat betekent dat de vanuit A en B uitgezonden lichtstralen elkaar ontmoeten in het middelpunt M van het spoorwegtraject A naar B. De beide gebeurtenissen (blikseminslagen) A en B corresponderen evenwel ook met posities A en B in de trein. Stel dat M' het middelpunt van het traject A naar B van de rijdende trein is. Dit punt M' valt weliswaar (op het ogenblijk van de blikseminslagen vanaf de spoorbaan beoordeeld) samen met het punt M, maar beweegt met de snelheid v van de trein, in de rijrichting van de trein. Omdat een waarnemer in de trein, in geval die vanuit de positie van punt A in de richting van punt B beweegt, de uit B komende lichtstraal tegemoet komt, terwijl hij de van A komende lichtstraal vooruitsnelt, zal hij dus de uit B uigezonden lichtstraal eerder zien dan die uitgezonden uit A . De waarnemers die de trein als referentielichaam gebruiken, moeten dus tot de conclusie komen dat de blikseminslag B eerder heeft plaatsgevonden dan de blikseminslag A ......We komen tot de conclusie dat ieder referentielichaam (coordinatenstelsel) zijn eigen bepaalde tijd heeft en dat een tijdsaanduiding alleen dan betekenis heeft als het referentielichaam is aangegeven ten opzichte waarvan men de tijd aanduidt...---------------------------------De relativiteit van het begrip afstand.............Als we weer het voorbeeld van de rijdende trein nemen en we willen de afstand tussen twee bepaalde plaatsen in de trein meten, dan is het het eenvoudigste de trein zelf als referentielichaam te gebruiken. Het is echter anders als de afstand vanaf de spoorbaan beoordeeld moet worden. Dan is de volgende methode mogelijk : ..als men de beide punten waarvan de afstand bepaald moet worden, A' en B' noemt, dan bewegen deze punten met snelheid v langs de spoorbaan. Punten A respectievelijk B van de spoorbaan, laten we nu die punten zijn, die juist gepasseerd worden door de beide punten A' en B' op een bepaalde tijd vanaf de spoorbaan beoordeeld. De afstand tussen A en B met de laatste meting, hoeft "a priori" helemaal niet (precies) gelijk te zijn als gemeten met de eerste meting, die in de rijdende trein.------------------Men kan zich nou afvragen: hoe vindt men de plaats en tijd van een gebeurtenis ten opzichte van de trein als tijd en plaats van de gebeurtenis ten opzichte van de spoorbaan bekend zijn, zodanig dat hierdoor de wet voor de lichtvoortplanting in vacuum en het relativiteitsprincipe niet langer strijdig zijn. Het probleem is nou exact: ....hoe groot zijn de waarden x' , y' , z' en t' van een gebeurtenis ten opzichte van C' , als de grootheden x , y , z en t van dezelfde gebeurtenis ten opzichte van C gegeven zijn ? Hiervoor heb je de LORENTZ-TRANSFORMATIE:..... x' = x - vt / de wortel uit 1 - v-kwadraat/c-kwadraat .... y' = y ....z' = z .... t' = t - v/c-kwadraat*x /de wortel uit 1 - v-kwadraat/c-kwadraat .....Wij gaan nu de Lorentz-transformatie afleiden.******************Eenvoudige afleiding van de Lorentz-transformatie. In eerste instantie gaan we alleen gebeurtenissen beschouwen die op de x-as plaatsvinden. Een lichtstraal langs de positieve x-as plant zich voort volgens de vergelijking: x = ct of x - ct = 0 (1) Omdat hetzelfde lichtsignaal zich OOK ten opzichte van C' (het coordinatenstelsel, dat zich bijvoorbeeld met de rijdende trein meebeweegt-zie boven ook) met snelheid c moet voortplanten, wordt de voortplanting ten opzichte van C' beschreven door de analoge formule x' - c*t' = 0 (2) De ruimte-tijd-punten (gebeurtenissen) die aan (1) voldoen, moeten ook aan (2) voldoen. Het is duidelijk dat dit het geval is wanneer algemeen voldaan wordt aan de betrekking : (x' - c*t') = lambda*(x - c*t) (3) met lambda is een constante. Geheel analoog komen we voor lichtstralen langs