WEBSITE VAN FRANK BOON

Website op het gebied van Wiskunde, Natuurkunde, Scheikunde, Technische Zaken, Sterrenkunde, planten en dieren,  Filosofie en Economie

  1. ONDERWERPEN WISKUNDE------(Er is geen streven naar volledigheid op deze pagina. Ik kom slechts met voorbeelden. Een inhoudsopgave volgt spoedig) . (Laatstelijk bijgewerkt  19 augustus 2023)
  2. Item ... 12: Over Lineaire Algebra Items ... 10-11 en 13-18: Over de Functionaalanalyse vanaf april 2015: Nieuwe onderwerpen : items-31, 32, 33, 34, 35 en vanaf daar(diverse onderwerpen van de wiskunde vanaf 2018: items -49 en ook item-50: over de stelling van Pythagoras, de geschiedenis van de stelling , diverse bewijzen van de stelling, over de oude Griek Pythagoras, die zelf ongeveer 500 voor Christus leefde en enkele toepassingen van de stelling en nog meer. Item-61 en volgende tot en met 80: Hier een samenvatting van de cursus Waarschijnlijkheid , Wetenschap van Onzekerheid en Gegevens van het MIT, 1e van de 5 cursussen van de Micromaster Statistiek en Data Wetenschap, die ik momenteel weer volg. (ik hoop ermee klaar te zijn mei 2022) Vanaf mei 2023, komt op deze webpagina, vanaf item-81, tot na item-89 een samenvatting van de 2e (van de 5) cursus van de Micromater Statistiek en Data Wetenschap die ik nou volg : Fundamenten van Statistiek (binnenkort meer)
  3. ***** Voici également un exemple issu de l'analyse fonctionnelle appliquée en mécanique quantique, qui démontre l'impossibilité, selon le principe d'incertitude de Werner Heisenberg, d'observer simultanément deux propriétés d'une particule élémentaire, à savoir sa quantité de mouvement et sa localisation. . Ceci est lié, entre autres, au caractère ondulatoire de la matière, dans lequel les ondes ont également un caractère particulaire. En algèbre linéaire, on parle des valeurs propres d'une matrice. Dans l'analyse fonctionnelle, il y a le cas général du spectre d'un opérateur, qui consiste essentiellement en les valeurs propres de cet opérateur. Un problème de mécanique quantique peut, mis en termes mathématiques (un MODÈLE MATHÉMATIQUE a été fait pour lui), être un problème de valeurs propres, dont les différentes valeurs propres correspondent aux différents états possibles dans lesquels on peut trouver quelque chose de la mécanique quantique. Ce sont alors l'état de repos et les (premier, deuxième, etc.) états excités, dans lesquels le système de mécanique quantique peut se trouver (nous en reparlerons plus tard). Une particule est parfois «perturbée» (amenée dans un état excité) et l'état est parfois «effondré» (retour au même état d'origine).
  4. Een AXIOMA is een eigenschap in de wiskunde die niet bewezen is, maar -bijvoorbeeld op grond van waarnemingen als waar wordt beschouwd. Bij de verschillende onderdelen van de wiskunde horen een (klein) aantal axioma's, waaruit alle stellingen van het desbetreffende onderdeel van de wiskunde bewezen kunnen worden---met behulp van de wetten van de logica.
  5. De axioma's van de ALGEBRA.  a + b = b + a ,-----    a*b  =  b*a   , de commutatieve regels,        ----- (a + b ) + c = a + (b + c) ,---------(a*b)*c   =  a*(b*c)  , de associatieve regels.           -------------   a*(b + c) = a*b + a*c , de distributieve regel.
  6. MEETKUNDE. gaat over lijnen cirkels driehoeken kubussen bollen etcetera.  axioma's van de meetkunde onder andere:  overstaande hoeken zijn gelijk. als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn zijn overeenkomstige hoeken gelijk.
  7. *****(Nieuwe) WISKUNDE WORDT ONTDEKT (in de natuur)............. Wiskunde gaat immers over reeel bestaande dingen. Zo zijn getallen aantallen, die de hoeveelheid van iets aangeven. Ook meetkundige figuren, zoals lijnen, cirkels, driehoeken, kubussen, bollen etcetera zijn dingen die concreet in de natuur voorkomen en aldus onderdeel van de wereld om ons heen, de natuurkundige werkelijkheid, zijn.*****
  8. FUNCTIE. y=f(x)   y is een functie van x. Een voorschrift in een uitdrukking van x wat de waarde van y is.  x is dan de variabele.
  9. Na introductie van het limietbegrip, kun je ---zoals vanaf de vierde klas van VWO en Havo---differentiaalrekening en integraalrekening gaan doen. (later meer erover). Het differentiaalquotient  ( de eerste afgeleide ) van een functie  f(x)  is gedefinieerd als de limiet  van h gaat naar 0  van   (f(x + h)   - f ( x) )/ h  .
  10. Een FUNCTIONAAL is een afbeelding van een functie van een of meerdere variabelen, die naar een scalar (reeel of complex getal vooral) afbeeldt.
  11. De FUNCTIONAALANALYSE  (vanaf ongeveer 1900), houdt zich vooral ook bezig met metrieken en metrische ruimten, waarin een metriek is gedefinieerd. Daarbij is de metriek de afstand van een punt van de metrische ruimte tot een ander punt. In de gewone driedimensionale ruimte om ons heen is de euclidische metriek de lengte van het lijnstuk dat twee punten met elkaar verbindt. De norm van een element (vector bijvoorbeeld) van een ruimte is de lengte van dat element, Aan iedere twee punten van een ruimte wordt een getal toegevoegd dat de eigenschappen heeft waarmee het zogenaamde inwendig produkt wordt gedefinieerd; men spreekt dan van een inwendig-produkt-ruimte.
  12. Hier komen ook de axioma's van de lineaire algebra. Definitie. Een vectorruimte over F is een niet-lege verzameling V samen met twee functies, een van V * V naar V en de andere van F * V naar V, genoteerd door x + y  enalpha.x respectievelijk, voor alle  alpha, beta  behorende tot F en iedere x, y, z behorende tot V, .....(a) x + y = y + x , x + (y + z)  = (x +y) + z ; (b) er bestaat een unieke 0 behorende tot V (onafhankelijk van x) zo dat x + 0 = x ; (c) er bestaat een unieke -x behorende tot V zo dat x + (-x) = 0 ; (d) 1x = x , alpha(beta.x) = (alpha.beta)x ; (e) alpha(x + y) = alpha.x + alpha.y , (alpha + beta)x = alpha.x + beta.x .........Definitie. Laat V een vectorruimte zijn. Een niet-lege verzameling U behorende tot V is een lineaire deelruimte van V als U zelf een vectorruimte is (met dezelfde vector-optelling en scalar-vermenigvuldiging als in V.........Definitie. Laat V een vectorruimte zijn en laat v = {v1,.....,vk} behorende tot V, k groter-of-gelijk 1, een eindige verzameling en laat A behorende tot V een willekeurige, niet-lege verzameling zijn. Dan (a) een lineaire combinatie van de elementen van v is iedere vector van de vorm x = alpha1*v1 + ........ + alphak * vk behorende tot V, voor iedere verzameling scalars  alpha1, ..... , alphak ...(b) v is lineair onafhankelijk wanneer geldt : alpha1*v1 + ... + alphak*vk = 0 daaruit-volgt alpha1 = ........alphak = 0. ....(c) A is lineair onafhankelijk als iedere eindige deelverzameling van A lineair onafhankelijk is. Als A niet lineair onafhankelijk is, dan is A lineair afhankelijk.....(d) De opspanning van A (genoteerd Sp A) is de verzameling van alle lineaire combinaties van alle eindige deelverzamelingen van A. Deze verzameling is een lineaire deelverzameling van V .....(e) Als v lineair onafhankelijk is en Sp v = V , dan wordt v een basis voor V genoemd. Er kan aangetoond worden dat als V zo'n (eindige) basis heeft dat dan alle basissen van V hetzelfde aantal elementen heben. Als dit aantal k is dan wordt V  k-dimensionaal genoemd (of, meer algemeen, eindig-dimensionaal), en we schrijven  dim V = k . Als V niet zo'n eindige basis heeft, dan heet V oneindig-dimensionaal........................Definitie. Laat V een vectorruimte zijn en T behorende tot L(V), dat wil zeggen  : T is een lineaire transformatie van V in zichzelf. Een scalar lambda behorende tot F is een eigenwaarde van T als de vergelijking T(x) = lambda*x een niet-nul oplossing x behorend tot V heeft, en elke zulke niet-nul oplossing is een eigenvector. De deelruimte Ker(T - lambda*I)  deelverzameling van V is de eigenruimte (corresponderend met lambda), met I is de zogenaamde eenheids operator die iere element naar zichzelf afbeeldt.
  13. EIGENWAARDEN . HET SPECTRUM VAN EEN MATRIX EN VAN EEN OPERATOR. Definitie. Laat V een vectorruimte zijn en T behoort tot L (V). Een scalar lambda behorend tot F is een eigenwaarde van T als de vergelijking  T(x) = lambda*x een niet-nul-oplossing x behorend tot V heeft , en iedere zo'n niet-nul-oplossing is een eigenvector . De deelruimte Ker (T-lambda*I) behorend tot V heet de eigenruimte ( corresponderend met lambda) en de veelheid van lambda is het getal m-lambda = n*(T-lambda*I)  .Hierin is I de identiteitoperator die een vector in zichzelf afbeeldt .Definitie . Laat A een vierkante matrix zijn , dan is HET SPECTRUM van A , genoteerd door sigma(A) gedefinieerd als  sigma(A) = /lambda behorend tot C :  A-lambda*I is niet-inverteerbaar = .LEMMA . Laat H- een complexe Hilbertruimte zijn en laat  Tbehorend-tot B(H-)  .  als lambda een eigenwaarde van T is dan is lambda in sigma(T) . Bewijs . Omdat er een niet-nul vector x behorend-tot H- is zo dat  Tx = lambda*x  volgt er dat  x behoort tot Ker (T-lambdaI)  en dus is  T-lambdaI  niet inverteerbaar door het volgende LEMMA : T is een-op-een dan en slechts dan als de vergelijking T(x) =0 alleen de oplossing  x=0 heeft . Dit is equivalent met  Ker(T) = {0}  of n(T)  =0.    .....(wordt vervolgd) . 
  14. **************************************************************-METRISCHE RUIMTEN...........Metrische ruimten zijn een abstracte setting waarin basis-analytische concepten worden besproken zoals convergentie van rijen en continuiteit van functies..........Definitie. Een metriek (of afstands-functie) op een verzameling M is een functie  d : M * M  naar  R (de verzameling van de reele getallen) met de vogende 4 eigenschappen :    (a) d(x,y)  groter of gelijk = ;   (b)  d(x,y) = 0 is gelijkwaardig met  x=y ,  (c) d (x,y) = d(y,x) ; (d)  d(x,z) is kleiner of gelijk d(x,y) + d(y,z)   (de driehoeks-ongelijkheid) ...............Iedere gegeven verzameling M kan meer dan een metriek hebben..Definitie. Een reeks {x-n} in een metrische ruimte (M,d) convergeert naar x behorende tot M (of de reeks {x-n} is convergent) als ,voor iedere epsilon groter dan 0 , er een N behorende tot de natuurlijke getallen bestaat zo dat d(x,x-n) kleiner dan epsilon, voor alle n groter of gelijk N . Gebruikelijk schrijven we lim n gaat naar oneindig x-n = x of x-n gaat naar x. Een reeks{x-n} in (M,d) is een Cauchy-reeks als, voor iedere epsilon groter dan = , er een N behorende tot de natuurlijke getallen bestaat zo dat d(x-m,x-n) kleiner dan epsilon , voor alle m,n groter of gelijk N.   Definitie. Een metrische ruimte (M,d) is VOLLEDIG als iedere Cauchy-reeks in (M,d) convergeert. Een verzameling A behorende tot M is volledig (in(M,d)) als iedere Cauchy-reeks die in A ligt convergeert naar een element van A. Voorbeelden van metrische ruimten. 1)Voor ieder positief getal k groter of gelijk 1, is de functie d: F-k * F-k naar R  gedefinieerd door d(x,y) = de wortel uit (de som van j=1 tot k van de abs.waarde van x-j - y-j in het kwadraat  een metriek op de verzameling F-k .(de zogenaamde standaard-metriek). 2) Een voorbeeld van een alternatieve metriek op F-k is de functie  d-1 : F-k * F-k naar R gedefinieerd door d-1(x,y) = de som van j=1 tot k van de absolute waarde van x-j - y-j  . 3) Definitie. Laat (M,d) een metrische ruimte. Een verzameling A behorend tot M is COMPACT als iedere reeks {x-n} in A een deelreeks bevat die convergeert naar een element van A. Als de verzameling M zelf compact is, zeggen we dat (M,d) een compacte metrische ruimte is. Laat nu (M,d) een compacte metrische ruimte zijn. De verzameling van continue functies f : M naar F wordt genoteerd door C-F(M) . We definieren een metriek op C-F(M) door d(f,g) = sup {de absolute waarde van f(x)-g(x) :x behorend tot M . Deze metriek wordt de uniforme metriek genoemd. 4) Er zijn andere nuttige metrieken op C a,b  welke door integralen zijn gedefinieerd. Laat de integraal van a tot b van f(x)dx de gebruikelijke Riemann-integraal van een functie f behorend tot C a,b voorstellen. Dan is, voor 1 kleiner of gelijk p kleiner dan oneindig , de functie d-p : C a,b * C a,b naar R gedefinieerd door d-p(f,g) = de p-demachts-wortel uit de integraal van a tot b van de absolute waarde van f(x) - g(x) tot de macht p  een metriek op C a,b . Ongelukkigerwijs is de metrische ruimte ( C a,b -d-p) niet volledig.Definitie .Een metrische ruimte (M,d) is SEPERABEL als het een aftelbare er dicht-in deelverzameling bevat. (Een verzameling X heet aftelbaar als het of een eindig of een oneindig aantal elementen bevat en geschreven kan worden in de vorm X = {x-n : n behorend tot N } ;.......
  15. Stelling. DE BANACH VASTE PUNT STELLING .--In een complete metrische ruimte (M.d) , heeft iedere contractie T : M -- > M exact een vast punt x-0 behorend tot M .  Als x behoort tot M , geldt voor iedere x  T-n x --> x-0  voor n gaat naar oneindig .---Bewijs . Eerst bewijzen we uniekheid . Neem voor dat doel aan dat x-0 en x-1 vaste punten voor T zijn . Dan hebben we  0<= d (x-0,x-1) = d(Tx-0 , Tx-1) <= lambda*d(x-0,x-1) . Daar lambda behoort tot [0,1] , kan hier alleen aan worden voldaan wanneer d(x-0,x-1) = 0 en dus x0 = x-1 . Daarom heeft de contractie T ten hoogste een vast punt . Nou het bestaan ervan . Laat x behorend tot M een willekeurig gekozen punt in M zijn en beschouw de reeks (T-n x) in M. Voor iedere n behorend tot N hebben we d(T-n x ,T-n+1 x) = d(T-n x ,T-n(T x)) <= lambda^n*d(x,Tx) , daar T-n een contractie is met contractiefactor lambda-n behorend tot [0,1] . Herhaaldelijk gebruik maken van de driehoeks-ongelijkheid gevolgd door bovenstaande ongelijkheid , krijgen we dan voor willekeurige n , k behorend tot N :  d(T-n x,T-n-k x) <= d(wordt vervolgd)
  16. LEBESGUE INTEGRATIE. Er bestaat een integratie-proces die een brede klasse van "Lebesgue-integreerbare" functies toepast en die de eigenschappen hieronder beschreven heeft, waarvan de eerste uitbreidingen zijn van corresponderende eigenschappen van de Riemann-integraal.------------Definitie. Een o-algebra (ook bekend als een o-veld) is een klasse SIGMA van deelverzamelingen van een verzameling X met de eigenschappen: (a) De lege verzameling en X behoren tot SIGMA ; (b) S behoort tot SIGMA daaruit volgt X min S behoort tot SIGMA ; (c) S-n behoort tot SIGMA , n = 1,2,......, daaruit volgt de vereniging van n=1 tot oneindig van S-n behoort tot SIGMA .Een verzameling S behorende tot SIGMA heet MEETBAAR........Definitie. Laat X een verzameling zijn en laat SIGMA een o-algebra van deelverzamelingen van X zijn. Een functie mu : SIGMA naar R+ is een MAAT als het de eigenschappen heeft : (a) mu(de lege verzameling) = 0  (b) mu is aftelbaar additief, dat wil zeggen, als S-j behoort tot SIGMA , j = 1,2,........, zijn paarsgewijs disjuncte verzamelingen dan mu(de vereniging van j=1 tot oneindig van S-j) = SIGMA (de som) van j=1 tot oneindig van mu(S-j) . Het drietal (X, SIGMA, mu) heet een MAATRUIMTE . ........Voorbeeld. Er is een o-algebra SIGMA-L in R en een maat mu-L op SIGMA-L zo dat iedere eindige integraal I = a,b behoort tot SIGMA-L en mu-L(I) = l(I) . De verzamelingen met maat nul in deze ruimte zijn precies die verzamelingen A met de volgende eigenschap : voor iedere epsilon groter dan 0 bestaat er een reeks intervallen I-j deel van R , j=1,2......., zo dat A is een deel van de vereniging van j=1 tot oneindig van I-j en SIGMA (de som) van l(I-j) kleiner dan epsilon . Deze maat heet LEBESGUE-MAAT en de verzamelingen in SIGMA-L heten LEBESGUE-MEETBAAR te zijn............Definitie. Een functie ksi : X naar R is simpel als het de vorm ksi = SIGMA (de som) van j=1 tot k alpha-j S-j S-j heeft voor een k behorende tot de natuurlijke getallen, met alpha-j behoort tot L-n en S-j behoort tot SIGMA , j = 1,.....,k ........Definitie. Als ksi niet negatief en simpel is, dan is de INTEGRAAL van ksi (over X, met respect tot mu) gedefinieerde te zijn : de integraal over X van ksi d-mu = SIGMA (de som) van alpha-j mu(S-j) .............Definitie. Een functie f : X naar R heet meetbaar als, voor iedere alpha behorend tot R, {x behoort tot X : f(x) groter dan alpha} behoort tot SIGMA ..........Definitie. Laat (X, SIGMA, mu) = (R-k , SIGMA-L, mu-L) voor een k groter of gelijk 1. Als f behoort tot L-1(R-k) (of f behoort tot L-1(S), met S behoort tot SIGMA-L) dan heet f LEBESGUE-INTEGREERBAAR. N.B. De klasse van Lebesgue integreerbare functies is veel groter dan de klasse van Riemann integreerbare functies. Echter, wanneer beide integralen zijn gedefinieerd, komen zij overeen.