de negatieve x-as : x' + c*t' = mu*(x + c*t) (4) . Als we de vergelijkingen (3) en (4) optellen respectievelijk aftrekken met gemakshalve in plaats van lambda en mu a = (lambda + mu)/2 en b = (lambda - mu)/2 dan krijgen we: x' = a*x - b*c*t en c*t' = a*c*t - b*x (5) . Ons probleem is opgelost als de constanten a en b bekend zijn. Welnu. Voor de oorsprong van C' geldt permanent x' = 0 dus volgens de eerste van (5) x = ( b*c/a )*t . Als we de snelheid waarmee de oorsprong van C' ten opzichte van C beweegt, v noemen, dan is dus: v = b*c/a (6) . We krijgen dezelfde waarde v uit (5) als we de snelheid van een ander punt van C' berekenen ten opzichte van C. Verder is het met behulp van het RELATIVITEITSPRINCIPE (zie boven) duidelijk dat vanuit C beoordeeld de lengte van een eenheidsmeetlat die in rust ten opzichte van C' verkeert, precies gelijk moet zijn aan de vanuit C' beoordeelde lengte van een eenheidsmeetlat die in rust ten opzichte van C verkeert. Door bivoorbeeld t = 0 te substitueren krijgen we uit de eerste van (5) x' = a*x . Twee punten van de x'-as , die in C' gemeten de afstand x' = 1 hebben, hebben dus op onze momentopname de afstand x = 1/a (7) . Meten we de momentopname evenwel vanuit C' (t' = 0), dan krijgen we uit (5) door eliminatie van t en met behulp van (6) x' = a*(1 - v-kwadraat/c-kwadraat)*x . Hieruit concluderen we dat twee punten op de x-as met een afstand 1 (ten opzichte van C) op onze momentopname de afstand x' = a*(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) (7a) hebben. Omdat zoals gezegd de beide momentopnames gelijk moeten zijn, moet delta-x in (7) gelijk zijn aan delta-x' in (7a) , zodat we krijgen : a-kwadraat = 1/(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) (7b) . De vergelijkingen (6) en (7b) bepalen de constanten a en b . Door substitutie in (5) krijgen we de eerste en vierde van de Lorentz-transformatie (zie boven) . Daarmee hebben we de Lorentz-transformatie op de x-as gevonden. We kunnen alsvolgt inzien dat zo zowel voor het stelsel C als voor het stelsel C' voldaan is aan het postulaat van de ONVERANDERLIJKHEID VAN DE LICHTSNELHEID IN VACUUM voor lichtstralen met een willekeurige richting. Op het tijdstip t = 0 wordt vanuit de oorsprong van C een lichtsignaal gezonden. De voortplanting ervan verloopt volgens de vergelijking r = de-wortel-uit (x-kwadraat + y-kwadraat + z-kwadraat) = c*t of, door kwadrateren : x-kwadraat + y-kwadraat + z-kwadraat - c-kwadraat*t-kwadraat = 0 (10) . De wet voor de lichtvoortplanting eist, in combinatie met het relativiteitspostulaat, dat de voortplanting van hetzelfde signaal -vanuit C' beoordeeld- verloopt volgens de analoge formule: r' = c*t' of: x'-kwadraat + y'-kwadraat + z'-kwadraat - c-kwadraat*t'-kwadraat = 0 (10a) . Opdat vergelijking (10a) volgt uit vergelijking (10), moet gelden : x'-kwadraat + y'-kwadraat + z'-kwadraat - c-kwadraat*t'-kwadraat = sigma*(x-kwadraat + y-kwadraat + z-kwadraat - c-kwadraat*t-kwadraat) (11) . Omdat voor punten op de x-as vergelijking (8a) moet gelden, moet sigma = 1 zijn . We zien gemakkelijk in dat de Lorentz-transformatie inderdaad voldoet aan de vergelijking (11) met sigma = 1 ; (11) is namelijk een gevolg van (8a) en (9) , dus ook van (8) en (9) . DAARMEE IS DE LORENTZ-TRANSFORMATIE AFGELEID.