  17. FUNCTIONAALANALYSE. Een inleiding tot de ..ideeen...en ...methodes....van functionaalanalyse. Moeilijkheden, in verband met dat hoewel veel van de elementaire eigenschappen van eindig-dimensionale vectorruimten ook gelden in oneindig-dimensionale vectorruimten, maar vele andere eigenschappen niet. Bijvoorbeeld in "algemene" oneindig-dimensionale vectorruimten hebben convergentie en continuiteit geen zin. Wel vaak een norm. Voorkennis voor functionaalanalyse nodig : lineaire algebra en "reele analyse  (inclusief de theorie van metrische ruimten). Gedeeltelijk is de functionaalanalase voor het bespreken van differentiaal- en integraalvergelijkingen. Ook nodig Lebesgue- maten en integratie. Lebesgue integratie is uitgebreid tot een grotere klasse functies dan Riemann-integratie. .....Het concept genormeerde vectorruimte. Een NORM op een vectorruimte is een uitbreiding van het idee van lengte van een vector naar een meer abstracte setting. Met een aan de norm geassocieerde metriek, is de norm met alle discussie over convergentie en continuiteit. De basis-eigenschappen van genormeerde ruimten worden besproken, In het bijzonder Banach-ruimten; dat zijn volledige genormeerde vectorruimten. Met eindige dimensies wordt, als aanvulling op de lengte van een vector, de hoek tussen twee vectoren ook gebruikt. Uitbreiding tot meer abstracte ruimten wordt het INWENDIG PRODUCT op een vectorruimte geintroduceerd. Dit is een generalisatie van het bekende "dot-product" in R3. Iedere inwendig-product-ruimte is een genormeerde ruimte en we vinden dat de belangrijkste inwendig-product-ruimten de volledige zijn. Dit zijn de HILBERT-RUIMTEN. Oneindig-dimensionale vectorruimten hebben verschillende eigenschappen en de volgende stap is te kijken naar lineaire transformaties tussen deze ruimten. De belangrijkste lineaire transformaties zijn de continue, en deze worden LINEAIRE OPERATOREN genoemd. Algemene eigenschappen van lineaire operatoren tussen genormeerde vectorruimten. Iedere lineaire transformatie tussen eindig-dimensinale vectorruimten is automatisch continu. Maar als de ruimten oneindig-dimensionaal zijn is dit zeker niet zo. Wij stellen de eigenschappen van de hele verzameling van lineaire operators tussen gegeven genormeerde vectorruimtes vast. In het bijzonder zal worden aangetoond dat deze verzameling zelf een genormeerde vectorruimte is, en sommige eigenschappen ervan worden besproken. Tenslotte : voor sommige lineaire operatoren is het mogelijk een INVERSE operator te definieren en we eindige met een karakterisering van de inverteerbaarheid van een operator. Ruimten van lineaire operatoren met de range-ruimte is de ruimte van scalars  zijn van bijzondeer belang. Lineaire transformaties met deze eigenschap heten lineaire functionalen en ruimten van continue lineaire functionalen heten duale ruimten. Wij bewijzen de Hahn-Banach-stelling, een algemeen resultaat van het bestaan van lineaire funtionalen met gegeven eigenschappe. Ook bestuderen wij verschillende eigenschappen van duale ruimten en discusseren wij aanverwant materiaal over meetkundige seperatie-stellingen, twwede dualen en reflexibiliteit en algemeen: niet-orthogonale projecties en complementen. Wij gaan verder de discussie van lineaire operatoren specialiseren tot die tussen Hilbert-ruimten. De toegevoegde structuur van deze ruimten betekent dat wij de adjoint van een lineaire operator kunnen definieren en daardoor de speciale klassen van zelf-adjoint en unitaire operatoren, die speciale mooie eigenschappen hebben. Wij introduceren hier ook HET SPECTRUM van lineaire operatoren (acterend) op een Hilbert-ruimte. Het spectrum van een lineaire operator is een generalisatie van de verzameling van eigenwaarden van een matrix, die een wel-bekend concept is in eindig-dimensionale lineaire algebra. Zoals (zie boven) al opgemerkt, zijn er veel significante verschillen tussen de theorie van lineaire transformatie in eindige en oneindige dimensies. Echter, voor de klasse van COMPACTE OPERATOREN wordt een groot dseel van de theorie van eindig naar oneindige dimensies overgedragen. De eigenschappen van deze speciale operatoren wordt ook besproken. In het bijzonder bestuderen wij compacte, zelf-adjuncte operatoren op Hilbert-ruimten en hun spectraal-eigenschappen. (wordt vervolgd)
  18. GENORMEERDE RUIMTEN....................Definitie. Laat X een vectorruimte over F zijn. Een NORM op X is een funfctie norm . : X naar R (R dus de verzameling van de reele getallen) zo dat voor alle x,y behorend tot X en alpha behorend tot F , (i) norm x groter of gelijk 0 ; (II) norm x = 0 dan en slechts dan als x = 0 ; (iii) norm alpha*x = de absolute waarde van alpha * norm x ; (iv)  norm x + y kleiner of gelijk norm x + norm y (de driehoeks-ongelijkheid) ....Voorbeeld. De functie norm . : F-n naar R gedefinieerd door norm (x-1,......,x-n) = (SIGMA som van j = 1 tot n van (x-j)-in-het-kwadraat) tot de macht 1/2 is de norm op F-n die de standaard-norm op F-n genoemd wordt......Voorbeeld. Laat M een compacte metrische ruimte zijn en laat C-F(M) de vectorruimte van continue, F-waardige functies gedefinieerd op M zijn. Dan is de functie norm . : C-F(M) naar R ,gedefinieerd door norm f = sup {absolute waarde van f(x) : x behoort tot M} een norm op C-F (M) die de standaard-norm op C-F(M) genoemd wordt..........Voorbeeld. Normen voor sommige vectorruimten van integreerbare functies. (zie de theorie-hier boven- over Lebesgue-integratie). Laat (X, SIGMA, mu) een maat-ruimte zijn. (a) Als 1 kleiner of gelijk p kleiner dan oneindig dan is norm f  -p = (de integraal over X van de absolute waarde van f tot de macht p d-mu) tot de macht 1/p een norm op L-p(X) die de standaard-norm op L-p(X) genoemd wordt. (b) de norm van f -oneindig = ess sup { de absolute waarde van f(x) : x behorend tot X} is een norm op L-oneindig (X) die de st)andaard-norm op L-oneindig genoemd wordt..........Lemma (dit is een algemene stelling). Laat X een vectorruimte zijn met norm norm .  . Als d : X * X naar R gedefinieerd is door d(x,y) = norm x - y dan is (X,d) een metrische ruimte. Bewijs. Laat x, y, z behorend tot X. Wanneer wij de eigenschappen van de norm gebruiken zien we dat : (a) d(x,y) = norm x - y groter of gelijk 0 ; (b) d(x,y) = 0 is gelijkwaardig met norm x - y = 0 is gelijkwaardig met x - y = 0 is gelijkwaardig met x = y ; (c) d(x,y) = norm x - y = norm (-1)*(y-x) = de absolute waarde van -1 * norm y-x = norm y-x = d(y,x) ; (d) d(x,z) = norm x-z = norm ((x-y) + (y-z))  kleiner of gelijk norm (x-y) + norm (y-z) = d(x,y) + d(y,z) . Dientengevolge voldoet d aan de axioma's voor een metriek.......Definitie.Een BANACH-RUIMTE is een genormeerde vectorruimte die volledig is onder de metriek geassocieerd met de norm.       (wordt vervolgd).
  19. INWENDIG PRODUKT . HILBERT RUIMTEN.----------------------Definitie. Laat X een reele vectorruimte zijn . Een inwendig produkt op X is een functie (. , .) : X x X naar R   is dat voor alle x , y , z behorend tot X en alfa , beta behorend tot R . eigenschappen (i) ( x,x ) groter of gelijk 0 : (ii) (x , x) = 0 dan en slechts dan als x = 0   ; (iii) (alfa*x + beta*y  , z ) = alfa*( x,z ) + beta ( y,z )   ; (iv) ( x,y ) = ( y,x )  .Definitie . Een inwendig produkt ruimte die volledig is met respect tot de metriek geassocieerd met de norm die geinduceerd is door het inwendig produkt wordt Hilbertruimte genoemd......Definitie. Laat X een inwendig produktruimte zijn . De vectoren x , y behorend tot X heten orthogonaal als ( x,y ) = 0 . Definitie . Laat X een inwendig produktruimte zijn . De verzameling { e-1 , ..... , e-k } behorend tot X heet orthonormaal als||e-n|| = 1 voor 1 kleiner-of-gelijk n kleiner-of-gelijk k  , en  (e-m , e-n ) = 0 voor alle 1 kleiner of gelijk m , n leiner of gelijk k  met m is-niet-gelijk n ...............(wordt vervolgd)
  20. **********************************************************************
  21. LAPLACE EN FOURIERTRANSFORMATIES.---------Er is bewezen dat een willekeurige functie  f behorende tot L-2[ 0,pi ]  gerepresenteerd kan worden , ontwikkeld kan worden in of de vorm  f = de SOM van n=0 tot oneindig van ( f,c-n)*c-n   , waar c-n(x) = (2/pi)-tot-de-macht1/2 *cos (n*x)   : n behorend tot N  of in de vorm   f = de SOM van n=1 tot oneindig van (f,s-n)*s-n  , waar s-n(x) = (2/pi)-tot-de-macht-1/2 *sin (n*x) : n behorende tot N , de Fourier-reeksen. (wordt vervolgd).
  22. Cantor (plm.1880) gaf het begrip continuiteit in de wiskunde een nauwkeurige omschrijving. Allerlei mystieke opvattingen rond continuiteit van Leibniz, de Duitse filosoof Hegel (plm.1830) en van Bergson werden hierdoor voorgoed naar het verleden verbannen.
  23. Ook wist Cantor het eeuwenoude logische vraagstuk van het oneindige getal op te lossen. Stel men neemt de reeks van gehele getallen te beginnen bij 1 , op hoeveel komt men dan uit? De reeks is duidelijk niet eindig. Tot en met duizend zijn er duizend getallen, tot en met miljoen een miljoen. De hoeveelheid eindige getallen moet oneindig zijn. Het merkwardige is nu echter dat er in dat geval net zoveel gewone getallen moeten zijn als even gehele getallen: vergelijk de twee reeksen:  1,2,3,4,5,6,........  2,4,6,8,10,12,......... Voor iedere plaats in de eerste reeks is er een in de tweede, en dientengevolge moeten beide reeksen evenveel termen bevatten, ook al bestaat de tweede reeks uit slechts de helft van de termen van de eerste. Dit was ook Leibniz al opgevallen, en hij zag het als een contradictie, waaruit hij de conclusie trok dat er welliswaar oneindige verzamelingen waren, maar geen oneindige getallen. Georg Cantor daarentegen ontkende boudweg dat het hier om een contradictie zou gaan. Hij had gelijk; het is louter een curiositeit. Georg Cantor definieerde een "oneindige" verzameling als een verzameling waarvan de delen evenveel termen bevatten als de verzameling in haar geheel
  24. De volgende belangrijke figuur was Frege, die zijn eerste werk in 1879 publiceerde, en zijn definitie van zijn ontdekkingen kreeg hij echter geen enkele erkenning, tot de Britse filosoof en wiskundige Bertrand Russell hem in 1903 onder de aandacht bracht. Het is opvallend dat elke definitie van het getal die voor Frege beproefd werd fundamentele flaters bevatte. Zo was het gangbaar om "getal" met "aantal" te vereenzelvigen, maar een voorbeeld van "getal" is een specefiek getal, laten we zeggen 3 , en een voorbeeld van 3 is een specefiek drietal. Dat drietal is een aantal, maar de klasse van alle drietallen -voor Frege is een aantal van aantallen, en "getal" in het algemeen, waarvan 3 een voorbeeld is is een aantal van aantallen van aantallen. Dit te verwarren met het simpele aantal dat een gegeven drietal vertegenwoordigt is een elementaire grammaticale misvatting die de hele filosofie van het getal voor Frege tot een aaneenschakeling van onzin maakt - onzin, in de meest strikte zin van dat woord. 
  25. Uit Freges werk volgde dat de rekenkunde, en de zuivere wiskunde in het algemeen, aldus Russell, louter een verlengstuk was van de deductieve logica. Russell schrijft, dat de ontwikkeling van de zuivere wiskunde uit de logica-door Whitehead en hem in "Principia Mathematica"(plm.1906)-3 delen   tot in details uitgewerkt........
  26. Russell had echter ook geen gelijk dat de zuivere wiskunde helemaal met deductieve logica is afgeleid. Zie hiervoor het eerste probleem van de 23 problemen van David Hilbert (zie de pagina hierover) en de mogelijke oplossing ervan met behulp van de wiskunde van de Duitse wiskundige Godel (plm.1930), welke oplossing echter niet algemeen erkend is. (later meer hierover)
  27. De gehele ontwikkeling van de wiskunde in de afgelopen, 20e eeuw werd sterk beinvloed door het wiskundige koffiedik-kijken van de Duitse wiskundige David Hilbert (zie ook de pagina's geschiedenis van de wiskunde en de 23 problemen van Hilbert). Aan de andere kant voorzag Hilbert veel van de nieuwe theorieen die na 1900 zouden opkomen niet.
  28. De TOPOLOGIE is zo'n nieuwe theorie. De topologie wordt vaak gekarakteriseerd als de studie van eigenschappen van vormen die ongewijzigd blijven door continue deformaties: eigenschappen als verbondenheid, het bezit van knopen en de aanwezigheid of afwezigheid van "gaten" .
  29. Sedert ongeveer 1990 beleeft de wiskunde een enorme bloei. De wiskunde groeit sneller dan ooit tevoren. Door de opkomst van internet kun je snel met je ideeen en vragen, je tot anderen over de hele wereld wenden. Typ bijvoorbeeld wiskunde of mathematics op een zoekmachine, als bijvoorbeeld www.google.nl   in, en er komt een overzicht van vele sites, waar je ook met anderen, amateurs en professionals, ideeen en vragen en onderzoeksprojecten kunt uitwisselen. Dit is van harte aanbevolen !
  30. ****************************************************--------------------**************************************************************-----******(********************************************************----DE ONVOLLEDIGHEIDSSTELLING VAN GODEL .In de 19e eeuw werd de hyperbolische meetkunde ontdekt : een meetkunde waarin het parallellen axioma onwaar is . De overige axioma's van de euclidische meetkunde staan al toe te bewijzen , gegeven een rechte en een punt daarbuiten , dat er tenminste een evenwijdige lijn door dat punt gaat ( de loodrechte op de loodrechte) . Het parallellenaxioma beweert dat er slechts een evenwijdige lijn bestaat , en zijn ontkenning impliceert dus dat er meer dan een bestaat .----------In de eerste helft van de negentiende eeuw bewezen C.F.Gauss , N.Lobachevsky en Janos Bolyai in feite dat de veronderstelde hyperbolische meetkunde heel vreemd is . Zo is hierin de som van de hoeken van een driehoek niet voor alle driehoeken hetzelfde en door drie niet op een lijn liggende punten gaat niet noodzakelijkerwijs een cirkel en er bestaan geen rechthoeken en geen equidistante rechten en de stelling van Pythagoras geldt evenmin . Maar toch : de hyperbolische meetkunde bleek niet tegenstrijdig .-------------In -De Elementen- representeerde Euclides (plusminus 400 voor Christus) de getallenm als lijnstukken , de optelling als aaneenschakeling van lijnstukken , de vermenigvuldiging als oppervlakte van een rechthoek , enzovoorts .------------Een daadwerkelijke reductie van de meetkunde tot de algebra kwam met --De Fundamenten van de Meetkunde-- van David Hilbert in 1899 . Hij definieerde een algebraisch model van de euclidische meetkunde op de nu nog gebruikelijke wijze : een rechte is de verzameling oplossingen van een eerstegraads vergelijking ; de afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd door middel van de stelling van Pythagoras ; en congruentie van figuren door middel van het begrip isometrie ( een lineaire transformatie die de afstanden ongewijzigd laat ) . Het gaat echter niet alleen om definities : men moet ook aantonen dat een isometrie niet alleen de afstanden behoudt maar ook de hoeken , en dat bewijs is helemaal niet triviaal---voor de hand liggend--. Vroeger of later moest men de consistentie van een of andere theorie toch direct moeten bewijzen , en wel met dermate elementaire methoden dat haar consistentie niet in twijfel getrokken kon worden .==================In 1900 vroeg het 2e wiskunde-probleem van David Hilbert (zie ook de pagina de 23 wiskunde-problemen van deze website) om een direct bewijs van de consistentie van de getaltheorie , hetzij van de reele hetzij van de gehele getallen . Een geheel onverwachte oplossing werd in 1931 gegeven door Kurt Godel , die bewees dat de consistentie van welke theorie dan ook , die de theorie van de gehele getallen omvat , niet bewezen kan worden binnen die theorie zelf . Aldus kan geen enkele zodanige theorie die consistent is , ook volledig zijn , in die zin dat ze alle wiskundige waarheden kan bewijzen die uit te drukken zijn in haar eigen taal . Een van die waarheden die ze niet kan bewijzen is juist haar eigen consistentie . Om deze reden wordt het resultaat van Godel de ONVOLLEDIGHEIDS-STELLING genoemd . ( zie voor ook het bewijs hiervan verder op de pagina -23 problemen van de wiskunde -probleem 1 en 2-van deze website )
  31. FUNCTIONAALANALYSE : VON NEUMANNS AXIOMATISERING VAN DE KWANTUMMECHANICA (1932) .-----------(Inleiding :) De problemen van de mathematische fysica leiden op een NATUURLIJKE MANIER tot differentiaal- of integraal-vergelijkingen waarin een onbekende functie voorkomt onder het symbool van de afgeleide of onder het integraalteken . Methoden voor de oplossing van differentiaalvergelijkingen werden al ontwikkeld vanaf het eind van de 17e eeuw eerst voor gewone en vervolgens voor partiele differentiaalvergelijkingen . Integraalvergelijkingen , die ingewikkelder zijn , begon men pas op te lossen in de eerste decennia van de 19e eeuw en de algemene theorie van integraalvergelijkingen werd zo van 1890-1900 door Vito Volterra opgezet en door David Hilbert (hij alweer) tot een voldragen theorie ontwikkeld zo van 1900-1910 . Deze ontwikkewling van de analyse laat zien dat men in de wiskunde vaak niet alleen werkt met functies die op getallen werken , maar met functionalen die op functies werken . Zoals een vergelijking impliciet een of meer getallen definieert , namelijk haar oplossingen , zo definieert op analoge wijze een differentiaal- of integraalvergelijking impliceert een of meer functies , en wel eveneens haar oplossingen . De hiervoor ontwikkelde theorie is de FUNCTIONAALANALYSE .------------------De natuurlijke omgeving voor de ontwikkeling van de reele (of complexe) analyse vormen de euclidische ruimten , waarvan de punten gedefinieerd worden met hun cartesische coordinaten . In zijn studie van de integraalvergelijkingen moest Hilbert werken met functies die uitgedrukt konden worden als een oneindige som ( Fourier-reeks genaamd ) , met oneindig veel coefficienten x-1 , x-2 , ......, en hij ontdekte dat de voorwaarde die het mogelijk maakte deze functies in zijn theorie te behandelen was , dat de som x-1-kwadraat + x-2-kwadraat + ..... eindig was . Daarom voerden in 1907 Schmidt en Frechet de Hilbertruimte H in .(zie hierboven ook ) . Schmidt en Frechet voerden ook direct een functieruimte L-2 in , waarvan de punten de functies zijn (gedefinieerd op een interval) die aan een analogon van de voorwaarde van Hilbert voldoen , en wel het feit dat de Lebesgue-integraal (zie hierboven ook ) van hun kwadraat eindig is  : vandaar de naam L-2 . Dat de Hilbert-ruimte H en de functieruimte L-2 in feite op hetzelfde neerkomen , is de inhoud van de zogenaamde representatiestelling van Friedrich Riesz en Ernst Fischer . De ruimten H en L-2 zijn beide speciale gevallen van een brede klasse van Banachruimten .-------------------( TOEPASSING OP DE KWANTUMMECHANICA :) De kwantummechanica was oorspronkelijk met zuiver zogenaamd heuristische motiveringen gemotiveerd in twee volledig verschillende , hoewel later equivalent gebleken , FORMALISMEN . Enerzijds met behulp van oneindige matrices van observabelen , door Werner Heisenberg in 1925 , die voor dit werk in 1932 de Nobelprijs ontving . Anderzijds met behulp van golffuncties , door Erwin Schrodinger in 1926 , die hiervoor in 1933 de Nobelprijs kreeg . (zie ook de subpagina kwantummechanica van de pagina onderwerpen Natuurkunde van deze website ). Al in de winter van 1926 had Hilbert , in de geest van zijn 6e probleem , zelf geprobeerd uit de twee formalismen een axiomatische formulering te extraheren , waaruit ze beide konden worden afgeleid . De theorie van de destributies die hiervoor nodig is , was echter nog niet ontwikkeld . Maar in 1927 herformuleerde Hilberts assistent John von Neumann de twee formalismen in termen van de ruimten H en L-2 , in het eerste geval krijgy men de versie van de kwantummechanica van Heisenberg , en in het tweede geval die van Schrodinger , en het bewijs van equivalentie van de twee is het gevolg van de representatiestelling van Riesz en Fischer . In de uiteindelijke formulering van von Neumann , in zijn klassieke werk "De wiskundige grondslagen van de Kwantummechanica" van 1932 , vormen de oneindig vele toestanden van een kwantumsysteem de coordinaten van een punt in een Hilbertruimte , en de fysische grootheden van het systeem (bijvoorbeeld plaats en impuls ) worden gerepresenteerd door specifieke functionalen ; of in de meer gebruikelijke terminologie , door specifieke operatoren . De fysica van de kwantummechanica wordt zo herleid tot de wiskunde van specifieke lineaire en zogenaamde Hermitische operatoren op Hilbertruimten . Het beroemde ONZEKERHEIDSPRINCIPE VAN HEISENBERG bijvoorbeeld , volgens hetwelk plaats en impuls van een deeltje niet gelijktijdig gemeten kunnen worden met willekeurige nauwkeurigheid , wordt vertaald in de NIET-COMMUTATIVITEIT van de twee corresponderende operatoren .-----------------------Gestimuleerd door deze fysische toepassingen werd de studie van de operatoren die de fysische grootheden van een systeem representeren een belangrijke tak van de moderne wiskunde , onder de naam van von Neumann algebra's . Deze algebra's zijn bijvoorbeeld algebra's van twee verzamelingen van operatoren waarvan de elementen van de eerste commuteren met de elementen van de tweede . Behalve deze factoren , van type I genaamd , zijn er andere typen : II en III . Een volledige classificatie van de factoren van type III is van Alain Connes die hiervoor in 1983 een Fieldsmedaille kreeg . En uit een studie van de factoren van type II heeft Vaughan Jones zijn knoopinvarianten afgeleid waarover wij later zullen spreken , en voor dit werk heeft ook hij een Fieldsmedaille gekregen , in 1990 .----------Wat de Banachruimten betreft , na een tijdelijk verval vanwege een lange reeks van schijnbaar onoverkomelijk moeilijke problemen ermee , kwam de wedergeboorte ervan in de jaren 1950 , toen de nieuwe methodologieen van de Franse school , van Laurant Schwartz tot Alexandre Grothendieck , Fieldsmedaille i9n 1950 en 1966 , tenslotte de oplossing van vele problemen mogelijk maakten . In de jaren vanaf 1990 beleeft het onderwerp "zijn derde jeugd" , met toekenning van de Fieldsmedaille , in verband ermee , aan Bourgain in 1994 en aan Gowers in 1998 . De eerste heeft van een Banachruimte de maximale sectie bepaald die op een Hilbertruimte lijkt . De tweede heeft bewezen dat de enige Banachruimte met veel symmetrie (dat wil zeggen isomorf met elk van zijn deelruimten) de Hilbertruimte is , en dat er Banachruimten bestaan met weinig symmetrie ( dat wil zeggen , isomorf aan geen enkele eigenlijke deelruimte ) .
  32. Euler heeft in 1746 bewezen dat     e-tot-de-macht-(i*x)  = cos x +  i *sin x   , waarin i de imaginaire variabel uit  -1  is (die hoewel niet reeel , toch  ""algebraisch""  is , want het is een oplossing van x-kwadraat + 1  =  0 ) , volgt daaruit dat ook   sin x  en  cos  x  "transcendent" zijn als  x   ""algebraisch""   is .----Een speciaal geval van het resultaat van Lindemann dat van bijzonder belang is , geldt voor  x = pi  ;  in dit geval leidt de vergelijking van Euler tot de formule    e-tot-de-macht-(i*pi)  = -1  .  De exponent  i*pi produceert dus een ""niet transcendente""  waarde van   e-tot-de-macht-x  , en uit de stelling van Lindemann volgt nu dat deze exponent ""niet algebraisch""  is , kan pi dat dus niet zijn . Het feit dat  pi  ""transcedent""  is , impliceert  in het bijzonder  dat  pi niet construeerbaar  is en dat het onmogelijk is een ander beroemd  "Grieks" probleem op te lossen dat twee millennia  ( in feite meer dan 2000 jaar , van de Griekse oudheid)  lang open was blijven staan :  de kwadratuur van de cirkel ( met ) passer en liniaal ) .
  33. EEN DAADFWERKELIJKE REDUCTIE VAN DE MEETKUNDE TOT DE ALGEBRA moest (echter) wachten tot"de "De Fundamenten van de Meetkunde"van Hilbert uit 1899 . Hij definieerde een algebraisch model van de euklidische meetkunde op de nog ongebruikelijke wijze : een punt van het vlak is een paar reele getallen ; een rechte is de verzameling oplossingen van een eerstegraads vergelijking -de afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd door middel van Pythagoras ; en congruentie van figuren door middel van het begrip isometrie ( een lineaire transformatie die de afstanden ongewijzigd laat ) . Het gaat echter niet alleen om definities ; men moet ook aantonen dat een isometrie niet alleen de afstanden behoudt maar ook niet alleen de afstanden behoudt maar ook de hoeken , en dat bewijs is niet triviaal .
  34. EEN STANDPUNT is ( maar dit is niet mijn standpunt erover ) , dat de wiskunde ""twee gezichten"" heeft : het eerste is zogenaamd "naar binnen" gekeerd , naar de menselijke wereld van ideeen en abstracties , en het tweede is zogenaamd "naar buiten" gekeerd , naar de fysische wereld van objecten en concrete zaken . Het "eerste gezicht"representeert de pure kant van de wiskunde , waarin de aandacht zich belangeloos concentreert op haar eigen activiteiten , om hun ware aard te leren kennen . Het "tweede gezicht" vormt de toegepaste kant , waarin de aandacht voor dezelfde entiteiten als doel heeft ze te kunnen toepassen op datgene waarvoor ze geschikt zijn .---------------------------------------------De toepassingen van de wiskunde hebben voortdurende op kenmerkende wijze een rol gespeeld in haar geschiedenis , vanaf de tijd van de oude Egyptenaren en de Babylonieers tot de Industriele Revolutie , en elke tak van de zogeheten Klassieke Wiskunde werd vanaf het begin gestimuleerd door PRAKTISCHE PROBLEMEN : BOEKHOUDIGE VOOR DE REKENKUNDE , LANDBOUWKUNDIGE VOOR DE MEETKUNDE EN FYSISCHE VOOR DE ANALYSE . Ook daarna werden deze gebieden voortdurend gestimuleerd vanuit pragmatische en utilarische motivaties , die ook hebben bijgedragen aan hun vaak weer nevenoplossingen voor de praktijk .De WISKUNDE VAN DE 20e EEUW  is hierop geen uitzondering en veel van haar nieuwe takken zijn eigenlijk ontstaan dankzij een externe stimulans om problemen op te lossen , die verbonden zijn met de studie van de reele wereld . Sommige van deze motivaties zijn afkomstig uit wetenschappelijke gebieden waarvan het nut reeds lang bevonden is , zoals de FYSICA .  --Deze inspireerde bijvoorbeeld , zo niet het ontstaan ( in feite het ontdekt worden van ) , dan toch zeker de groei van de TENSORCALCULUS , DE FUNCTIONAALANALYSE en de KNOPENTHEORIE , die ESSENTIEEL zijn , voor respectievelijk DE ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE , DE KWANTUMMECHANICA en DE SNARENTHEORIE .----Andere motivaties komen echter van gebieden die pas in de 20e eeuw wetenschappelijk zijn geworden , juist toen de ontdekking van adequate wiskundige instrumenten het mogelijk maakte een enkele van hun fundamentele problemen te behandelen en op te lossen . Typische voorbeelden zijn de ECONOMIE en de BIOLOGIE : om problemen van de eerste op te lossen zijn de speltheorie de theorie van HET ALGEMENE EVENWICHT en van DE OPTIMALISERING ontstaan ; en problemen van de biologie : om problemen van de eerste op te lossen zijn de speltheorie de theorie van HET ALGEMENE EVENWICHT en van DE OPTIMALISERING ontstaan ; en problemen van de biologie die lang als ontoegankelijk werden beschouwd , kan men vandaag aanpakken door middel van DE KNOPENTHEORIE . De wiskundige instrumenten die wezojuist aanstipten , en waarop wij uitvoeriger zullen terugkomen , vormen "hoogtepunten van technische verfijning".Maar dit is absoluut niet noodzakelijk wil een wiskundig onderwerp een groot effect hebben , als de afwezigheid daarvan maar gecompenseerd wordt door filosofische verfijning .Voordat we verder gaan willen we nu aantonen , met drie voorbeelden die de zojuist genoemde gebieden betreffen , hoe ook de meest elementaire wiskunde kan volstaan om belangrijke FUNDAMENTELE PROBLEMEN IN DE WETENSCHAP op te lossen , mits ze op een vernuftige manier gebruikt wordt .--Het eerste probleem betreft het begrip NATUURKUNDIGE (FYSIEKE ) WERKELIJKHEID , waarover TWIJFEL rees door de ONTDEKKING VAN DE KWANTUMMECHANICA , en meer in het bijzonder door de ONTDEKKING VAN DE SUBATOMAIRE VERSCHIJNSELEN IN TERMEN VAN GOLFFUNCTIES . Vanwege haar interpretatie-moeilijkheden stelde NIELS BOHR voor de theorie niet te beschouwen als een beschrijving van hypothetische fysische deeltjes , maar alleen van de uitkomsten van experimenten op de meetinstrumenten : volgens Bohr had het begrip realiteit , dat historisch gezien ontwikkeld was voor de beschrijving van de macroscopische wereld , geen betekenis op microscopisch niveau . Deze idealistische interpretatie van de nieuwe fysica ontmoette natuurlijk dienaangaande weerstand , in het bijzonder van de kant van Albert Einstein . ( Zie hierover ook  met name de subpagina  kwantummechanica van de pagina onderwerpen Natuurkunde van deze website ) .----------------ALBERT EINSTEIN BLEEF ZIJN HELE LEVEN VAN MENING DAT HET MOGELIJK ZOU ZIJN EEN REALISTISCHE BESCHRIJVING TE VINDEN VAN SUBATOMAIRE VERSCHIJNSELEN , WAARVAN DE KWANTUMMECHANICA SLECHTS EEN BENADERING ZOU BLIJKEN TE ZIJN . (Ik vind dat wij in principe hedentendage er nog steeds zo over moeten denken )--------- Hij stelde IN 1935 een beroemd GEDACHTE-EXPERIMENT voor , genoemd naar zijn bedenkers Einstein , Podolski en Rosen , dat  DE ""ZOGEHETEN"" ONVOLLEDIGHEID VAN DE KWANTUMMECHANICA ZOU AANTONEN . IN 1964 ontwikkeld John Bell een versie van dit experiment die men in de praktijk kon verifieren , en waarvan DE RESULTATEN ONVERWACHT waren . Het maakt gebruik van een lichtstraal die achtereenvolgens door twee polarisatiefilters gaat . De kwantummechanica voospelt en de waarneming bevestigt , dat als de lichtstraal eenmaal door het eerste filter is gegaan , de fractie van zijn fotonen die ook door het tweede filter gaat gelijk is aan cos2 (x) , waarin  alpha de hoek is tussen de polisaratierichtingen van de beide filters . Laten we nu bekijken wat er gebeurt wanneer elk van de twee filters hetzij verticaal staat , dan wel onder een hoek van  60 graden  , of van 120  graden  . Als beide filters dezelfde richting hebben , wat in 1/3 van de 9 mogelijke gevallen gebeurt , laat het tweede filter alle FOTONEN van de lichtstraal passeren die uit het eerste filter gekomen zijn . Als de twee filters daarentegen verschillende richtingen hebben , in de overige 2/3 van de gevallen , dan vormen deze steeds een onderlinge hoek van 60 graden , en het tweede filter laat dan  (1/2)-kwadraat = 1/4 van de fotonen door die uit het eerste gekomen zijn . Gemiddeld passeren dus maar 1/3 + 2/3 *1/4 = 1/2 van de fotonen  . WAT BELL ONTDEKTE is dat deze experimentele resultaten IN STRIJD ZIJN MET de hypothese dat de fotonen op realistische wijze beschouwd kunnen worden als deeltjes die bij de filters aankomen terwijl ze al in een bepaalde richting gerealiseerd zijn .Als dat namelijk zo zou zijn , zouden , wanneer de filters dezelfde richting hebben , dezelfde fotonen daadwerkelijk door beide filters passeren ! Maar als de filters elk in een willekeurige van de drie verschillende richtingen staan , dan zou dit FOTON deze ook moeten passeren wanneer men de twee richtingen onderling verwisselt , dat wil zeggen in nog twee gevallen .------Een simpele berekening met elementaire rekenkunde heeft dus aangetoond dat de HYPOTHESE van naief realisme IN STRIJD IS MET DE EXPERIMENTELE RESULTATEN . Meer verfijnde versies van de STELLING VAN BELL , die bevestigd zijn door de beroemde EXPERIMENTEN VAN ALAIN ASPECT , tonen aan dat , hoewel het mogelijk is de kwantummechanica realistisch te interpreteren .-- DIT NIET KAN GEBEUREN DOOR HET -WERKELIJKHEIDSBEGRIP INTACT TE LATEN DAT WE OP MACROSCOPISCH NIVEAU HANTEREN . -----In het bijzonder kan men NIET DOORGAAN TE VERONDERSTELLEN dat ruimtelijk gescheiden objecten niet "instantaan" kunnen integreren , en moet men derhalve  het bestaan "postuleren"van "holistische" verbanden , die geen deel uitmaken van de Westerse culturele bagage . ( dit zijn dus zaken die niet met de officiele wiskunde en natuurwetenschappen , zoals wij die ook bijvoorbeeld in ons land Nederland en bijvoorbeeld de ons omliggende landen in West-Europa met name , beoefenen , kunnen verklaren .).-------Ik meen dat we de natuurkundige werkelijkheid , hier de natuurkundige werkelijkheid op het zogenaamde submoleculaire grootte-niveau ( zie hierboven ook ) met de inzichten die we nou hebben met de theorie van de kwantummechanica , dus wat anders moeten  beschouwen , dus hebben te aanvaarden , dan dat we met de klassieke , dus Newtoniaanse , mechanica meenden te weten . ..(binnenkort meer )************------
  35. TENSORREKENING : De algemene relativiteitstheorie van Einstein ( 1915 ). ( Zie hierover ook op de subpagina de relativiteitstheorieen van de pagina onderwerpen Natuurkunde van deze website ) .----------------Het feit dat men lange tijd geloofde dat de aarde plat was ( tot hier in Europa , tot in de late middeleeuwen toe (plm. 1490) , maar sommige denkers al in de Griekse en latere Romeinse oudheid (plm. 550 v. Chr.-100 na Chr. beredeneerden zuiver theoretisch dat de aarde een bol is en sommige denkers uit die tijden , kwamen in die tijd al tot de conclusie , dus veel eerder dan Copernicus ( plm. 1540 na Chr. )en Galilei (plm. 1580 na Chr. ) , dat de aarde rond de zon draait en dus niet dat aarde het middelpunt van de wereld was en de maan , de zon , de planeten en de sterren en zo er om heen draaiden , wat in die tijden nog zeer veel werd "gedacht") , toont aan dat hoe groter de straal van een bol is , dus te kleiner zijn kromming is . Formeel wordt de kromming van een cirkel gedefinieerd als het omgekeerde van de straal . Voor gecompliceerde krommen werd de kromming door Newton in 1671 gedefinieerd , door in elk punt de kromme te beschouwen van de cirkel ( de osculerende cirkel genaamd ) die kromme in dat punt benadert .-----De kromming van een oppervlak werd gedefinieerd in 1827 , door in elk punt het produkt te beschouwen van de minimale en de maximale kromming van de krommen die men krijgt door het oppervlak in dat punt te doorsnijden met vlakken die loodrecht staan op het raakvlak in dat punt te doorsnijden met vlakken die loodrecht staan op het raakvlak . De bol bijvoorbeeld , heeft dezelfde vlakken die loodrecht staan op het raakvlak . De bol bijvoorbeeld , heeft dezelfde kromming als zijn grote cirkels , die vlakke doorsneden van de bol vormen ; en de cilinder heeft kromming nul , omdat een van de doorsneden gewoon een rechte is .Om de kromming van een oppervlak de kunnen BEREKENEN op de voorgaande wijze , is het echter noodzakelijk METINGEN buiten dat oppervlak te verrichten , waarbij men door de ruimte heen gaat , waarin het oppervlak bevat is .----------GAUSS ontdekte dat het ook mogelijk is de kromming te berekenen door middel van METINGEN die alleen op het oppervlak verricht worden , en in het bijzonder te bepalen dat de aarde rond is , zonder haar te hoeven bekijken vanuit de ruimte . GAUSS bewees verder een dermate bevredigend resultaat dat zelfs hij , welbekend om zijn veeleisendheid het de naam theorema egreegregiaum gaf : het FEIT namelijk , dat de oppervlakken die een intrinsieke geometrie bezitten , in die zin dat de figuren erop verplaatst kunnen worden zonder vervormingen te ondergaan , precies de oppervlakken zijn met een constante krommen . Het analogon van rechte lijnen , op deze oppervlakken zijn de zogenaamde geodeten , dat wil zeggen de kortste verbindingslijnen tussen twee punten . Op een bol bijvoorbeeld , zijn de geodeten de bogen van grote cirkels ; en op een cilinder zijn het de krommen die men verkrijgt door twee punten door een lijnstuk te verbinden nadat cilinder door een lijnstuk te verbinden nadat cilinder overlangs is door gesneden , en uitgespreid is op een plat vlak .-------In het vlak zijn de enige krommen met constante krommen de rechte lijn die kromming nul heeft , en de cirkel , die een positieve kromming heeft . Maar GAUSS ontdekte dat er ook oppervlakken zijn met een constante negatieve kromming : bijvoorbeeld de pseudobol , die verkregen wordt door een bepaalde kromme , tractrix genaamd , om haar asymptoot te draaien . Deze kromme krijgt men door langs een rechte te kopen en een gewicht mee te slepen aan een koord met een vaste lengte .---In 1854 breidde RIEMANN  HET BEGRIP KROMMING ook uit tot de naar hem genoemde varieteiten die niet altijd in de Euclidische ruimte ingebed kunnen worden . Hij bepaalde de meetkunde van de varieteiten met constante kromming : deze is Euclidisch als de kromming 0 is , elliptisch als de kromming positief is , en hyperbolisch als de kromming positief is , en hyperbolisch als de kromming negatief is . In het bijzonder vertegenwoordigt de pseudobol een model van een deel van het hyperbolische vlak niet ) . Juist toen hij bezig was dit partiele model uit te werken , verkreeg. Bertrani het eerste volledige model van het hyperbolische vlak waarover we al gesproken hebben .---Behalve als MODELLEN VAN WISKUNDIGE GEOMETRIEEN kunnen de Riemann varieteiten beschouwd worden als modellen van de ""fysieke wereld"" : de eerste die die mogelijkheid """opperde""" , was GAUSS : die geometrische METINGEN verrichtte om te bepalen of  de geometrie van het universum werkelijk Euclidisch was , zoals men altijd had gedacht of niet . De enige grootheden die geometrische relevantie bezitten zijn die , welke uitgedrukt kunnen worden op een manier die afhankelijk is van het coordnatensysteem , zoals DE AFSTAND . Hetzelfde geldt voor DE FYSISCHE WETTEN : omdat deze in het algemeen uitdrukt zijn IN DIFFERENTIELE VORM , was het voor de toepassing van de RIEMANNSE meetkunde op de fysica noodzakelijk EEN STUDIE te ondernemen , van de INVARIANTIE VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN met betrekkig tot veranderingen van coordinaten op Riemann varieteiten .--Het --INSTRUMENT-- dat met dit doel vanaf 1892 ontwikkeld werd door Gregow Ricco Curbastrie , werd TENSORCALCULUS genoemd . De TENSOREN waarom het gaat zijn grootheden , die zodanig getransformeerd worden dat hun componenten in een ander coordinatensysteem , waarbij de coefficienten gegeven worden door de afgeleiden van de transformatie . Ricci definieerde op TENSOREN zowel ALGEBRAISCHE ( optelling en vermenigvuldiging ) als DIFFERENTIELE ( covariantie afgeleide ) BEWERKINGEN , en maakte zo de uitbreiding tot RIEMANN-varieteiten mogelijk van het gehele analytische apparaat dat al voor het Euclidische geval was ontwikkeld .--In 1901 drukten Ricci en Tullio Levi Civita verscheidenefysische wetten in tensoriele vorm uit , en dus op invariante wijze met betrekking tot verandering van coordinaten . Maar de interessante toepassing kwam ALBERT EINSTEIN , die in 1915 in de TENSORCALCULUS het adequate instrument vond om zijn  ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE mee te beschrijven . De Riemann varieteiten die door Einstein werden gebruikt zijn 4-dimensionaal met 3 ruimtelijke dimensies en 1 tijdsdimensie . Om deze reden noemt men ze modellen van de zogeheten  RUIMTE-TIJD .------DE SPECIFIEKE VORM VAN DE VARIETEIT , EN IN HET BIJZONDER HAAR KROMMING , WORDT BEPAALD DOOR DE VERDELING VAN DE MATERIE IN HET UNIVERSUM , EN DE VRIJE LICHAMEN BEWEGEN IN DE VARIETEIT LANGS "GEODETEN" ,  """"""ÄLS ZWERFKEIEN DIE LANGS EEN HELLING ROLLEN VOLGENS LIJNEN VAN "DE MINSTE WEERSTAND"""""".-----------Let nou op :  ALS DE GRAVITATIE EENMAAL GEREDUCEERD IS TOT DE GEOMETRIE , LIGT HET VOOR DE HAND OOK VOOR DE ANDERE FYSISCHE KRACHTEN EEN SOORTGELIJKE REDUCTIE TE ZOEKEN .-----------
  36. De eerste formulering van een theorie die ook het ELEKTROMAGNETISME omvatte werd in 1915 gevonden door de wiskundige David Hilbert . Hij leidde op ""ëlegante"" ('smaken verschillen') wijze niet alleen de Maxwell-vergelijkingen maar ook de vergelijkingen van eisen die hij geformuleerd had in zijn 6e  probleem ( zie ook de pagina de 23 wiskundige problemen van Hilbert , op deze website ) dat de vraag behelsde naar EEN AXIOMATISERING VAN DE FYSICA .---Een andere poging in 1918 ondernomen door Hermann Weijl die zowel DE GRAVITATIE ALS HET ELEKTROMAGNETISME BESCHREEF door een 4-dimensionale affiene ( dus niet-Riemanniaanse ) varieteit te gebruiken , in plaats van een metrische ( Riemanniaanse ) . Terwijl in een dergelijke varieteit evenwijdigheid onafhankelijk is van het coordinatensysteem , geldt dat niet voor de afstand . Dit vereist een NIEUWE DEFINITIE VAN GEODETEN . gezien het feit dat deze niet meer gedefinieerd kunnen worden als lijnen van korte afstand . Zo'n vereiste was al geformuleerd in het 4e probleem van Hilbert dat juist om een algemene behandeling van het begrip geodeet vroeg . Levi Civita loste dit in 1917 op door de geodeten te definieren als de krommen door de geodeten te definieren als de krommen waarvan de raaklijnen alle onderling evenwijdig zijn .-----Hoewel de theorie van Weijl (evenals die van Hilbert ) niet  ""bevredigend"" gebleken is voor de NATUURKUNDE (FYSICA) , vormde ze het uitgangspunt voor de studie van de niet-Riemanniaanse varieteiten in de MEETKUNDE . Een ""bevredigende"" gemeenschappelijke behandeling van de GRAVITATIE-EN=DE ELEKTROMAGNETISCHE VELDEN IS NOG ALTIJD EEN OPEN PROBLEEM EN MAAKT ONDERDEEL UIT VAN HET ALGEMENE PROBLEEM VAN ALLE KRACHTEN IN EEN THEORIE VAN ALLES . ( zie hierover ook onder andere op de pagina -onderwerpen Natuurkunde van deze website .===