---**************** Opmerkingen. Het gedrag van bewegende meetlatten en klokken. Ik leg een meterstaaf langs de x'-as van C' zodanig dat het ene uiteinde ervan samenvalt met het punt x' = 0 , het andere uiteinde met het punt x' = 1 . Wat is de lengte van de staaf ten opzichte van stelsel C ? We hoeven hiervoor alleen te bepalen waar het begin van de staaf en het eind van de staaf liggen ten opzichte van C op een bepaalde tijd t van het stelsel C . Uit de eerste vergelijking van de Lorentz-transformatie vinden wij op het tijdstip t = 0 : x-(begin van de staaf) = 0*de-wortel-uit(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) en x-(eind van de staaf) = 1*de-wortel-uit(1-v-kwadraat/c-kwadraat) , dus de afstand tussen de punten is : de-wortel-uit(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) . De bewegende staaf is dus korter dan dezelfde staaf, wanneer deze in een toestand van rust verkeert, en hoe sneller zij beweegt, des te korter is de staaf. En : voor de snelheid v = c zouden we krijgen de-wortel-uit(1 - c-kwadraat/c-kwadraat) = 0 , voor nog grotere snelheden wordt de wortel imaginair. Hieruit concluderen we dat in de relativiteitstheorie de lichtsnelheid c de rol speelt van limietsnelheid, die door geen enkel reeel lichaam bereikt of overschreden kan worden..............Als we echter niet van de wet voor de lichtvoortplanting uitgegaan waren, maar van de stilzwijgende veronderstelling van de KLASSIEKE MECHANICA , waarin tijden en lengtes een absoluut karakter hebben, dan zouden we de volgende vegelijkingen gevonden hebben : x' = x - v*t , y' = y en z' = z . (Dit stelsel noemt men vaak "galilei-transformatie" . De galilei-transformatie ontstaat uit de Lorentz-transformatie als men in de laatste de lichtsnelheid c oneindig stelt)...................Einstein schrijft : "Het belangrijkste resultaat van algemene aard waartoe de speciale relativiteitstheorie geleid heeft, betreft het begrip massa. Voor de komst van de relativiteitstheorie kende de fysica twee BEHOUDSWETTEN van fundamentele betekenis, namelijk de wet van behoud van energie en de wet van behoud van massa ; deze beide fundamentele wetten lijken geheel onafhankelijk van elkaar te zijn. Door de relativiteitstheorie smelten ze echter samen tot een wet. " Het relativiteits-principe (zie boven) eist dat de wet van behoud van energie niet slechts ten opzichte van een coordinatenstelsel C geldt, maar ten opzichte van ieder coordinatenstelsel C' dat ten opzichte van C een eenparige translatie uitvoert. De overgang van het ene stelsel naar het andere wordt bepaald door de Lorentz-transformatie. We concluderen nou eenvoudig : Als een met snelheid v bewegend lichaam een energie E-0 (vanuit een meebewegend coordinatenstelsel beschouwd) opneemt in de vorm van straling zonder dat daarbij de snelheid verandert, dan neemt de energie van dat lichaam toe met : E-0/de-wortel-uit(1 - v-kwadraat/c-kwadraat). Volgens de relativiteitstheorie wordt de kinetische energie (bewegings-energie) van een puntdeeltje met massa m niet meer gegeven door de bekende uitdrukking 1/2m*v-kwadraat maar door : m*c-kwadraat/de-wortel-uit(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) . Als men deze uitdrukking in een reeks ontwikkelt, krijgt men : m*c-kwadraat + m*v-kwadraat/2 + 3/8m*v-tot-de-vierde/c-kwadraat + ....... . De eerste term van deze reeks : m*c-kwadraat is onafhankelijk van de snelheid v . Als men nu de uitdrukking voor de energie schrijft in de vorm (m*c-kwadraat + E-0)/de-wortel-uit(1 - v-kwadraat/c-kwadraat) , dan ziet men dat de term m*c-kwadraat , die ons reeds -zie hierboven- opviel, niets anders is dan de energie die het lichaam reeds bezat (vanuit een meebewegend coordinatenstelsel gezien) voor het de energie E-0 opnam.
DEEL 2.DE ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE. (gepubliceerd door Albert Einstein in 1915).
............Onder het ALGEMENE RELATIVITEITSPRINCIPE verstaan we de bewering : Alle referentielichamen C , C' enzovoorts zijn voor de natuurbeschrijving (formulering van de algemene natuurwetten) gelijkwaardig, ongeacht hun beweging.......Deze formulering moet echter door een meer abstracte worden vervangen (zie hier beneden).
..........Enkele algemeenheden. Na invoering van het speciale relativiteitsprincipe (zie boven) lijkt het aanlokkelijk de stap naar het algemene relativiteitsprincipe te wagen. Laten we weer het voorbeeld nemen van de trein die eenparig -dus met constante snelheid, over de rechte rails, dus in een rechte lijn- over de rails rijdt. Als nu de beweging van de treinwagon VERANDERT in een niet-eenparige, doordat bijvoorbeeld de trein krachtig remt, dan krijgt een inzittende in de wagon een even krachtige stoot naar voren. ...... Door nauwkeurige bestudering van de elektromagnetische verschijnselen was men al in de tijd van de publicatie door Einstein van de algemene relativiteitstheorie (1916) tot de conclusie gekomen, dat er geen directe wisselwerking over een afstand bestaat. Faraday (zie ook de pagina onderwerpen natuurkunde) beschreef dat bijvoorbeeld een magneet altijd in de omgevende ruimte iets fysisch reeels opwekt, dat een VELD , in geval een magneet, "magnetisch veld" , wordt genoemd. Zo bestaat er ook, bijvoorbeeld door de aarde veroorzaakt, iets fysisch reeels als een gravitatieveld. Einstein schrijft (in 1916) : "In tegenstelling tot het elektrische en magnetische veld vertoont het gravitatieveld een heel merkwaardige eigenschap, die van fundamenteel belang is voor het volgende : lichamen die uitsluitend onder invloed van een gravitatieveld (zwaartekrachtveld) bewegen, krijgen een versnelling, die niet in het minst afhangt van het materiaal of van de fysische toestand van het lichaam." Welnu. Volgens de bewegingswet van Newton geldt (kracht) = (trage massa)*(versnelling) waarbij de "trage massa" een karakterestieke constante is van het versnelde lichaam. Als de zwaartekracht oorzaak is van de versnelling, dan geldt enerzijds (kracht) = (zware massa)*(intensiteit van het zwaartekrachtveld) , waarbij de "zware massa" eveneens een voor het lichaam karakterestieke constante is van het versnelde lichaam. Uit beide relaties volgt : (versnelling) = ((zware massa)/(trage massa))*(intensiteit van het zwaartekrachtveld) . We moeten nu gaan inzien dat dezelfde eigenschap van het lichaam zich uit al naar gelang van de omstandigheden als "traagheid of als "zwaarte". We kunnen alleen het relativiteitsprincipe (zie boven) uitbreiden tot ten opzichte van versnelde lichamen omdat de fundamentele eigenschap van het zwaartekrachtsveld geldt dat alle lichamen dezelfde versnelling geeft, of, wat op het zelfde neerkomt, vanwege de identiteit van trage en zware massa. Neem nu een "ruimte-tijd-gebied" waarin geen gravitatieveld heerst ten opzichte van een referentielichaam C met een geschikt gekozen bewegingstoestand. We stellen ons hetzelfde gebied voor ten opzichte van een tweede referentielichaam C' dat ten opzichte van C een uniforme rotatie uitvoert. Stel C' voor als een vlakke cirkelvormige schijf, die eenparig roteert om het middelpunt van het vlak. Een waarnemer die zich buiten het middelpunt op de schijf C' bevindt, ondervindt een kracht die radiaal naar buiten gericht is en die door een waarnemer in rust ten opzichte van het oorspronkelijke referentielichaam C als traagheidskracht (centrifugaalkracht) wordt beschouwd. Op grond van het ALGEMENE RELATIVITEITSPRINCIPE (zie boven) mag de waarnemer op de schijf evenwel zijn schijf als referentielichaam "in rust" opvatten. De waarnemer stelt nu twee identiek geconstrueerde klokken op, een in het middelpunt van de schijf en de andere op de rand van de schijf, zodat beide in rust zijn, ten opzichte van de schijf. Lopen deze klokken even snel of juist niet, vanuit het niet-roterende referentielichaam gezien? Van hieruit beoordeeld heeft de klok in het middelpunt geen snelheid, terwijl de klok op de rand in beweging is door de rotatie. Derhalve, zie boven met de theorie van de speciale relativiteitstheorie, loopt de tweede klok vanuit C beoordeeld voortdurend langzamer dan de klok in het middelpunt van de schijf. Hetzelfde zou geconstateerd moeten worden door een waarnemer op de schijf. Meer in het algemeen zal in ieder gravitatieveld een klok dus sneller of langzamer lopen, al naar gelang van de plaats waar de klok (in rust) is opgesteld. Ook de definitie van ruimtelijke coordinaten levert hier in eerste instantie onoverkomelijke problemen op. Een eenheids-meetlat die tangentieel langs de rand van de schijf ligt, is beschouwd vanuit het stelsel C ,korter dan 1 , omdat de meetlat beweegt, en ligt in de bewegingsrichting (zie boven in de theorie van de speciale relativiteitstheorie). Als de meetlat daarentegen radiaal, dat is langs de straal van de schijf, ligt, ondergaat deze vanuit C beoordeeld geen verkorting.