  37. COMPLEXE GETALLEN. In de lineaire algebra wordt er gerekend met vectoren (zie boven) Zo heb je bijvoorbeeld 2-dimensionale vectoren . Dit zijn combinaties van twee reele getallen , getallen-paren , waarmee je kunt rekenen . Zo kun je ze bij elkaar optellen , aftrekken , met een scalar getal vermenigvuldigen. Met elkaar vermenigvuldigen en delen van vectoren is een ander verhaal . Wel heb je het zogenaamde inwendige en ook het uitwendige product . (zie boven ook ) . Complexe getallen zijn ook combinaties van twee getallen , nou een zogenaamd reeel en een zogenaamd imaginair deel . Zo'n complex getal wordt in het algemeen genoteerd als a +b*i , waar a het reele deel is en b het imaginaire deel en i zodanig is dat i*i = -1 . De optelling is nou alsvolgt gedefinieerd : ( a , b*i) + (c, d*i) = (a+b , (b d)*i ) en voor de vermenigvuldiging geldt :.(a ,b*i) * (c,d*i) = a*c + b*i*c + a*d*i + b*d *i*i  = ( met i*i = -1)   (a*c-b*d , (b*c + a*d)*i ) .Deze complexe getallen worden gebruikt/toegepast in verschillende onderdelen van de techniek en de natuurkunde , onder andere in de wisselstroom-techniek van de elektrotechniek en in de kwantummechanica . (Binnenkort meer hierover op de pagina Natuurkunde en op de subpagina kwantummechanica van de pagina Natuurkunde van deze website.). Zo heb je    e^i*theta  in deze toepassingen . ( ^ betekent tot-de-macht) . Omdat je in het algemeen e-tot-de-macht een getal in een oneindige reeks kunt ontwikkelen , kan e tot-de-macht i*teta zo ook in een oneindige reeks ontwikkeld worden . Gebruikmakend van   i*i = -1 , kun je deze reeks ontwikkelen als de som van een reeel deel en een imaginair deel . Het reele deel blijkt gelijk te zijn aan sin (theta)  en het imaginaire deel aan i*cos (theta) .We krijgen dus : e^i*theta  =  sin(theta)  +  i*cos(theta)  .(binnenkort meer hierover)
  38. *****************************************************************-*****************************************************************-
  39. *****************************************************************-
  40. PUBLICATIE OVER ONDERWERPEN UIT DE FUNCTIONAAL-ANALYSE , IN HET BIJZONDER OVER EIGENWAARDEN , HET SPECTRUM VAN EEN OPERATOR EN DE TOEPASSINGEN ERVAN IN DE KWANTUMMECHANICA.-----------------(vanaf 5 december 2016) .------------------------------------------------------------------------------Eerst : een serieuze beschouwing van alle operators die in oneindig-dimensionale ruimten "optreden" moet beginnen met de precieze specificatie van de ruimten en hun normen . Nou volgen de definities en eigenschappen van de L-p -ruimten die gebruikt zullen worden voor veel toepassingen.--------------------------(i) We definieren een maat-ruimte tripel  ( X , E , mu ) , bestaande uit een verzameling X , een sigma-veld E van""meetbare""  deelverzamelingen van X , en een niet-negatieve aftelbare additatieve maat mu op E . Meestal zullen wij de maat noteren als dx . ( ii) We zullen altijd aannemen dat de maat mu sigma-eindig is , in de betekenis dat er een stijgende ("toenemende") reeks van "meetbare" deelverzamelingen X-n is met eindige maten en vereniging gelijk aan X .  (iii) We nemen aan dat iedere X-n voorzien is met een eindige partitie . En door welke we een reeks van disjuncte meetbare deelverzamelingen { E-1 , E-2 , E-m(n) } , van welke iedere een positieve maat I E-r I : = mu ( E-r ) .De vereniging van de deelverzamelingen E-r moet gelijk aan X-n zijn .   (iv) We nemen aan dat de partitie  E-n+1  fijner dan E-n voor iedere n , in de betekenis dat elke verzameling in E-n de vereniging van een of meer verzamelingen in E-n+1  is . ( v) We definieren L-n de lineaire ruimte van alle functies f : = E m(n)  r = 1  alpha-r *X-r , waar X-r de karakterestieke functie verbeeldt van een verzameling E-r behoort tot E-n . Voorwaarde (iv) is dan equivalent tot L-n behoort tot of is gelijk aan L-n+1 voor alle n . (vi) We nemen dat het sigma-veld  E aftelbaar is gegenereerd in de betekenis dat het gegenereerd is door de totaalheid van alle verzamelingen in alle pariteiten E-n . (vii) Als 1 kleiner of gelijk p kleiner dan oneindig dan denoteert de expressie  L-p (X , dx) , of meer  L-p(X)  , de ruimte van alle meetbare functies f : X --> C  zodat !(f!!-p := { de integraal-X !f(x)!-p dx }^1/p  kleiner dan oneindig , twee functies geidentificeerd als zijnde bijna overal gelijk . Als f,g behoort tot L-p(X,dx) en alpha , beta behoren tot C , de puntsgewijze ongelijkheid ! alpha f(x) + beta g(x)!-p kleiner of gelijk 2^p !alpha!^p !f(x)!^p + 2^p!beta!^p!g(x)!^p  , houdt in dat L-p (X,dx) een vectorruimte is . Wij bewijzen dat !!.!! een norm is in Stelling 1 . Voorwaarde (vi) is equivalent met Vn>= L-n dicht in L-p(X,dx) , voor alle 1 <= p < oneindig . Het volgt eruit dat  L-p (X,dx) separabel is in de zin van bevattende een aftelbare dicht-in verzameling .---  (viii)  Als X een eindige , of aftelbare verzameling is , l-p (X) refereert dan aan de ruimte-p (X , dx) , nemende E te bestaan uit alle deelverzamelingen van X en de maat die de tellende maat is ., (ix ) Als f:X --> (een meetbare functie is , definieren wij zijn support met supp (f) : = { x : f(x) is niet gelijk aan 0 } . Dit is slechts gedefinieerd met modificatie met een nul-verzameling , dat is een verzameling met maat 0 ., =====Lemma 1 ( De Holder-ongelijkheid)..Als 1 < = p < oneindig en q de conjuncte index in de betekenis is dat 1/p + 1/q = 1 , dan fg behoort tot L-1 (X , dx ) voor alle f behoort tot L-p (X, dx) en g behoort tot L-q ( X, dx) , en ! < f,g > ! < =  !! f !!-p !! g!!-q ..Bewijs . De gevallen p = 1 en p = oneindig zijn elementair , zodat we 1 < p< oneindig aannemen . Gegeven f behoort tot  L-p en g behoort tot L-q , beschouwen wij log-convex functie  phi (s) : = de integraal-X van !f(x)!-s p ! g(x) ! (1-s)q dx .   Zet s : = 1/p  dan 1-s =  1/q en phi (1/p) < = phi (0) ^(1/q) phi (1)^(1/p) . Dit heeft de --gevraagde-- ongelijkheid direct tot gevolg........, Stelling 1...Als 1 <= p , < = oneindig dan is de hoeveelheid !! . !!-p een NORM op L-p , en maakt het een Banach ruimte . Als f-r behoort tot L-p (X , dx )  en E oneindig- r = 1 !! f-r !!-p < oneindig , dan convergeren de partiele sommen s-n : = E n tot r=1 f-r in de L-p -norm en bijna overal tot dezelfde limiet ....Bewijs.. Men kan nagaan dat !!.!!-p aan alle axioma's voldoet voor een norm door de identiteit !!f!!-p = sup { !< f,g > ! : !! g !!-q <= } te gebruiken , die bewezen is met de hulp van Lemma 2.16 (zie hierboven ) . Het supremum wordt bereikt g: = f/ f ! p-2 !! f !! 1-p !! f !!1-p -p . We bewijzen volledigheid en het eindige "statement" van de samen , gebruikmakende van Problem 1.11 . Als f-n voldoet aan de vastgestelde voorwaarden en als we g-n : = r=1 SIGMA n ! f-r! zetten ,  dan is g-n een monotoon stijgende reeks en !!g-n!!-p  <= r=1 SIGMA oneindig !!f-x!!-p < oneindig voor alle n . Door de monotone convergentie stelling op g-n-p toe te passen , komen wij tot de conclusie dat g-n bijna altijd convergeert tot een eindige limiet . Dit heeft tot gevolg met een "domination"  argument dat s-n bijna overal convergeert naar een eindige limiet , die we s noemen . Gegeven epsilon >  0 , dan heeft Fatous Lemma tot gevolg dat !! s-s-n!!-p <= lim  n--> oneindig inf !! s-m - s-n!!-p < epsilon voor alle groot genoege n . Dientengevolge ......en nog meer )
  41. Definitie van een genormeerde ruimte . Een genormeerde ruimte is een vectorruimte B (aangenomen over het complexe veld C) , met een norm ||.|| , die voldoet aan ||f|| => 0 . ||f||=0 impliceert f=0 , ||alpha f|| = |alpha|||f|| , ||f+g|| <= ||f||+||g|| , voor alle alpha behorend tot C en alle  f,g behorend tot B . Een Banach-ruimte is gedefinieerd als een genormeerde ruimte B , die volledig is in de zin dat iedere C a u c h y-r ij in B naar een limiet in B convergeert.
  42. Definitie van een Hilbertruimte . We zeggen dat H een Hilbertruimte is , als het een Banachruimte is , met respect tot een norm , geassocieerd met een inwendig product f,g -> <f,g> , volgens de formule ||f|| := sqrt(<f,g>)  . We nemen altijd aan dat een inwendig product l i n e a i r is in de eerste variabele en conjugate lineair in de tweede variabele . Een rij {phi-n}oneindig n=1 in een Hilbertruimte H heet een orthonormale rij , als <phi-m,phi-n> = { 1 als m=n =0 in alle andere gevallen.
  43. Definitie van een begrensde lineaire operator. Een begrensde lineaire operator A : B -> C tussen twee Banachruimten is gedefinieerd als de lineaire afbeelding waarvan de norm ||A|| := sup {||Af|| : ||f||<=1} eindig is.
  44. De verzameling L(B) van alle operatoren van B naar zichzelf is een algebra , de vermenigvuldiging gedefinieerd door (AB)(f) := A(B(f))  voor alle f behorend tot B . In feite wordt L(B) een Banachalgebra genoemd , in geval het een Banachruimte is en een algebra die voldoet aan ||AB|| <= ||A|| ||B|| voor alle A ,B behorend tot L(B).
  45. Definitie van de resolvent verzameling , het spectrum en een eigenwaarde van een operator. Laat A een associatieve algebra zijn over het complexe veld met eenheidselement e . Het getal lambda behorend tot C heet in de resolvent verzameling te liggen van a behoort tot A als lambda e - a een inverse in A heeft. We noemen R(lambda , a) : = (lambda e - a)^(-1) de resolvent operators van a . Het spectrum Spec(a) van a is gedefinieerd als het complement van de resolvent verzameling. Lambda is een eigenwaarde van A , als Af = lambda*I voor een niet-nul f behorend tot B.
  46. Definitie van een L-p ruimte. Definitie. Als 1 <= p <= oneindig , duidt de uitdrukking L-p (X,dx) , of L-p (X) , de ruimte aan van alle m e e t b a r e functies f : X -> C , zodat ||f||-p : = { |-X |f(x)-p dx}^(1/p) < oneindig .
  47. Lemma over compacte verzamelingen . (binnenkort meer). 
  48. ......( binnenkort meer ) . 
  49. (Hier een publicatie in verband met DE STELLING VAN PYTHAGORAS ). De stelling van Pythagoras zelf, minstens vijf verschillende bewijzen van de stelling van Pythagoras, iets over Pythagoras zelf , die leefde plusminus 500 voor Christus in het oude Griekenland en er een hele academie, de school van Pythagoras, op na hield, waar niet alleen de wiskunde, de filosofie en de sterrenkunde beoefend werden , maar die ook een strenge, besloten gemeenschap was met strenge, sektarische, regels hoe er geleefd moest worden en waar toe niet iedereen werd toegelaten. De vestiging van de wiskunde als theoretische wetenschap wordt toegeschreven aan Pythagoras en zijn volgelingen in de 5e eeuw voor Christus. En ook over de geschiedenis van de wetenschap voorafgaande en in de tijd van Pythagoras en de gevolgen en toepassingen van de stelling van Pythagoras , onder meer het getal : de wortel uit 2.-----------De stelling van Pythagoras : de som van de kwadraten van de beide rechthoekzijden van een rechthoekige driehoek (dat is een driehoek waarvan 1 hoek 90 graden is) is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Je kunt de stelling van Pythagoras ook zo formuleren : wanneer de som van de kwadraten van de twee kortere zijden van een driehoek gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, is het een rechthoekige driehoek met de rechte hoek (dat is de hoek van 90 graden) tegenover de langste zijde, de schuine zijde , ook wel hypothenusa genoemd. ----------( Diverse bewijzen van de stelling van Pythagoras in item-50 hieronder ). ---GESCHIEDENIS.Pythagoras leefde in het oude Griekenland en was omstreeks 570 voor Christus geboren. Vast staat dat Pythagoras in zijn jeugd vele reizen maakte en zou, waar we niet zeker van zijn , zijn tijdgenoot en grote geleerde, Thales van Milete (zie over hem : ook op de pagina's  de Filosofen en inleiding Filosofie van deze website over hem) persoonlijk ontmoet hebben. Thales, die voor velen de grondlegger van de wetenschap is en Pythagoras'   passie voor wiskunde en filosofie aanleerde. Hoewel het principe van de stelling van Pythagoras al enkele duizende jaren eerder bekend was, bij diverse volkeren , zoals de Mesopotaniers, de oude Egyptenaren , de oude Chinezen en de oude bewoners van het huidige India, was Pythagoras de eerste met een doorslaggevend bewijs van de stelling. Pythagoras is mogelijk ook de ontdekker van het verband tussen de vershillende snaarlengten en muzikale toonhoogten. Pythagoras experimenteerde met klokken en glazen water en onderzocht de trillingen van snaren en ontdekte een verband : de toonhoogte van een geluid van een snaar is omgekeerd evenredig aan haar lengte. HET WAS HET EERSTE NATUURVERSCHIJNSEL DAT ZOU WORDEN BESCHREVEN IN TERMEN VAN EEN EXACTE KWANTITATIEVE EXPRESSIE, MET ANDERE WOORDEN, DE FYSIEKE WERELD OMGEZET NAAR GETALLEN. --Aan de muziekale orde leidde Pythagoras af, dat numerieke verhoudingen , zoals in de muziek, in het gehele heelal moesten plaatsvinden. Hij noemde dat zelf DE KOSMOS, wat "orde"betekent.-------------------De stelling van Pythagoras is sedert plusminus 2700 jaar bekend. De stelling van Pythagoras werd voor het eerst in detail besproken in het boek over meetkunde , Elementen van Meetkunde, geschreven door de Griekse geleerde Euclides, plusminus  300 voor Christus. Specefieke versies van de stelling (zoals 5^2 = 3^2 + 4^2) waren echter al vele jaren eerder bekend in Babylon en Egypte, al reeds enige duizenden jaren voor Christus . (Vanaf de rivieren Eufraat en Tigris , in het huidige Irak tot de bergen van Libanon, lag Mesopothamie, wat tweestromenland betekent , het land van de Soemeriers, het Akkadische Rijk en de Babyloniers). Ook de eeuwenoude Chinese en Hindoe-culturen uit India hadden die meetkundige eigenschap al vroeg ontdekt. Uit oudere tijden dan het oude Griekenland, uit het zogeheten Midden-koninkrijk (in het oude Egypte)komt : De oppervlakte van een vierkant is 100 eenheden en gelijk aan die van twee kleinere vierkanten samen. De zijde van een vierkant is 1/2 + 1/4 van de zijde van het andere eenheden. Bepaal de zijden van de vierkanten In moderne algebraische taal : het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden :  x^2 + y^2 = 100  en  y = (1/2 + 1/4 )*x  , waarbij een vierkantswortel moet worden berekend. ( met  ^ is tot-de-macht  en * is het vermenigvuldig-teken). Dit zou ook kunnen worden gezien als een pytagorische aanpak, op welke aanpak ook het oudste bewijs van de stelling van Pythagoras is gebaseerd (zie item-50 , hieronder). Bij de oude Mesopothaniers en Egyptenaren (en bij bevoorbeeld de oude Chinezen en Indiers) waren ook bekend de zogeheten pythagorische getallen, bijvoorbeeld  :   3^2 + 4^2 = 5^2  en 5^2 + 12^2  = 13^2  en 12^2  +  16^2  =  20^2 . Er was ook bekend dus , dat, als van een rechthoekige driehoek de ene rechthoekzijde 3 is en de andere rechthoekzijde   4 dan is de schuine zijde  5 , want 3^2 + 4^2 = 5^2   .  Hoe weten wij dit ? (De boekdrukkunst was in die oude tijden nog lang niet uitgevonden). Door de vondst van (vele honderdduizenden) oude geschriften , op steen , op kleitabletten van de oude Mesopothaniers en Babyloniers in spijkerschrift en op papyrusrollen van de oude Egyptenaren in hierochlieven. Enige honderden van die geschriften gingen over wiskunde, vaak geillustreerd met meetkundige figuren, waarover hier meer. (Op kleitabletten, in het spijkerschrift, geillustreerd met wiskundige figuren, Bij benadering plm. 1800-1600 voor Christus , een kleitablet die een tabel toont met 4 kolommen, getallen in het Babylonische getallenstelsel met grondtal 60. Het blijken zogeheten pythagorische drietallen, positief gehele getallen  a,b,c met a^2 + b^2 = c^2 . Hieruit blijkt dat de Babyloniers bekend waren met meetkundige en algebraïsche rekenvoorschriften. Op papyrrusrollen met hieroglyven uit het oude Egypte (plm. 3500-plm.500 voor Christus, plm. 1200 kilometer ten zuidwesten van Mesopothamie. Enige tientallen papyrrusrollen , met de numerieke waarden van pi, de gulden snede en de ordening van planeten en sterren . Rond 1650 voor Chr. : Rhind -papyrus met 87 problemen over getallen en hun functies, breuken, lineaire vergelijkingen, reeksen en verdelingen. Moskou-papyrrus (plm. 1890 voor Chr.) met 25 wiskundige problemen met berekeningen ook van de inhoud van een piramide met de stelling van Pythagoras , zonder bewijs ervan. Op steen : in Egypte ontdekte een van de soldaten van Napoleon de steen van Rosetta , met teksten in oud-Grieks en Egyptisch als ook dezelfde teksten in hieroglyfen, waardoor men deze leerde te vertalen.). Uit deze oude tijden stammen in verband met de stelling van Pythagoras, in verband met de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek , waar de rechthoekzijden de lengte 1 hebben , de schuine zijde dus lengte wortel-2 , het getal wortel-2  (sqrt (2)), zie item-51 over sqrt(2). ook uit de oudheid het getal pi, een oneindige breuk , ongeveer 3,14 , dat is de verhouding tussen de otrek en de diameter van een cirkel . dan heb je ook nog de gulden snede, gelijk aan  (1 + sqrt(5))/2  en het getal van Euler , e , het grondtal van de natuurlijke logaritme, een oneindige breuk ook, ongeveer 2,71.