We hebben een subtiele omweg nodig om het postulaat van de ALGEMENE RELATIVITEIT (zie boven) exact te kunnen passen. Met bovenstaande experimenten -in gedachten- met ook de draaiende schijf, krijgen we een situatie, waarin we moeten afstappen van de cartesische coordinaten en deze vervangen door andere, die de geldigheid van de euclidische meetkunde voor starre lichamen niet veronderstelt. Deze situatie is immers de situatie welke het algemene relativiteits-postulaat met zich meegebracht heeft. Volgens de wiskundige Gauss, die in de negentiende eeuw leefde, kan deze analytisch-meetkundige methode om het probleem te behandelen als volgt gevonden worden. We stellen ons voor dat op het vlak van bijvoorbeeld een tafelblad een stelsel van willekeurige krommen getekend is, die we u-krommen noemen en die we elk een getal toekennen. Tussen de krommen u = 1 en u = 2 bijvoorbeeld kunnen we ons echter nog oneindig veel meer krommen getekend denken, die alle corresponderen met een reeel getal dat tussen 1 en 2 ligt. We hebben dan een stelsel u-krommen dat "oneindig dicht" het hele tafelblad bedekt. Geen enkele u-kromme mag een andere snijden en door iedere punt van het tafelblad gaat een en slechts een kromme. Met ieder punt van het tafeloppervlak correspondeert dan een heel bepaalde u-waarde. Op dezelfde wijze stellen we ons op het vlak een stelsel v-krommen voor, die aan dezelfde voorwaarden voldoen, op overeenkomstige wijze van getallen voorzien zijn, maar eveneens een willekeurige vorm kunnen hebben. Met ieder punt van het tafelblad correspondeert dan een u-waarde en een v-waarde, welke twee getallen wij de coordinaten van het tafelblad noemen (gauss-coordinaten). Met twee naburige punten P en P' op het vlak corresponderen dan de coordinaten P(u,v) en P'(u + du, v + dv) , waarbij du en dv zeer kleine getallen voorstellen. De afstand tussen P en P' , gemeten met een staafje, is het eveneens zeer kleine getal ds . Dan is volgens Gauss : ds-kwadraat = g-1-1du-kwadraat + 2*g-1-2dudv + g-2-2dv-kwadraat , waarbij g-1-1 , g-1-2 en g-2-2 grootheden zijn die op een heel bepaalde wijze van u en v afhangen. N.B. -De methode van Gauss kan ook toegepast worden op een continuum met drie, vier of meer dimensies. Het coordinatenstelsel van Gauss is een logische generalisatie van het cartesische coordinatenstelsel. Het kan ook toegepast worden op niet-euclidische continua, echter alleen wanneer ten opzichte van de gedefinieerde maat ("afstand") kleine delen van het betreffende continuum steeds meer het euclidisch gedrag benaderen naarmate het beschouwde deel van het continuum kleiner is.-------------------------------Minkowski vond dat de Lorentz-transformatie (zie boven) aan de volgende eenvoudige voorwaarden voldoet. Beschouw twee "naburige" gebeurtenissen, waarvan de onderlinge afstand in het vierdimensionale continuum gegeven is ten opzichte van een galileisch referentielichaam C door de ruimtelijke coordinaten-verschillen dx , dy en dz , en door het verschil dt in de tijd. Ten opzichte van een tweede galileisch systeem zijn de overeenkomstige verschillen voor deze beide gebeurtenissen dx' , dy' , dz' en dt' . Dan geldt tussen hen altijd de betrekking : dx-kwadraat + dy-kwadraat + dz-kwadraat - c-kwadraatdt-kwadraat = dx'-kwadraat + dy'-kwadraat + dz'-kwadraat -c-kwadraatdt'-kwadraat . De geldigheid van de Lorentz-transformatie impliceert deze betrekking.