  50.  ZES BEWIJZEN EN NOG MEER VAN DE STELLING VAN PYTHAGORAS.------1) Het oude Chinese bewijs van de stelling van Pythagoras. In China heet de stelling :     Kon Ku. In de Chinese verhandeling over wiskunde ,"Chou Pei Suan Ching" (letterlijke vertaling ongeveer : De rekenkundige klassieker van de zonnewijzer en de ronde paden van de hemel), uit de derde eeuw voor Christus, staat ondermeer een tekening, op een soort ruitjes-papier, die laat zien dat de oppervlakte van het grote vierkant, dat schuin in de tekening staat en zijde 5 heeft, gelijk is aan de som van twee kleinere vierkanten met zijden 3 en 4. Jaren later bewezen de wiskundigen Chao Ching Ching en Liu Hui het resultaat voor een willekeurige rechthoekige driehoek .2) Het bewijs van Euclides , de oude Griek, die leefde in Alexandrie , in het huidige Egypte, plusminus 300 voor Christus. 3)De stelling van Pythagoras , bewezen "in een Arabisch mozaiek" . Dit wordt toegeschreven aan Annairizi van Arabie, plusminus  900 voor Christus. 4) De stelling van Pythagoras, zoals gezien door de Britse wiskundige Henny Perigal , in 1873. 5) Een bewijs van de president van de Verenigde Staten, James Abram Garfield (1831-1881), voordat hij de (20e) president werd.  6) De stelling van Pythagoras met Leonardo da Vinci (Italie, 1452-1519).-----------------------------------------------------------------------------------Als je er een grafische voorstelling van maakt , zijn al deze bewijzen er op gebaseerd dat je een groot vierkant hebt , waarvan de oppervlakte gelijk is , van de som van de oppervlakten van 2 kleinere vierkanten , wat je meetkundig moet bewijzen. Waar een zijde van het ene kleinere vierkant dan de lengte van een rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek is en een zijde van het andere kleine vierkant de lengte van de andere rechthoekzijde , is dan de lengte van een zijde van het grote vierkant, de lengtte van de schuine zijde, de hypothenusa, van de rechthoekige driehoek. De oude Chinezen (bewijs 1)) deden het met  twee in het grote vierkant ingeschreven kleinere vierkanten. In de linker bovenhoek van een groot vierkant  teken je een kleiner vierkant (met zijden a) en hierop aansluitend het andere kleinere vierkant (met zijden b) , in de rechter benedenhoek van het grote vierkant , zodanig dat de rechts-onder-hoekpunt van de links-boven kleinere vierkant samenvalt met de links-boven-hoekpunt van de rechtsbeneden kleinere vierkant. Teken nu een rechte lijn, in de rechthoek links beneden in het grote vierkant , van het hoekpunt linksboven ervan naar het hoekpunt rechtsbeneden ervan en teken ook een rechte lijn in de rechthoek rechtsboven in het grote vierkant vanuit het rechtsboven hoekpunt van deze rechthoek naar het linksbeneden hoekpunt ervan. Verplaats nu de schuine lijn in de rechtsboven-rechthoek recht naar beneden , zodat deze lijn komt te lopen van het linksbeneden-hoekpunt van het kleinere vierkant rechtsbeneden , naar een punt op de rechter zijkant van het grote vierkant en verplaats nu dezelfde schuine lijn, vanuit zijn oude, oorspronkelijke positie in de rechthoek-rechts-boven ook recht naar links , zodanig ,dat de links0nder-onderkant van die lijn samenvalt met de linker-beneden-hoekpunt van het vierkant links -boven en het rechts-boven-uiteinde van de lijn , uitkomt op een punt van de bovenzijde van het grote vierkant. Verplaats tenslotte de rechte lijn die in de links-beneden -rechthoek loopt van het hoekpunt daarvan rechtsboven naar het rechts-beneden-hoekpunt ervan , parallel aan zijn oorspronkelijke positie naar rechtsboven in het grote vierkant , zodanig dat de schuine lijn nou gaat lopen van een punt op de bovenzijde van het grote vierkant naar een punt op de rechterzijde van het grote vierkant. Het blijkt nou, wat je eenvoudig kunt aantonen, dat de oorspronkelijke rechte lijn , in het rechthoek links-beneden en die lijn verplaats naar rechtsboven in het grote vierkant , samen met de twee lijnen die het resultaat zijn van de eerdere twee verplaatsingen van de lijn in de rechthoek rechts-beneden , precies vier lijnstukken vormen , die even lang zijn (zeg met lengte c) en precies een vierkant vormen , schuin binnen het grote vierkant , met zijn vier hoeken op de vier zijden van het grote vierkant. Met dat de oppervlakte van een vierkant met zijden x is x^2 en de oppervlakte van een rechthoek met zijden x en y  is x*y en een diagonaal in een rechthoek verdeelt die rechthoek in twee helften met gelijke oppervlakten ( twee driehoeken) kun je aantonen , dat voor de lengte van de zijden , van het nieuwe ingeschreven vierkant, c , geldt  :  c^2  =  a^2  +  b^2  , waarbij a tevens de lengte van twee van de zijden van de genoemde rechthoeken is en b de lengte van de andere twee zijden ervan en dat de lengte van beide lijnen door jou getrokken in beide (even grote) rechthoeken, van het ene naar het andere hoekpunt , en aldus de lengte van de schuine zijde van de zo ontstane rechthoekige driehoek met rechthoekzijden a en b     c  is.*********                   -------------Euclides leefde in Alexandrie (in het huidige Egypte) rond 300 voor Christus. Hij is auteur van de Elementen van de Meetkunde, waarin hij alle meetkundige kennis van die tijd met elegante striktheid presenteert, alle belangrijke eigenschappen (stellingen) uit definities, postulaten en axioma's logisch afleidend . het boek is tot op de dag van vandaag het fundamentele referentiepunt voor het leren van meetkunde. Met, onderverdeeld in volumes, de elementaire vlakke meetkunde en het behandelen van congruentie van driehoeken, de gelijkheid van oppervlakten en natuurlijk de stelling van  Pythagoras. ook de gulden snede, de cirkel, de regelmatige veelhoeken en enkele kwadraturen (constructies met vierkanten). Bewijs 2) Euclides'bewijs van de stelling van Pythagoras. Grafisch voorgesteld : teken twee vierkanten , van in principe verschillende grote schuin , zodanig naast elkaar ,de beide vierkanten zodanig schuin, dat de bovenpunten van ieder vierkant precies recht boven ieder vierkant zijn benedenpunt liggen en de rechter hoekpunt van het linker. vierkant samenvalt met het linkerhoekpunt van het rechter vierkant. Trek nu het lijnstuk dat beide onderpunten van de twee vierkanten verbindt; noem de lengte hiervan c. Verleng nu de links-boven zijde van het linker vierkant naar rechtsboven en verleng de rechtboven zijde van het rechter vierkant naar links-boven beide verlengde lijnen tot op het punt waar beide elkaar snijden. Er is nu aan de bovenkant van de twee vierkanten een rechthoek gekomen. trek nu vanaf het kleinste vierkant , vanuit zijn beneden hoekpunt een lijn loodrecht naar boven, tot die op de buitenste lange zijde van de nieuw gevormde rechthoek komt. Trek nu van het beneden hoekpunt van het grote vierkant een lijn recht naar boven , tot die lijn op de rechts-boven-zijde van dat vierkant komt. Trek ook een lijn , recht naar boven en recht naar beneden , vanuit het punt waar het linker hoekpunt van het rechter vierkant samenvalt met het rechter hoekpunt van het linker vierkant, tot een stuk beneden het hierboven gemaakte lijnstuk met lengte c. Construeer vervolgens een nieuw vierkant met boven zijde het hierboven getekende verbindingslijnstuk met lengte c , met iedere zijde dus lengte c , onderaan dat lijnstuk. Het is nu aan te tonen , meetkundig , dat het lijnstuk recht naar boven vanuit het gemeenschappelijke hoekpunt van de eerste twee vierkanten ( de twee kleinere) precies uitpunt op de rechts-boven hoekpunt van de daarboven , hierboven, gevormde rechthoek. Het is nou, ook meetkundig te bewijzen dat de oppervlakte van de nieuwe driehoek   c^2   gelijk is aan de som van de oppervlakten van de twee kleinere driehoeken  a^2  +  b^2   . Daar beide twee , eerste, de twee kleinere, vierkanten zodanig geplaatst zijn , dat de driehoek gevormde door de rechter-onder zijde van het linker vierkant en de links-onder zijde van het rechter vierkant samen met het lijnstuk met lengte c dat de verbinding vormt tussen beide beneden-hoekpunten van die twee vierkanten, een rechthoekige driehoek is met rechthoekzijden met lengte a en b en je kunt bewijzen meetkundig dat de oppervlakte van het nieuwe grootste vierkant c^2 gelijk is aan de som van de oppervlakten a^2 en b^2 van de twee kleinere vierkanten ,is de stelling van Pythagoras bewezen. -----------De stelling van Pythagoras "In een Arabisch Mozaïek" (wordt toegeschreven aan Annairizo van Arabie, plm. 900 voor Christus).(voorlopige versie)Grafische weergave : teken de rechthoekige driehoek, met de langste rechthoekzijde recht naar boven, de kortste rechthoekzijde vanuit het hoekpunt beneden, horizontaal naar rechts en voltooi het vierkant aan de schuine zijde en de twee kleinere vierkanten aan beide rechthoekzijden. Nu te bewijzen dat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan de som van de oppervlakten van de twee kleinere vierkanten. Trek de volgende 6 hulplijnen : 1) verleng de bovenste, linksboven, zijde van het grote vierkant naar links beneden, in het ene kleinere vierkant naar die zijn zijde en 2) trek een lijn van het rechts-beneden hoekpunt van het onderste vierkant, parallel aan de schuine zijde, naar de zijkant van dit vierkant en 3) van daar uit  loodrecht hierop een lijn naar de horizontale rechthoekzijde van de driehoek en 4) trek een lijn, vanuit het rechtse hoekpunt van het grote vierkant horizontaal naar links naar de overliggende vierkantzijde en 5) van het linksbeneden hoekpunt van het grote vierkant een loodlijn (met een hoek van 90 graden) op deze lijn , evenals 6) vanuit het rechtsboven hoekpunt van het grote vierkant , ook een loodlijn op de lijn hierin vanuit het rechter hoekpunt. Met elementaire meetkunde is het gevraagde te bewijzen.---------De stelling van Pythagoras zoals gezien door Henry Penigal (Brits wiskundige, uit 1873)(binnenkort meer).--------------Een bewijs van de president van de Verenigde Staten. (In 1876, ontdekte en publiceerde James Abram Garfield (1831-1881) , voordat hij de (20e) president van de Verenigde Staten werd) een oorspronkelijk bewijs van de stelling van Pythagoras. Oppervlakte van een trapezium met basis a + b , linker staande zijde b , rechterstaande zijde a en van het punt op de basis van het trapezium, a rechts van het linker hoek punt, en dus b links van het rechterhoekpunt 2 verbindingslijnen naar het ene en andere bovenhoekpunt van het trapezium, beide dus met lengte c en verbindt deze twee hoekpunten. De oppervlakte van het trapezium = oppervlakte van de driehoek met 2 zijden c + de 2 oppervlakten van beide andere (ook rechthoekige) driehoeken met zijden a, b en schuine zijde c = 1/2*(a+b)*(a+b)   =  1/2*a*b  + 1/2*a*b + 1/2*c*c  ;  1/2 (a^2 + 2*a*b + b^2) = 1/2 (a*b + a*b + c^2)  en dat geeft  a^2 + b^2 +2*a*b  = 2*a*b + c^2  of beter  a^2 + b^2 = c^2 .------------------De stelling van Pythagoras met Leonardo da Vinci (Italie, 1452- 1519). Grafisch :  teken de rechthoekige driehoek met schuine zijde horizontaal beneden en het overstaande hoekpunt erboven. Teken nu naar beneden aan de schuine zijde een vierkant met zijde is de schuine zijde en naar links en naar rechts boven twee kleinere vierkanten met zijden de ene en de andere rechthoekzijde. Teken vervolgens een lijn die de bovenste twee hoekpunten van beide kleinere vierkanten verbindt en een driehoek onder aan het grote vierkant, hetzelfde als de oorspronkelijke driehoek , suymmetrisch hiermee. Trek nu 2 stippellijnen Een van de tophoekpunt van de oorspronkelijke driehoek naar de beneden (rechte) hoek van het beneden-driehoek en tweede stippellijjn van het linker hoekpunt van de kleinere linker vierkant naar het rechter hoekpunt van de rechter kleinere vierkant. Het is nu te bewijzen , meetkundig , dat beide stippellijnen loodrecht op elkaar staan. Bovenste stippellijn verdeelt de zeshoek bovenop het grote vierkant in 2 gelijke helften. Onderste stippelliijn (naar onder) verdeelt de zeshoek beneden in 2 gelijke helften . En : oppervlakten van de 2 kleine vierkanten boven zijn samen oppervlakte van het grote centrale vierkant, waarmee dus de stelling van Pythagoras bewezen is.
  51. OVER WORTEL-2 (sqrt(2)).----sqrt(2), het eerst ontdekte IRRATIONALE getal. Uit de stelling van Pythagoras (zie hierboven) volgt dat als je de middelpunten van een groot vierkant, met zijden 2, met elkaar verbindt krijg je -schuin in het grote vierkant, een klein vierkant, waarvan je makkelijk, met elementaire meetkunde, kunt aantonen dat de oppervlakte ervan de helft van de oppervlakte van het grote vierkant is dus 1/2*2^2  =2  . De zijden van het kleine vierkant zijn dus ieder sqrt(2). De geschiedenis van sqrt(2). (van plm. 1800 voor Chr. tot heden. Uit een kleitablet , in het bezit van de Amerikaanse Yale-universiteit, blijkt dat de eerste 6 decimalen van sqrt(2) toen al , plm. 1800 voor Chr. bekend waren. In het Babylonische 60-tallige getallenstelsel staat er namelijk op : sqrt(2) = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 + ..... Ook de oude Indiers kenden sqrt(2) . De ontdekking van sqrt(2) als irrationaal getal , dat niet als deling van een geheel getal op een ander geheel getal geschreven kan worden, wordt aan de pythagorische school toegeschreven.--------Benadering met breuken van sqrt(2). Een vierkant met zijden 5 heeft een diagonaallengte  5*sqrt(2) . Omdat 5*sqrt(2)^2  = 50 , dichtbij  49 = 7^2 , levert dit 5*sqrt(2)  is ongeveer 7  ofwel  sqrt(2)  is ongeveer 7/5. Dus (7/5)^2  =  49/25   =  (50-1)/25  =  2 - 0,04. Bijvoorbeeld nog dichter bij sqrt (2) :  99/70 ;  (99/70)^2  =  9800/4900 + 1/4900   =   2  +  (1/70)^2  . "Record"- berekeningen van sqrt(2). De zogeheten Babylonische methode hiervoor levert : start met een positief geheel F-n en het toepassen van de recursieve formule  : F-n+1 = (F-n + 2/(F-n) )/2  . Met computers is tegenwoordig sqrt(2) zo met miljarden keer miljarden decimalen nauwkeurig te berekenen.---------------De verrassende IRRATIONALITEIT van sqrt(2). De pythagoreeers ontdekten, zoals gezegd (zie hierboven, item-..., over de stelling van Pythagoras) krachtige correlaties tussen de natuur en de wiskunde. Vanuit dit gegeven begonnen ze te zoeken naar de numerieke eigenschappen in alle natuurlijke manisfestaties , ervan OVERTUIGD dat de realiteit als geheel met getallen te verkaren is.------Op een dag ontdekte Hippasus van Metapoutium, eminent lid van de pythagorische sekte, dat de lengte van een diagonaal in een vierkant met zijden 1, sqrt(2) is, waarvan het onmogelijk is , een breuk te maken. Ook de oude Indiers zouden dat in die tijd al weten.------HET EERSTE BEWIJS VAN DE IRRATIONALITEIT VAN SQRT(2).--Van de oude Grieken het -schitterende- platonische bewijs met de methode : bewijs uit het ongerijmde . Als sqrt(2) een breuk is, kunnen we dat uitdrukken als sqrt(2) = a/(2*b)  , a en b geheel en geen gemeenschappelijke factoren. 2*b^2 = a^2 . Omdat 2*b^2 even is, is a^2 dit ook dan ...(voorlopig) delen door 2, dan zijn a en b beide even, in tegenspraak tot dat ze geen gemeenschappelijke deler hebben.----------Verder bewijs van irrationaliteit. Meetkundig. Teken een driehoek ABC met rechte hoek (van 90 graden dus) B, schuine zijde m , beide rechthoekzijden n. Verleng de ene rechthoekzijde,vanaf het rechte-hoek-punt, met m-n en noem  het eindpunt E . Zet op de rechthoekzijde BC zodanig een punt F , dat BF is m-n en dus FC is 2*n-m . Trek nu een lijnstuk , vanuit E , door F, naar de schuine zijde en noem het snijpunt daarmee D. We hebben nou (met de stelling van Pythagoras) m^2 = 2*n^2 . Nu te bewijzen : voor driehoek EBF geldt dan : sqrt(2) = (2*n - m)/(m-n) en dit is in tegenspraak met het uitgangspunt dat n en m de kleinste gehele getallen waren die de breuk sqrt(2) opleverden.------Bewijs met factoren. sqrt(2) = m/n  --> m^2 = 2*n^2. schrijven we m en n als produkten van machten van priemgetallen, dan nog steeds 2*n^2 en m^2 even . Dit is "absurd" omdat we begonnen met 2 getallen zonder gemeenschappelijke delers, waarvan er dus minstens 1 oneven moet zijn.-------Bewijs met calculus. (Miklos Laczkovich ). Als sqrt(2) = m/n  -->m^2 = 2*n^2  met m > n  en  n > m -n met (zie ook het meetkundig bewijs hierboven) : (2*n-m)/(m-n)  =  ( (2*n-m)/n)/(m-n)/n) = (2 -m/n)/ (m/n -1) wat geeft : (2-sqrt(2)/(sqrt(2)-1)  (= sqrt(2)). Dit drukt sqrt(2) als quotient uit van gehele getallen , nog kleiner dan waarmee we begonnen en dat is onmogelijk.-------Een ingenieus grafisch bewijs. (Alexander J. Hahn). Teken een groot vierkant met zijden m en twee kleinere vierkanten , ieder met zijden n . Verplaats het ene kleinere vierkant naar links beneden in het grote vierkant, zodanig dat de linker hoekpunten samenvallen en de linker en beneden zijden ook. Verplaats nou het andere kleine vierkant naar rechtsboven in het grote vierkant, zodanig dat beide rechts-boven hoekpunten samenvallen alsmede beide rechter en bovenzijden. Stel nu, dat n --> m/2  , dan hebben beide kleinere vierkanten , binnen in het grote vierkant een oppervlakte, in de vorm van een vierkant gemeenschappelijk, met zijden m - 2*(m-n) = 2*n - m . oppervlakte hiervan = (ga dit na !)  (m - n)^2 + (m-n)^2  . Nou geldt (2*n-m)^2  = 2*(m-n)^2  waaruit volgt  (2*n-m)/(m-n)  =  sqrt(2)  . En als dan m en n de kleinste gehele getallen waren , waarvoor  m/n  =  sqrt(2)  , dan is dit in tegenspraak met 2*n - m en m - n zijn ook beide gehele getallen.--------Een schematisch bewijs (Tom Apostol, uit het jaar 2000) : Teken een gelijkbenige driehoek (een driehoek waarvan twee van de drie zijden gelijk zijn, met beide gelijke zijden m , met de basis horizontaal beneden en dus de beide gelijke zijden naar boven , naar het ertussen gelegen hoekpunt. Verleng nu de ene zijde ervan , met een lengte n , vanuit het boven-hoekpunt naar rechterboven en verleng de basis, met de lengte m van de twee gelijke zijden, naar rechts. Trek nu een lijnstuk van het bovengelegen uiteinde van de ene lijn naar het uiteinde, rechts beneden gelegen, van de andere verlengde lijn. Nu krijg je , met onder andere de stelling van Pythagoras (ga dit na !) : de kleinste rechthoekige driehoek met gehee zijden m, n , n met m^2 = 2*n^2  maakt het mogelijk er een andere , nog kleinere driehoek met gehele zijden in te passen. Dat is, in tegenspraak met "de kleinste" waarden die aan het begin werden  verondersteld.
  52.  Hier over de zogeheten "GULDEN SNEDE" die gelijk is aan (1+sqrt(5))/2  , ongeveer 1.6 , de meetkundige definitie en het verband met de Rij van Fibonacci.-------------Euklides (oud-Griekenland, ongeveer 300 voor Christus) gebruikte de term "GULDEN SNEDE" niet, deze is veel recenter. Hij legt wel uit hoe de waarde ervan kan worden berekend. Gegeven een lijnstuk AB en kies hierop een punt C , zodanig dat de verhouding van de afstanden AB : AC   =AC  : CB ; deze verhouding is dan de Gulden Snede, ongeveer 1,6. Neem bijvoorbeeld een vijfhoek en trek een lijn van iedere hoek ( A, B, C, D, E) naar iedere andere hoek. De lijnen snijden elkaar op de "Gulden Snede" . (binnenkort het verband met de Rij van Fibonacci. Over de middeleeuwse wiskundige Fibonacci (Italie, omstreeks 1200) , de geschiedenis, zijn werk en meer over de Rij van Fibonacci, op de pagina geschiedenis van de wiskunde van deze website).
  53. DE PARADOX VAN RUSSELL. De paradox van Russell lijkt veel op de paradox van de barbier : Er is een barbier die iedereen scheert, die zichzelf niet scheert. Scheert hij zichzelf ? Als hij zichzelf niet scheert, moet hij zichzelf scheren. Maar als hij zichzelf scheert, zal hij zichzelf niet scheren ! Dat werkt alleen als hij zichzelf tegelijkertijd wel en niet scheert - wat duidelijk onmogelijk is. Het is dus een paradox.-----------------De paradox van Russell gaat over verzamelingen (groepen) van dingen. Russell wist als men bijvoorbeeld verzamelingen kopjes en verzamelingen schotels kon hebben, kon men ook een verzameling van verzamelingen van kopjes en schotels hebben. Met andere woorden : het concept van een "verzameling" is een nuttig idee in de wiskunde. Russell wist dat het mogelijk was dat sommige verzamelingen zichzelf bevatten. Een voorbeeld daarvan is de verzameling van alle niet-lege verzamelingen. Als je een verzameling van wat dan ook hebt, komt deze in die verzameling voor . Omdat er iets in de verzameling voorkomt, is deze zelf een niet-lege verzameling. Deze is lid van zichzelf. Russell bedacht een verzameling die geheel acceptabel in de wiskunde is, maar toch totaal onlogisch. --De paradox van Russell vraagt : Er is een verzameling van alle verzamelingen die geen lid zijn van zichzelf. Maar als deze geen lid is van zichzelf, zal deze lid van zichzelf zijn. Dit werkt alleen -net als bij de barbier- als de verzameling tegelijkertijd wel en niet lid is van zichzelf. Maar dat is onmogelijk.
  54. DE VIERKANTSWORTEL is een heel eenvoudig idee. Een getal is een ander getal maal zichzelf. De puzzel is nu :  wat is de vierkantswortel van -1 . De puzzel was al eeuwen bekend. De Griekse wiskundige Heron van Alexandrie ontdekte deze al in 50 voor Christus, toen hij probeerde het volume van een deel van een piramide te berekenen . De eerste die echt DE VIERKANTSWORTEL VAN EEN NEGATIEF GETAL gebruikte in zijn wiskunde was de Italiaan Niccolo Fontana Tartaglia, die in Brescia nabij Venetie in 1500 werd geboren . Tartaglia leerde zichzelf wiskunde .Hij werd wiskundeleraar en presteerde goed bij wiskundige debatten. Deze waren vaak publiek toegankelijk. Twee wiskundigen daagden elkaar uit met de recentste en moeilijkste wiskundige problemen. De winnaar was degene die de meeste problemen kon oplossen. Tartaglia gebruikte irrationale getallen en vierkantswortels uit negatieve getallen (imaginaire getallen) bij het oplossen van derdemachts-vergelijkingen.
  55. OVER HET GETAL PI, met verschillende manieren hoe Pi berekend kan worden. Pi = arccos (-1)  =  2*arcsin(1) (arccos en arcsin zijn de inversen van cos en sin), ongeveer 3.14 . --------PI is een verhouding. Het geeft de verhouding aan van de afstand van de ene kant naar de andere kant van een cirkel (de diameter) tot de afstand rond de buitenrand (de omtrek).Al duizenden jaren weten we dat deze maten aan elkaar gerelateerd zijn. Maar hoe ?.................ARCHIMEDES (Griekenland, plusminus 300 voor Christus) Archimedes vond niet alleen hefbomen , katrollen, schepen verpulverende machines en tonmolens uit, maar ARCHIMEDES BESTEEDDE EEN GROOT DEEL VAN ZIJN TIJD aan het nadenken over cirkels en bollen. Archimedes was de eerste die inzag dat pi irrationaal is en dat de waarde ervan niet 22/7 is. Hij gebruikte de volgende slimme truc om uit te zoeken wat de waarde ongeveer was :  hij "sloot de cirkel in " tussen veelhoeken. Zijn methode was zo nauwkeurig dat het 500 jaar zou duren voordat iemand een betere waarde vond. Archimedes besloot cirkels te benaderen met uit rechte zijden bestaande vormen. Hij tekende er een (een vierkant) tegen de buitenkant van de cirkel en nog een (ook een vierkant) tegen de binnenkant ervan en zocht dan uit wat de verhouding was van de omtrek tot de diameter voor beide vierkanten . Hij wist dat de echte waarde van pi tussen deze beide verhoudingen lag, omdat de buitenste vorm groter en de binnenste vorm kleiner was. Stel dat hij eerst inderdaad vierkanten zou gebruiken. stel dat de zijden van het grootste vierkant D is. De omtrek is dan 4*D en de diameter ook D. De eerste verhouding is dus 4*D/D = 4 . De omtrek van het kleinere vierkant is dan 4*D/sqrt(2) en de diameter nou van hoek tot hoek, D . De tweede verhouding is dus  4*D/sqrt(2)/D  =   2.8248427......We weten nu dus : pi is kleiner dan 4 en groter dan  2.8248427....... Hetzelfde idee moeten we nu herhalen, maar nu met veelhoeken, met meer dan 4 zijden, zodat ze de vorm van de cirkel beter benaderen. Archimedes gebruikte een veelhoek met 96 zijden en liet daarmee zien dat pi tussen  3 10/70  en  3  10/71  ligt .(tussen 22/7  en 223/71). Archimedes vond ook het volume van een bol en een cilinder. Hij bewees ook : de verhouding van het oppervlak tot het volume van de bol is de verhouding van het oppervlak tot het volume van de cilinder .----------------De grote Indiase wiskundige Brahmagupta (plm. 650 na Christus, zie ook op de pagina de Geschiedenis van de Wiskunde van deze website), de ontdekker van het getal 0 , en die 0 hielp te begrijpen, dacht dat pi gelijk is aan sqrt(10) , wat niet waar is. De grote Arabische wiskundige Al-Chwarizmi (plm. 810 na Christus, zie ook op de pagina de Geschiedenis van de Wiskunde , op deze website) , de ontdekker van de algebra, slaagde er in pi tot op vier decimalen te bepalen :  3.1416.... Dat was beter dan de grote Italiaanse wiskundige Fibonacci (plm. 1200 na Christus, zie ook onder andere op de pagina de Geschiedenis van de Wiskunde van deze website). Hij kwam met een andere veelhoek dan Archimedes , ook met 96 kanten, tot pi is ongeveer  864/275  . In 1596 werd door de Duitse wiskundige van Ceulen , die er het grootste deel van zijn leven aan besteedde , de waarde van pi te berekenen, op dezelfde wijze met een veelhoek, maar nu met maar liefst   4 611 686 018 427 387 904  kanten . Hij bepaalde pi tot op 35 plaatsen achter de komma. De wiskundigen rond die tijd vonden dat er gemakkelijker manieren zijn voor het bepalen van pi dan met veelhoeken met zeer veel zijden.----------------Hoewel pi onomstotelijk met cirkels is verbonden, bleken bepaalde reeksen getallen heel bijzonder veelvouden van pi te produceren. De wiskundige Wallis  in de 17e eeuw  :  2/pi  = (1 * 3*3*5*5*7*7 *......)/(2 * 2*4*4*6*6*...)   . En de wiskundige James Gregory vond rond die tijd ook   pi/4  =  1 - 1/3  +  1/5  -  1/7 ..... (Leibnitz ontdekte deze reeks misschien ook , dat is niet zeker). De Franse wetenschapper Georges Buffon berekende in de 18e eeuw : wanneer men een naald op een betegelde vloer laat vallen , is de kans dat de naald over de rand van een tegel ligt 2*k/pi  , waarbij k de lengte van de naald is en kleiner dan 1. Er werd later ook wel gespot met de pogingen van sommigen door experimenten , dus door een groot aantal malen daadwerkelijk zo'n naald te laten vallen, pi te bepalen.
  56. TRIGONOMETRIE. "De trigonometrie ontstond uit een eenvoudig probleem". Stel dat U van een driehoek maar enkele maten kent. Hoe berekent U nu de andere maten ? Bijvoorbeeld hoe berekenen we de lengtes van de andere zijden als we maar twee hoeken en de lengte van maar een zijde kennen ? Enkele eeuwen lang was de zogeheten koorde een deeloplossing , bedacht door de astronoom Hipparchus ( Griekenland, plm. 150 voor Christus). De stelling van Pythagoras is niet te gebruiken omdat de driehoek hier in het algemeen niet rechthoekig is en natuurlijk omdat we maar de lengte van een zijde kennen. Nou is een koorde gedefinieerd als de lijn die twee punten A en B , beide op de cirkel, verbindt en we vormen zo een driehoek, door ook de twee lijnstukken te trekken, die respectievelijk de punten A en B met het middelpunt O van de cirkel verbinden. Hipparchus wist dat de verhouding tussen de hoek en de lengte altijd hetzelfde is, hoe groot de cirkel ook is. Hij bepaalde zo de echte lengte van een koorde, door de grootte van de cirkel te bepalen.
  57. DE DRIEHOEK VAN PASCAL. De driehoek van Pascal is gemakkelijk te maken. Begin met 1 als de top. Leg nu "de stenen" eronder, door deze eenvoudige regel te volgen : het huidige getal is de som van de twee getallen erboven (linksboven en rechtsboven). Staat er maar een getal boven, dan intepreteert u het ontbrekende getal als 0. Het resultaat is een heel bijzondere driehoek van getallen.
  58. LOGARITMEN. Logaritmen transformeren moeilijke bewerkingen - ze zetten vermenigvuldigingen om in optellingen en delingen in aftrekkingen. Ze vereenvoudigen ook wortels en machten, zetten deze om in vermenigvuldigingen. Kepler zou zonder logaritmen nooit de beweging van de planeten hebben kunnen begrijpen en Newton nooit de zwaartekracht. Jhoe Neper ( ook John Napier) werd in 1550 in Edinburgh, Schotland , geboren uit een rijke familie. Hij studeerde theologie. Uitvinden en wiskunde werden zijn hobbys . hij ontdekte ook de wiskundige logaritme. Napier zag in dat logaritmen enkele heel bijzondere eigenschappen hebben.-----------Logaritmen. Je kunt 10 * 10 * 10 * 10 * 10  schrijven als 10^5  . 10^(-5)  =  1/(10^5)   .  10^(1/5)  = de 5-de-machts-wortel uit 10.  Logaritme log is het omgekeerde van machtsverheffen. Zo is log  10^(1/5)  = 1/5  . log 10^(-5) = -5  .  log  10^5  =  5.  log gebruikt het grondtal  10 . Met een ander grondtal, bijvoorbeeld a , noteren we log-a  . Zo is log-3   81  =  4  , want 3^4 = 81 . Er geldt  10^3 * 10^4  =  10^(3+4)  . Algemeen geldt aldus  log (x*y)  =  log x + log y  . Zo kan ook delen in aftrekken en machtsverheffen in vermenigvuldigen worden omgezet. log (x/y)  =  log x - log y .  en log x^y  =  y * log x . We gebruiken nu e als grondtal : log-e  e^b  =b  We definieren ln x  met  ln x = log-e  x. We hebben nu  ln  e^b  =  b  en log-b a = (ln a)/(ln b)  . Wat is nou het getal e ?  Zie hierover in het volgende item  :  item-59  .
  59. OVER HET GETAL E. (Het getal van Euler) ----------e is een van de """mysterieuze"""    irrationale getallen (net als pi, de gulden snede en sqrt(2)) die erg belangrijk zijn in de wiskunde. De waarde ervan is  2.71828182845904523536.......... Je kunt stellen : zonder e zou het in de afgelopen eeuwen onmogelijk zijn geweest zoveel vooruitgang te boeken in de techniek en de wetenschappen. Jakob Bernoulli , de oudere broer van eveneens wiskundige Johann Bernoulli, ontdekte het getal e . Jakob Bernoulli ontdekte het getal e per ongeluk. In die tijd (17e-18e eeuw), werd al veel bezig gehouden met rente. Wat nou als we uitgaan van 1 euro , met een rente van 100 procent per jaar ? Als deze jaarlijks wordt verwerkt , wordt het bedrag 2 euro. Als we de rente maandelijks verwerken , wordt dit euro 2,61 . En onafgebroken verwerkt euro  2.718.... We noemen 2.718... het getal e , naar de wiskundige Euler , die dit getal later berekende. Bernoulli zag al snel in dat dit nieuwe getal iets te maken had met machtsverheffing en met logaritmen . HIJ REALISEERDE ZICH OOK DAT HET GETAL VAAK VOORKWAM IN DE NATUUR. Het probleem van de samengestelde rente kan met wiskunde worden geschreven : in feite de reeks  ( 1+1/1)^1   (1+1/2)^2   (1+1/3)^3   (1+1/4)^4  (1+1/5)^5  ..... We schrijven dit als  lim n gaat naar oneindig  (1+1/n)^n   =   e. Wat in feite betekent : (in natuurlijke taal, hier nog niet formeel wiskundig gedefinieerd) : hoe groter n wordt, des te dichter de waarde van de vergelijking e benadert.
  60. (In de tweede van de drie cursussen Kwantummechanica 8.05x van het MIT (Massachusetts Institute of Technology in de Verenigde Staten) wordt de Spectraalstelling van de wiskunde uitgelegd. (zie hierover ook op de subpagina Kwantummechanica van de pagina onderwerpen Natuurkunde van deze website)(Binnenkort meer).