Het ruimte-tijd-continuum van de algemene relativiteitstheorie blijkt echter geen euclidisch continuum. Aan de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid kan de algemene relativiteitstheorie niet vasthouden; we kwamen veeleer tot het resultaat dat volgens deze laatste theorie de lichtsnelheid steeds van de coordinaten moet afhangen INDIEN er een gravitatieveld aanwezig is. Het is hier onmogelijk gebleken met starre lichamen en klokken een systeem (referentielichaam) zodanig op te bouwen dat "vast aan elkaar verbonden" meetlatten en klokken direct plaats en tijd aangeven. We kunnen echter dit probleem oplossen...............We relateren het vierdimensionale ruimte-tijd-continuum op een willekeurige wijze aan gauss-coordinaten. In het algemeen geldt: iedere fysische beschrijving gaat over in een aantal uitspraken, waarvan elk betrekking heeft op het samenvallen van twee gebeurtenissen A en B in de ruimte-tijd. Iedere dergelijke uitspraak komt in gauss-coordinaten tot uitdrukking door het overeenkomen van de vier coordinaten x-1 , x-2 , x-3 en x-4 . De beschrijving van het ruimte-tijd-continuum met behulp van gauss-coordinaten vervangt dus in feite volledig de beschrijving met behulp van een referentielichaam zonder de gebreken te vertonen van deze laatste methode van beschrijving; zij is niet gebonden aan het euclidisch karakter van het te beschrijven continuum.
We zijn nu in staat de voorlopige definitie van het algemene relativiteitsprincipe te vervangen door een EXACTE DEFINITIE. De voorlopige versie van het algemene relativiteitsprincipe ("Alle referentielichamen C , C' , C'' enzovoorts zijn gelijkwaardig voor de beschrijving van de natuur, ongeacht hun bewegingstoestand.") kan niet gehandhaafd worden, omdat het in het algemeen niet mogelijk is starre referentielichamen te gebruiken voor de beschrijving in de ruimte-tijd, tenminste, niet volgens de methode die bij de speciale relativiteitstheorie gevolgd werd. IN PLAATS VAN HET REFERENTIELICHAAM MOET HET GAUSS-COORDINATENSTELSEL KOMEN. Met het algemene relativiteitsprincipe stemt de volgende uitspraak overeen: "ALLE GAUSS-COORDINATENSTELSELS ZIJN VOOR DE FORMULERING VAN DE NATUURWETTEN PRINCIPIEEL GELIJKWAARDIG." Einstein schrijft: "De grote kracht van het algemene relativiteitsprincipe ligt in de verregaande beperking die als gevolg van het bovenstaande wordt opgelegd aan de natuurwetten."
De oplossing van het gravitatieprobleem.---------------We gaan uit van de beschouwing van een galileisch gebied, dat wil zeggen een gebied waar geen gravitatieveld heerst ten opzichte van het galileische referentielichaam C. Het gedrag van meetlatten en klokken ten opzichte van C is bekend uit de speciale relativiteitstheorie, evenals het gedrag van "geisoleerde" massapunten; deze laatste bewegen rechtlijnig en eenparig. Nu beschouwen we dat gebied ten opzichte van een willekeurig gauss-coordinatenstelsel als referentielichaam C' . Ten opzichte van C' heerst er dan een bijzonder type gravitatieveld G. Door louter berekeningen vinden we dan het gedrag van meetlatten en klokken alsmede van vrij bewegende materiepunten onder invloed van het gravitatieveld G. Vervolgens voeren we de hypothese in dat de invloed van het gravitatieveld op meetlatten, klokken en vrij bewegende materiepunten OOK dan door DEZELFDE WETTEN BESCHREVEN WORDT als het heersende gravitatieveld niet door louter coordinaten-transformaties uit het speciale galileische geval afgeleid kan worden. Vervolgens ondezoeken we het gedrag in de ruimte-tijd van het gravitatieveld G dat door louter coordinaten-transformaties afgeleid is uit het speciale galileische geval. We formuleren dit gedrag in een wet, die nog niet de algemene wet van het gravitatieveld is, omdat het bestudeerde gravitatieveld van een bepaald type is. De gevonden wet moeten we eerst nog generaliseren. Met de volgende eisen : a) De gezochte generalisatie moet eveneens voldoen aan het algemene relativiteitspostulaat. b) Als materie aanwezig is in het beschouwde gebied, is voor de veldopwekkende werking ervan allen de trage massa ervan van belang. c) Gravitatieveld en materie samen moeten voldoen aan de wet van behoud van energie (en van behoud van impuls)...--------------------Met deze algemene gravitatietheorie kan ondermeer aangetoond worden dat en kan berekend worden in welke mate, licht, bijvoorbeeld van een ster, bijvoorbeeld door de zon wordt aangetrokken en verbogen.
***************************************************************(later meer toelichting en toepassingen op de relativiteitstheorie )