  61. HIER EN IN ENKELE ITEMS NAAR BENEDEN, EEN UITLEG OVER DE WAARSCHIJNLIJKHEIDSREKENING, NAAR AANLEIDING VAN DE CURSUS WAARSCHIJNLIJKHEIDSREKENING, DE WETENSCHAP VAN ONZEKERHEID EN GEGEVENS, DIE IK MOMENTEEL VOLG.------------Een kansruimte is een verzameling (eindig of oneindig) van uitkomsten van een kansgebeurtenis, waarvan iedere uitkomst een bepaalde kans heeft, tussen 0 en 1(tussen 0 en 100 procent) en waarvan de totale kans (van alle uitkomsten) 1 is (100 procent). Een eindige kans ruimte is een eindige verzameling uitkomsten , iedere uitkomst met een kans tussen 0 en 1 en waarvan de kansen op alle uitkomsten opgeteld 1 is. Een oneindige kansruimte is met name voor te stellen als een oppervlakte, waarvan de oppervlakte 1 is , bijvoorbeeld een vierkant van 1 bij 1 en dee kans op een deel van dat oppervlak is bijvoorbeeld de grootte van het oppervlak van dat deel. De kans op een uitkomst p ( p tussen 0 en 1) en de kans op een volgende uitkomst q (q tussen 0 en 1) maakt dat de kans op eerst de ene en dan de andere uitkomst p*q is, indien de gebeurtenissen geen invloed op elkaar hebben , zoals het heet onafhankelijk zijn. ---------------De voorwaardelijke kans van een uitkomst A , die tevens uitkomst van B is , de zogeheten voorwaardelijke kans P(A| B) is gedefinieerd als P ( A doorsnede B)/P(B)   . Twee kansen zijn onafhankelijk als P( A|B) = P(A) *P(B) . ------Tellen. (Counting) . Als je een verzameling verschillende getallen hebt, en je trekt er een getal uit, legt die terug en dan trek je er weer een getal uit, legt die terug enzovoorts, hoeveel mogelijke uitkomsten heb je dan ?Tellen geeft : uit n getallen m keer getal trekken met iedere keer terugleggen : n^m mogelijke uitkomsten. als je uit n verscillende getallen een getal trekt, die niet teruglegt en dan weer een getal trekt, zonder teruglegging en dit m keer, dan heb je de permutatie N*(n-1)*(n-2)*.......*(n-m) verschillend mogelijke uitkomsten. Als je een verzameling van n verschillende getallen hebt, hoeveel verschillende deelverzamelingen heb je ervan ? Antwoord : een getal komt voor of komt niet voor in een (willekeurig grote) deelverzameling , dus 2 mogelijkheden voor ieder getal is 2^n aantal verschillende deelverzamelingen van n verschillende getallen mogelijk. En nu : hoeveel verschillende deelverzamelingen van k getallen zijn er mogelijk van een verzameling van in totaal n verschillende getallen. Dit is : (n k) (n boven k) is gelijk aan n! /(k!* (n-k) !)   , waarbij in het algemeen a!  (a-faculteit) = 1*2*3*..*a  . Combinaties . Wat is onafhankelijkheid ? Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk, wanneer ze in de praktijk fysiek onafhankelijk zijn. Een aantal worpen met een munt, achter elkaar, met voor iedere worp een kans p op kop en p-1 op munt zijn onafhankelijk omdat de uitkomst van een voorafgaande worp niet van invloed is op de uitkomst van een volgende worp. Voor een bepaald type uitkomst van n achter elkaar gedane worpen met een munt, onafhankelijk, met iedere worp kans p op kop, kunnen we de binomiale kans toepassen. De kans op k keer kop , met ieder kans p,van in totaal n worpen is het aantal mogelijke dergelijke uitkomsten keer de specifieke kans op 1 zo'n uitkomst isgelijk (n k)  (spreek uit : n over k, wat gelijk is aan n!/(k!*(n-k)!)  *  p^k*(1-p)^(n-k)--------------
  62. DEFINITIE VAN HET BEGRIP RANDOM-VARIABELE. Een random-variabele is een numerieke grootheid die random-waarden aanneemt. Wat betekent dit ? Neem een uitkomsten-ruimte, bijvoorbeeld a,b,c,d . Voeg aan ieder a,b,c,d bijvoorbeeld een gewicht in kilograms toe. Pik er een uit a,b,c,d . Gewicht is nu werkelijk een FUNCTIE van de uitkomst van het experiment; een random-variabele. Je kunt ook aan a,b,c,d een andere variabele toekennen,bijvoorbeeld de lengte. Bij een uitkomsten-ruimte kun je bijvoorbeeld twee random-experimenten toevoegen, X en Y en dan definieren X + Y . Een uitkomst is dan x+y . (kleine letters).-------------Waarschijnlijkheids-massa-functies. Een aan iedere uitkomst toegekend getal (als functie van een uitkomst), kan meerdere keren voorkomen. De kans op zo'n toegekend getal is dan de som van de kansen van ieder van die individuele uitkomsten. Zeg : P-X(x)  = P(X=x)  = P({ omega behoort tot OMEGA , X(omega) = x). Eigenschappen :p-X (x) groter of gelijk 0 ; de som over alle x van p-X(x) = 1. De verschillende P-X zijn disjunct en beslaan de gehele uitkomstruimte.------------Een random variabele heet een BERNOULLI random variabele als hij alleen de waarde 1 (kans p) of 0 (kans 1-p) kan aannemen.De Indicator-random-variabele als van OMEGA in A en A-c  : P-1-A (1) = P (1-A =1) = P(A) . Dit is een Bernoulii-random-variabele.------------UNIFORME random variabelen. Een discrete uniforme random variabele is een die PMF van deze bereik (tussen a en b) , met vorm heeft. Hij neemt waarden aan in een zekere bereik, met alle mogelijke uitkomst dezelfde kans. Voorbeeld : P, k nu a, a+1, ..., b : Iedere kans is nu gelijk aan 1/(b-a+1).----------BINOMIALE random variabelen. Binomiaal is geassocieerd met het doen van een gooi met een munt en dan  n gooien doen, met ieder kans p op kop en kans 1-p op munt. Het model van het aantal succes in een gegeven aantal onafhankelijke pogingen. Voorbeeld : kans op 2 kop bij 3 gooien. P-X (2) = P(X=2) = P(HHT)  + P(HTH ) + P(THH) (met H is head dat is kop en T is tail dat is munt) = 3*p^2*(1-p) = (3  2) *p^2 *(1-p). In het algemeen  P-X(k)   =  (n  k) *p^k*(1-p)^(n-k)   , voor k = 0, 1, .....n  .--------------GEOMETRISCHE random variabelen. Gooi nu een munt oneindig keer (onafhankelijk gooien). P(kop)  =  p  , P(munt) = 1-p  . Sample space : de verzameling van oneindige rijen K en M . Nou : aantal gooien tot de eerste kop  P-X (k)   =  P(x=k)  =  P(M, ......,M , K)  (k-1 keer M) = (1-p)^(k-1) *p  , k = 1,2,3,......
  63. VERWACHTING (Espectation). Definitie van verwachting (soort gemiddelde, Engels Espectation) : E(X)  = de som over alle x van P-X(x)  . Eigenlijk te beschouwen als het gemiddelde dat je verwacht na weer veel herhalingen van je experiment.---------------(Expectation) Verwachting van een Bernoulli random variabele . X = {  1(p)  , 0(1-p)  , E(X) = hier 1*p  +0*(1-p)   =  p  .Als een speciaal geval beschouwen we als X de indicator random variabele van een zekere gebeurtenis is. X= 1-A   , X=1 als er alleen A gebeurt. p = P(A)  dus E[1-A] = P(A)  . Nu de VERWACHTING van een uniforme variabele uniform op 0,1,.....,n : 1/(n+1)  . E(X) = hier 0*(1/(n+1)) + 1*(1/(n+1))  + .... + n*(1/(n+1))  =  n*(n+1)/(2*(n+1))  =  n/2  . Nog een interpretatie van Verwachting. De verwachting van het gewicht van n personen is : (bij gelijke kans op ieder persoon) is 1/n * de som van alle x-i  met x-i de gewichten.------------Elementaire eigenschappen van Verwachting.1) Als x groter of gelijk 0 dan E[X]  groter of gelijk 0 .2) als a <= X <= b   , dan a <= E[X]  <= b  en  3)  Als c een constante is dan E[c] = c .--------De verwachte waarde -regel. Voor het berekenen van E[g(X)]  en  Y =g(X)  , gemiddelde over y : E[Y]  = de som over alle y van y * P-Y(y) . Alternatief : gemiddelde over x : E[y] = de som over alle x van E[g(X)]  =  de som over alle x van  g(x) * P-X(x)  (te bewijzen !!). Waarschuwing in het algemeen is E[g(X)]  niet gelijk aan  g(E[X]) .-------------Lineariteit van verwachtingen. Afleiding hiervan : g(x) = a*x + b  dan E[Y]  =  de som over alle x van g(x) *P-X(x)  = de som over alle x van (a*x + b) * P-X  =  a* de som over alle x van x*P-X(x) +b* de som over alle x van P-X(x) = a*E[x] + b  .E[g(X)] = g(E[X]) is aldus wel waar voor (zie boven) lineaire g(x).
  64. VARIANTIE : Voorwaarden op een gebeurtenis; multiple randomvariabelen. Je kunt zeggen dat Variantie een maat is voor de gemiddelde afwijking van de verwachting, het gemiddelde (van uitkomsten van een random variabele). VARIANTIE. Definieer mu = E[X]  , het gemiddelde. Afstand tot het gemiddelde = X - mu en is natuurlijk een random variabele. Zijn verwachte waarde is E[X-mu] = E[X] - mu  = mu-mu = 0. De definitie van Variantie is nou : var(X)  = E[(X -mu)^2] . Berekening hiervan E[g(X)] = de som over alle x van g(x) *P-X(x)  , met g(x) = (x-mu)^2  = var (x) == E[g(X)] = de som over alle x van (x-mu)^2 *P-X(x). Standaard-afwijking is gedefinieerd als sigma-x = sqrt(var(X)).  Eigenschappen van de variantie : var(a*X +b)  = a^2 *var(X)  . (Bewijzen!! :) --> door voor (a*X = b) = E[(a*X) + b)^2] - (E[a*X + b])^2 =...(uitschrijven)....Een nuttige formule : var(X)  = E[X^2] - (E[X])^2  . Bewijs : var(X)  = E[(X-mu)^2] = E[X^2 - 2*mu*X + mu^2] = E[X^2] - 2*mu*E[X] + mu^2 = E[X^2] - 2*mu^2 + mu^2 -E[X^2] -(E[X])^2 . ---------------Variantie van de Bernoulli en de Uniforme. De Bernoulli : X = { 1 ; p   , 0; 1-p    , E[X]  = p . var(X) = nou de som over alle x van (x - E[X])^2 * P-X(x) = (1-p)^2 * p + (0-p)^2*(1-p)  = p - 2*p^2 + p^3 + p^2 -p^3 = p- p^2 = p*(1-p) . Alternatieve berekening : var(X) = E[X^2] - (E[X])^2  , zet  X^2 = X dan = E[X] -(E[X])^2 = p - p^2  = p*(1-p). De variantie is in zekere zin ook een maat voor de hoeveelheid van randomheid, onzekerheid. Uniform random. Uniform random met n mogelijke uitkomsten :P-X(x) = 1/(n+1)  . var(X) = E[X^2] - (E[X])^2  =  1/(n+1) * (0^2  + 1^2 + ....+ n^2)- (n/2)^2  =  1/6 *n*(n+1)*(2*n +1) = 1/12 *n*(n+2) . Zet nou (uniform) n = b-a  , P-X(x) = nou 1/(b-a+1)  . Nou var(X) = 1/12 *(b-a)*(b-a+2).
  65. VOORWAARDELIJKE PMF's EN VERWACHTINGEN, GEGEVEN EEN GEBEURTENIS. De voorwaardelijke PMF is :P-X(x) = P(X=x)  met de som over alle x van P-X(x)=1 dan P-X|A(x) = P(X=x|A) en ook hier de som over alle x van P-X|A(x) = 1. Voorwaardelijke verwachting : E[X] = de som over alle x van x*P-X(x) en nou E[X|A]  = de som over alle x van x*P-X|A (x)  en E[g(X)] = de som over alle x van g(x)*P-X(x)  en nou E[g(x)|A] = de som over alle x van g(x) *P-X|A(x). Voorwaardelijke variantie. var (X|A)  = E[(X|A - mu)^2]-------------VOORWAARDEN OP EEN RANDOM VARIABELE; ONAFHANKELIJKHEID VAN RANDOM VARIABELEN. Voorwaardelijke PMF's. P-X|Y(x|y) = P(X=x|Y=y) = door definitie P(X=x, Y=y)/P(Y=y)  =  P-X,Y(x,y)/P-Y(y)  . Aldus bijvoorbeeld : de som over alle x van P-X|Y(x|y) = 1 . P-X,Y(x,y) = P-Y(y)*P-X|Y(x|y) . En P-X,Y(x,y)= P-X(x)*P-Y|X(y|x). De vermenigvuldigingsregel : P(A doorsnede B doorsnede C)=P(A) *P(B|A)*P(C|A doorsnede B) . Meer dan 2 variabelen P-X|Y,Z =P(X=x | Y=y, Z=z) = P(X=x , Y=y, Z=z)/P(Y=y, Z=z) = P-X,Y,Z(x,y,z)/P-Y,Z(y,z). We hebben nou : E[X] = de som over alle x van x*P-X(x) . E[X|A] = de som over alle x van x*p-X|A(x) . E[X|Y=y] = per definitie de som over alle x van x*P-X|Y(x|y) . E[g(X)|A]  = de som over alle x van g(x)*P-X|A(x). Totale waarschijnlijkheid en verwachtingsstellingen...A-1,....,A-n : partitie van OMEGA. P-X(x) = P(A-1) *P-X|A-1(x)+......+P(A-n)*P-X|A-n(x)  , nu Y ={ Y-1,......,Y-n}  A-i = {Y=Y-i} . P-X(x) = nou de som over alle y van P-Y(y) *P-X|Y(x|y). De TOTALE VERWACHTINGSSTELLING is E[X] = P(A-1) * E[X|A-1] + ....+P(A-n)*E[X|A-n] ; E[X] = de som over alle y van P-Y(y) *E[X|Y=y].---------------- ONAFHANKELIJKHEID VAN RANDOM VARIABELEN. Uit onafhankelijkheid van A en B volgt : P(A doorsnede B) = P(A)*P(B)  en P(A|B) = P(A) . De wiskundige definitie van een randomvariabele en een gebeurtenis : P(X=x en A) = P(X=x) *P(A) voor alle x. De wiskundige definitie van 2 gebeurtenissen : P(X=x en Y=y) = P(X=x)*P(Y=y) voor alle x,y . P-X,Y(x,y) = (onafhankelijkheid) P-X(x) en P-Y|X(y|x) = (onafhankelijkheid) P-Y(y) . En :  X,Y,Z onafhankelijk als P-X,Y,Z = P-X(x)*P-Y(y)*P-Z(z) , voor alle x,y,z. Onafhankelijkheid en Verwachting. in het algemeen is E[g(X,Y)] niet gelijk aan g[E[X],E[Y]] . uitzondering E[X*Y] = E[X]*E[Y]  . Bewijzen !!  g(X) en h(y) zijn ook onafhankelijk, dan : E[g(X)*h(Y)] = E[g(y)]*E[h(x)]. Onafhankelijkheid, varianties en de binomiale variantie.Altijd waar : var (a*X) = a^2*var(X) en var(X+a) = var(X) . In het algemeen : var (X+Y) is niet gelijk var(X) + var(Y). Als X en Y onafhankelijk zijn, dan wel : var(X+Y) = var(X)*var(Y) .
  66. GEOMETRISCHE RANDOM VARIABELE. P-X (k)  =  (1-p)^(1-k)*p (de kans dat na k worpen met een munt met kans op kop p dus kans op munt 1-p, je de eerste keer kop krijgt. Nou de belangrijkste eigenschap van de geometrische random variabele : de GEHEUGENLOOSHEID. : aantal overblijvende munt worpen, gegeven munt in de eerste worp is geometrisch, met parameter p; nou P(x-1 =3| x>1) = P(T-2, T-3, H-4|T-1) = P(T-2. T-3, H-4 ) (met T is tail, munt en H is head, kop) = (1-p)^2*p = P-X (3). We toonden hier aan dat deze voorwaardelijke PMF (waarschijnlijkheiddichtheid) is dezelfde als deze onvoorwaardelijke PMF. Dit kon ook met X>n dan is X-n geometrisch met parameter p. We gebruiken nou de GEHEUGENLOOSHEID-eigenschap van de geometrische PMF en gebruiken het samen met de TOTALE VERWACHTINGSSTELLING (zie hierboven in item-65) om het gemiddelde of de verwachting van de geometrische PMF te berekenen.........----Nou oneindig veel worpen. Wat is de verwachting van k ? TRUC : aantal worpen tot eerste is kop : de verwachting van X bestaat uit twee delen. De eerste worp, welke uitkomst dan ook en dan het aantal overblijvende worpen, welke X-1 is. Dit is waar door de lineariteit van verwachtingen. Nou bestaat de verwachting van X-1 uit twee delen ook : E[x] = 1 + E[X-1]  =  1 + p*E[X-1|x=1] = (1-p)*E[x-1|x>1]  =  met p*E[x-1|x=1] = 0    1+ (1-p) *E[x]  en hier heb je RECURSIE.
  67. JOINT PMF's en de VERWACHTE WAARDE REGEL. Joint PMF : p-X,Y (x,y)  = P (X=x en Y=y)  . Nou som over x som over y p-X,Y = 1 (gesommeerd over alle mogelijkheden). Individuele PMF's zijn marginale PMF's. VERWACHTE WAARDE REGEL voor meer variabelen : E [g(X,Y)] = som over x som over y g(x,y) * p-X,Y(x,y) . MEERDERE RANDOM VARIABELEN STELLING : E[X+Y] =E[X] + E[Y]  .Bewijs : definieer E[X+Y] = E[g(x,y)] = som over x som over y x *p-X,Y(x,y) + som over x som over y p-X,Y(x,y) = som over x som over y p-X,Y (x,y) + --------= som over x x*p-X(x) + som over y y*p-Y(y) = E[X] + E[Y]   . Nou deze lineaire eigenschap gebruiken voor het vinden van het gemiddelde van een binomiale random variabele . Bewijs E[X] = som van k=0 tot n van k*(n k) *p^k*(1-p)^(n-k)  wat is de som van k=0 tot n van p-X(k)    dus E[X] = n*p   .TRUC  : X-i =1 als de i-de poging succes heeft , anders X-i = 0. nou : X= X-1 +....+X-n  en E[X] = E[X-1]  (=p) + ....+ E[X-n]  (=p)  = n*p  . VOORWAARDEN OP EEN RANDOM-VARIABELE; ONAFHANKELIJKHEID VAN RANDOM-VARIABELEN. p-X|A (x|A)= P(X=x|A) , laat nou A= {Y=y}  p-X|Y (x|y) = P(X=x |Y=y) = P(X=x, Y=y)/(P(Y=y) en dit is de definitie van de voorwaardelijke PMF. Zo : som over x p-X|Y(x|y) =1 . En : P-X(x) = som over y p-Y(y)*p-X|Y(x|y)  en : E [X] = som over y p-Y(y)*E[X|Y=y]   .
  68. VARIABELEN --vervolg. Waarschijnlijkheid-dichtheid-functie (PDF).  een uniforme, exponentiele en normale verdeling. CONTINUE RANDOM VARIABELEN. Definitie van een PDF :  P(a <=X<=b) = de integraal van a naar b van f-X(x) dx   , met f-X (x) => 0  en  de integraal van min oneindig naar plus oneindig f-X(x) dx = 1  . En : P(a<= x <= a + delta) is ongeveer gelijk aan f-X (a)*delta . Dus PDF 's zijn geen waarschijnlijkheden ; Zij zijn dichtheden. Uniforme random variabele. Gemiddelden en Varianties. discreet geval : E[X] = de som over alle x van x-p-X (x)  ; continue geval : E[X] = de integraal van min oneindig naar oneindig van x * f-X(x) dx. Gemiddelde van de waarden die we verwachten, te zien in een heel groot aantal van onafhankelijke herhalingen van het experiment. Eigenschappen als X=> 0 , dan E[X] => 0 (continue gevallen) en als a<= X <= b , dan a <= E[X] <= b. Verwachte waarde regel : E[g(X)] = de som over x van g(x) *p-X(x) = de integraal van min oneindig naar plus oneindig van g(x) *f-X(x) dx  en lineariteit : E[a*X + b] = a* E[X] + b  . Definitie van Variantie : var(X) = E[(X - mu)^2]   met mu = E[X]  , var(X) is nou de integraal van min oneindig naar oneindig van (x - mu)^2 *f-X(x) dx  . Standaard afwijking sigma-X = sqrt (var(x)) en var (a*X+b) = a^2*var(X). NUTTIGE FORMULE WEER : var(X) = E[X^2] - (E[X] )^2   . E[X] = (uniforme verdeling) de integraal van min oneindig naar oneindig van x*f-X(x) dx = de integraal van a naar b van x*(1/(b-a))dx = (a+b)/2   en E[X^2] = de integraal van a naar b van x^2*(1/(b-a))dx = 1/(b-a) * (b^3/3 - a^3/3)  , dus var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (b-a) ^2/12  en dus sigma =(b-a)/sqrt(12)  .-----Exponentiele random variabele f-X(x) = { lambda*e^(-lambda*x)  met x=> 0 en 0 met x<0    . (de vorm bepaald gelijk aan de vorm van de geometrische verdeling (1-p)^(k-1)*p  ). P(X=>a) = de integraal van a naar oneindig van lambda*e^(-lambda*x)  . Uit calculus hebben we de integraal van e^(a*x) dx = 1/a *e^(a*x)  , a<--> - lambda    ,= -e^(-lambda*oneindig) + e^(-lambda *a/a) = e^(-lambda*a)  , integraal is gelijk aan 1 , zoals het moet. Hier geldt nou : E[X] = de integraal van 0 naar oneindig van x* lambda*e^(-lambda*x) dx = 1/lambda. En : E[X^2] = de integraal van 0 naar oneindig van x^2 *lambda*e^(-lambda*x)dx = 2/(lambda^2)  en dus var (X) = E[X^2] - (E[X])^2  = 1/(lambda^2). UNIFORME VERDELING MET IN MODELLEN DE TIJD DIE WE MOETEN WACHTEN TOTDAT IETS GEBEURT. (DISCRETE GEVAL : HET AANTAL GEVALLEN TOTDAT IETS GEBEURT. Cumulatieve Distributie Functies (CDF's). Een CDF is een functie van een enkel argument x, in dit geval en het geeft ons de waarschijnlijkheid dat de random variabele een waarde aanneemt dat gelijk is aan deze particuliere x F-X (x) = P( X<= x)  . Continue random variabelen : F-X(x) = P(X<= ) = de integraal van min oneindig tot x van f-X(t)dt  . We hebben : dF-X/dx (x) = f-X(x)  . Definitie van de CDF : F-X(x) = P(X<=x), discrete geval : F-X(x) = P(X<=x) = de som voor alle k<= X van p-X(k). Eigenschappen als y=>x daaruit volgt F-X(y) => F-X(x) en F-X(x) gaat naar 1 als x gaat naar oneindig en F-X(x) gaat naar 0 als x gaat naar min oneindig
  69. NORMALE RANDOM VARIABELEN. (Gaussian verdeling).(Normale random variabelen spelen een sleutelrol in de theorie van het onderwerp, zoals we later zullen zien in de context van de Centrale Limiettheorie).-------Standaard Normaal : N(0,1) : f-X(x) =1/sqrt(2*pi) * e^(-x^2/2) ( =1 als x=0 en gaat naar o als x gaat naar oneindig of x gaat naar min oneindig) met calculus : de integraal van min oneindig naar plus oneindig van e^(-x^2/2) dx = sqrt(2*pi)  .--E[X] = 0 en var (X) = 1 (aantonen met integratie door parts) . Algemeen Normaal : N(mu,sigma^2): f-X(x) = 1/(sigma*sqrt(2*pi)) * e ^(-x*pi)^2/(2*sigma^2)  en E[X] = mu en var(X) = sigma^2  (met calculus weer)..Lineaire functies van normale random variabelen . Laat Y=a*X + b   , X--N(mu, sigma^2) dan E[Y] = a*mu + b en var(Y) = a^2*sigma^2. Feit (wordt later bewezen) : Y--N(a*mu + b* a^2* sigma^2). BEREKENING VAN NORMALE WAARSCHIJNLIJKHEDEN.
  70. Voorwaarden op een gebeurtenis. Meervoudige random variabelen.-----Voorwaardelijke PDF. P-X(x) = P(X=x)  (definitie). P-X|A(x) = P(X=x|A) definitie. Continue geval : f-X(x)*delta =ongeveer P(x<=X<=x+delta) en nu f-X|A(x)*delta =ongeveer P(x<=X<=x+delta|A)  . P(X behoort tot B) = de integraal over B van f-X(x)dx en P(X behoort tot B|A)= de integraal over B van f-X|A(x)dx en de integraal van f-X|A (x) dx = 1. Voorwaardelijke PDF : f-X|X behoort tot A(x) = { 0 als x hoort niet tot A en f-X(x)/P(A) als x behoort tot A. Definitie van voorwaardelijke verwachting : E[X] = de integraal van x*f-X(x)dx dus E[X|A]= de integraal van x*f-X|A(x) dx en DE VERWACHTE WAARDE REGEL: E[g(x)] = de integraal van g(x)*f-X(x)dx  en dus E[g(X)|A] = de integraal van g(x)*f-X|A(x)dx . Voor continue gevallen : TOTALE WAARSCHIJNLIJKHEIDS- EN VERWACHTINGSTHEORIEEN. F-X(x) = P(X<= x) = P(A-1)*P(X<=x|A-1) +.....+  =P(A-1)*F-X|A-1(x) +...... Differentieren geeft : f-X = P(A-1)*f-X|A-1(x) + ...+P(A-n)*f-X|A-n(x)  . Continue ge val : de integraal van x*f-X(x)dx = P(A-1)*de integraal van x*f-X|A-1(x)dx, dus E[X] = P(A-1) *E[X|A-1] + ......+ P(A-n)*E[X|A-n]. Definitie : twee random variabelen zijn jointly continu als zij beschreven kunnen worden door een joint PDF.Continue variabelen-vervolg. Definitie van een voorwaardelijke PDF : f-X|Y(x|y) = (f-X,Y(x,y))/(f-Y(y)) als f-Y(y) > 0  .We have P(x<=X <=x+delta|A) =ongeveer f-X|A(x)*delta , nou P(x<=X<=x+delta)*y<=Y<=y+epsilon =ongeveer (f-X,Y(x,y)*delta*epsilon)/(f-Y(y)*epsilon) en dit is de voorwaardelijke PDF. Definitie : P(Xbehoort tot A|Y=y) = de integraal over A van f-X|Y(x|y)dx.......We hebben hier in het continue geval : f-X(x) = de integraal van min oneindig naar oneindig van f-Y(y)*F-X|Y(x|y)dy, dus E[X|Y=y] = de integraal van min oneindig naar oneindig van x*f-X|Y(x|y) dx (de definitie). E[X] is nu de integraal van min oneindig naar oneindig van f-Y(y) *E[X|Y=y]dy =  de integraal van min oneindig naar oneindig van f-Y(y)* de integraal van min oneindig naar oneindig van f-X|Y(x|y)dxdy = de integraal van min oneindig naar oneindig van x* de integraal van min oneindig naar oneindig van f-Y(y)*f-X|Y(x|y)dydx = de integraal van min oneindig naar oneindig van x*f-X(x)dx = E[X]  . DE VERWACHTE WAARDE REGEL IS HIER : E[g(x)|Y=y] = de integraal van min oneindig naar oneindig van g(x)* f-X|Y(x|y)dx.------ONAFHANKELIJKHEID. P-X,Y(x,y) = P-X(x)*P-Y(y) voor alle x, y en f-X,Y(x,y) = f-X(x) * f-Y(y)   voor alle x, y   , equivalent aan f-X|Y(x|y)  = f-X(x) voor alle y met f-Y(y)> 0 en alle x . Ook f-Y|X = f-Y . Nou, als X,Y onafhankelijk, dan E[X|Y] = E[X]*E[Y]  en var (X+Y) = var(X) + var(Y) . g(x) en h(x) zijn ook onafhankelijk :E[g(X)*h(Y)] = E[g(X)] * E[h(Y)].-----------BAYES REGEL. Weer Bayes regel. Discrete setting : Bayes regel : P-X,Y(x,y) = P-X(x) *P-Y|X(y|x) = P-Y(y) *P-X|Y(x|y) (?)  en P-X|Y(x|y) = (P-X(x)*P-Y|X(y|x))/(P-Y(y))   . Continue versie : f-X|Y(x|y) = (f-X(x) *f-Y|X(y|x))/(f-Y(y)). Posterior : P-Y(y) = de som over alle x van P-X(x-)*P-Y|X(y|x-)  en f-Y(y) = de integraal van f-X(x-) *f-Y|X(y|x-)dx-    .
  71. We gaan het nu hebben over de PMF en PDF (waarschijnlijkheidsmassa functie en waarschijnlijkheids dichtheidsfunctie van respectievelijk een functie van een discrete PDF en een continue PMF). We bewijzen dat de PMF van aX+b (lineaire functie)= 1/a *(Y-b) (discrete X) en 1/|a| *(Y-b) (continue X). Niet lineaire functie van een PMF of PDF : bepaal de inverse van g(X)=y en bepaal dan de CDF (Cumulatieve dichtheidsFunctie) van X, substitueer de waarde van y als functie van x hierin en bepaal dan de CDF : F-y(y) en differentieer dan naar y met toepassing van de kettingregel voor differentieren om de pdf f-y(y) te verkrijgen : dF-y/dy = f-y(y) * d h(y)/dy met h(y) is de inverse functie van y=g(x). Functie van meerdere Pdf's : Z= f(X,Y) : dit geeft Y= f(Z,X) waarbij de te bepalen pdf van Y het produkt van een constante Z keer een functie van X is 
  72. De COVARIANTIE cov(X,Y) van 2 randomvariabelen is de maat van samenhang tussen de 2 variabelen. Wanneer X en Y onafhankelijk zijn is hun covariantie 0 maar het tegenovergestelde hoeft niet waar te zijn. Definitie : cov (X,Y) is E((X-E(X)*(Y-E(Y)) aldus is de covariantie van X met zichzelf cov(X,X) = (uitschrijven) var(X). De CORRELATIE-coefficient tussen X en Y =(definitie) cov(X,Y)/(sigma-x*sigma-y), waarbij sigma-x de zogeheten standaardafwijking van x is, de wortel uit de variantie van x en sigma-y is de standaardafwijking van y en aldus ligt de correlatie van X en Y altijd tussen -1 en 1 en is dimensieloos.
  73. Opnieuw over de Bayes inferency, Over SCHATTING van een random variabele in een lineaire combinatie met een zogeheten ruis. Bijvoorbeeld schat de variabele theta als gegeven is dat X = theta + W , waarbij X de uitkomst van een experiment is, of meerdere experimenten dan een vector van uitkomsten, W ruis is (verstoring) en naar aanleiding daarvan kun je de meest waarschijnlijke theta schatten. Of die theta is de uitkomst waarop de meeste kans is. Bij discrete variabelen die uitkomst met de meeste kans tussen 0 en 1, bij continue variabelen, die uitkomst waarvan de grafiek het hoogst is, ook tussen 0 en 1. (grafiek van f-theta, is de PDF). Je kan ook als schatting het gewogen gemiddelde van alle uitkomsten nemen en ook die uitkomst waarvan het kwadraat van de afwijking tot het gemiddelde, de variantie dus, het kleinst is. Bij verdelingen van de random variabele in de vorm van c*e^(-a*x^2+b*x+d) zoals de (standaard-)normale verdeling N(0,1)  1/sqrt(2*sigma*pi) *e^(-x-mu)^2/(2*sigma^2),   met sigma^2 is de variantie en mu is het gemiddelde, in de standaard normale verdeling gemiddelde = 0 , variantie is 1.
  74. SCHATTEN (Estimate) 0-hypothese en alternative hypothese. Als je een of meer uitkomsten hebt verzameld van een experiment, kun je het gemiddeld van die uitkomsten meten voor het schatten van het gemiddelde of voor welke van de hypothesen, de 0-hypothese of de alternatieve hypothes in alle overige situaties, waar is. De uitkomst met de grootste kans erop is de MaximumAP uitkomst of anders het gemiddelde van de uitkomsten of ook het gewogen gemiddelde van de afwijking in het kwadraat van iedere uitkomst ten opzichte van het gemiddelde. Mean Quadratic Sum. De 0-hypothese wordt aanvaard wanneer de uitkomst van het experiment of het gemiddelde van meerdere uitkomsten in het gebied ligt waar de kans op 0-hypothese waar groter is dan kans op alternatieve hypothese. Ligt de uitkomst van het experiment of het gemiddelde van meerdere experimenten in het gebied waar de kans op de alternatieve hypothese groter is dan de kans op de 0-hypothese waar dan wordt de alternatieve hypothese aanvaard.
  75. MARKOV ONGELIJKHEID : (eenvoudig te bewijzen) Als X>0 en a>0 dan P(X=>a) <= E(X)/a   . CHEBYSHEV ONGELIJKHEID (eenvoudig te bewijzen):  Als X>0 en a>0 dan P(X=>a) <= E(X^2)/a^2  , waarbij E(X^2) uiteraard de variantie sigma^2 is . ZWAKKE WET VAN CONVERGENTIE . DE ZWAKKE WET VAN DE GROTE GETALLEN. X-1 , ...., X-n zijn uitkomsten van een random variabele met gemiddelde mu en variantie sigma-kwadraat. dan : M-n = (X-1 +....+ X-n)/n , dan E[M-n] = mu en var [M-n] =sigma-kwadraat/n . Definitie : convergent in waarschijnlijkheid als limiet n-> oneindig van P(|Y-n- a| => epsilon)=0  .POLLING (bijvoorbeeld opiniepeiling in geval van referendum of verkiezingen.) Hoe groot moet n, de grootte van de steekproef zijn. Voor bijvoorbeeld 1 procent kans op afwijking (50.000) meestal minder nauwkeurig voldoende, bijvoorbeeld 3 procent kans op afwijking. CENTRALE LIMIETSTELLING .(later) P(M-n -> mu)= 1. CHERNOFFs ONGELIJKHEID : P(|M-n - mu|) <= e^(-n*h(mu)) met h(mu)=>0 .
  76. CENTRALE LIMIETSTELLING. Laat de som S-n = X-1+...+X-n  ,  met gemiddelde mu en variantie n*sigma-kwadraat. en M-n = S-n/n = X-1+....+X-n/n  , variantie sigma-kwadraat/n (->0)...S-n/sqrt(n) = (X-1+...+X-=n)/sqrt(n)  met variantie sigma-kwadraat = n*sigma-kwadraat/n . Z-n = (S-n - n*mu)/(sigma*sqrt(n)) . . E[Z-n] = 0 , var [Z-n] = 1. CENTRALE LIMIETSTELLING : voor iedere z : limiet n-> oneindig P(z-n<= z)= P(Z<=z). P(Z<=z) is de standaard normale CDF OMEGA(z), normale verdeling.-----De Centrale Limietstelling is absoluut opmerkelijk . Het is een groot resultaat en erg ongebruikelijk en niet intuitief. Filosofisch gezien rechtvaardigt de Centrale Limietstelling waarom in modellen de normale random variabelen erg natuurlijk zijn.
  77. INLEIDING TOT KLASSIEKE STATISTIEK. In de klassieke statistiek is de te schatten THETA geen random variabele, waarvan we verschillende uitkomsten verwerken,  maar een onbekend exact getal, bijvoorbeeld een natuurkundige constante, dus we schrijven hem met een kleine letter. De Sample mean is het gemiddelde van een aantal uitkomsten van een experiment. De statistiek bevat niet zo zeer nieuwe wiskundige dingen, maar verschillende methoden om bepaalde grootheden te schatten. Het gemiddelde van het kwadraat van een fout van een schatter. Betrouwbaarheidsintervallen. Betrouwbaarheidsintervallen van een onbekend gemiddelde. Betrouwbaarheidsintervallen voor het gemiddelde wanneer de variantie onbekend is. Andere natuurlijke schattingen. Maximaal waarschijnlijkheids schattingen
  78. Wij noemen een stochastische of randomvariabele Bernoulli als de tijd is ingedeeld in even grote -slots- en voor iedere slot is de kans even groot op een succes of aankomst, gelijk aan p, tussen 0 en 1, bijvoorbeeld er wordt een munt opgeworpen en de kans op kop is p en op staart dus 1-p en de verschillende uitkomsten voor ieder slot zijn onafhankelijk van elkaar. De verwachting voor de eerste slot k waar de succes is is aldus k*1/p en de variantie is k*(1-p)/p^2
  79. Wij noemen een continue stochastische of randomvariabele Poisson als een zeer grote aantal gelijke tijdseenheden is waar de kans op een succes of aankomst voor iedere tijdseenheid een zeer kleine p is tussen 0 en 1 en de uitkomsten onafhankelijk van elkaar. Af te leiden is dat in een tijdsinval t er gemiddeld kans is op n successen dat de rate lambda is n successen in een tijdsinterval tau, er met Poisson verdeling (lambda*tau)^k*e^(-lambda*tau)/k!   -kans is op k successen. De som van het aantal successen in een bepaald tijdsinterval van twee willekeurige Poisson-processen is de som van het aantal sucessen van ieder van die twee processen in dat tijdsinterval.Erlang....(Binnenkort meer )
  80. Over MARKOV KETEN. Bijvoorbeeld in een supermarkt is de kans p (tossen o en 1) dat er in 1 minuut een klant binnekomt, in de rij gaat staan en kans q dat er in 1 minuut een klant geholpen wordt. In 1 minuut is dan de kans p*q dat er een klant binnenkomt en in diezelfde minuut een klant geholpen wordt en bijvoorbeeld in 1 minuut kans (1-p)*q dat er geen klant binnenkomt maar wel een klant geholpen wordt. Je kunt nou een graaf tekenen met verschillende knopen met iedere knoop kansen p1, ..., p-i dat of je gaat naar een andere knoop of je komt bij dezelfde knoop weer uit met de totaal p-i  =1  . Een knoop is transient als je er naar een bepaalde andere knoop kunt komen en dan niet meer terug kunt komen anders recurrent. ***************
  81. UIT DE CURSUS FUNDAMENTELE STATISTIEK van het Amerikaanse MIT,via edX, 2e cursus (van de 5) van de micromaster Statistiek en Datawetenschappen. Eerst het (filosofische) verschil tussen Waarschijnlijkheid en Statistiek. Met waarschijnlijkheid is de verdeling van een populatie bekend en kun je bijvoorbeeld de kans berekenen dat een bepaalde uitkomst van een steekproef aan die populatie tussen bepaalde grenzen ligt. Met Statistiek heb je ook een populatie maar is de verdeling daarvanjuist onbekend. Als je dan bijvoorbeeld 1 steekproef van die populatie neemt kun je naar aanleiding van de uitkomst van die steekproef een schatting maken tussen welke grenzen met een bepaalde mate van zekerheid bijvoorbeeld het gemiddelde van die populatie ligt, en ook de variantie.------
  82. In de statistiek kun je naar aanleiding van Data een schatting maken van een BETROUWBAARHEIDSINTERVAL voor een parameter van een model,bijvoorbeeld van parameter p (tussen0 en 1) van een Bernoulliverdeling, naar aanleiding van bijvoorbeeld een aantal n worpen met een munt met de kans p op kop en 1-p op munt. Het blijkt dan dat de waarde van p een normale verdeling heeft, met parameter p,waarbij de standaard normale verdeling een gemiddelde mu= 0 heeft en gemiddelde van de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde in het kwadraat, de variantie sigma^2=1 is. -----De kans om in n worpen met de munt (wat zogeheten onafhankelijke gebeurtenissen, onafhankelijke worpen, zijn k keer kop te gooien is p^k*(1-p)^(n-k). De pmf van de Normale verdeling is ( 1/(sigma*sqrt(2*pi)))*e^(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))...De verwachting in n worpen met een munt opkop, met kans p op kop , is n*p en de standaardafwijking, het gemiddelde van alle mogelijke afwijkingen van het gemiddelde, vermenigvuldigd met iedere kans opiedere afwijking.(binnenkort meer)
  83. Een andere zaak waar de statistiek zich mee bezighoudt is van iets in de natuur, een parameter van een model ervan,een testopzetten, met een H-0  nulhypothese en zijn alternatieve hypothese H-1 die de H-0 hypothesevolledig uitsluit. Na testen (steekproeven met name) kan de nulhypothese verworpen worden, of juist niet verworpen. Hypothesen worden in de statistiek nooit aangenomen.
  84. Je hebt de TV, (..... Variatie), KL en Maxinum Likelihood en Maximum Likelihood schatters. (een schatter iseen functie van mogelijke uitkomsten van een test, een steekproef, aan een random variabele, bijvoorbeeld de som van een aantal uitkomsten van een zelde proef, gedeeld door het aantal uitkomsten, dat is het gemiddelde.(binnenkort meer)
  85. Je hebt ook de Poisson verdeling. Pmf is lambda*e^(-lambda*x)  ., hierbij is de kans op een uitkomst tussen 0 en x de integraal van 0 tot x van deze pmf. Bijvoorbeeld wat betreft de levensduur van gloeilampenen het aantal nog te branden uren isis gemiddeld onafhankelijk van dat de lamp al gebrand heeft.
  86. De uniforme verdeling. De kans dat een uitkomst is tussen a en b is over dat gehele interval even groot, overal elders 0. De kans op een uitkomst tussen a en a+(b-a)/2 is dan 1/2 , de kans op van 2 uitkomsten beide kleiner dan a + (b-a)/2 is 0,25 en de kans is 0,75 dat het maximum van twee uitkomsten tussen a+(b-a)/2 en b ligt is 0,75.
  87. Uit de cursus Fundamenten van Statistiek, 2e cursus (van de 5) van de Micromaster Statistiek en Datawetenschap van het Amerikaanse MIT (via edX, zie op www.edx.org ) : De zogeheten KL-DIVERGENTIE (ook bekend als de RELATIEVE ENTROPIE), zie hierover op de pagina Onderwerpen Natuurkunde van deze website, naar beneden, in item-143.
  88. Uit de 2e (van de 5) cursus van de Micromaster Statistieken Datawetenschap  van het Amerikaanse MIT : Fundamenten van Statistiek, binnenkort meer over Toetsen en Testen,over significantie, bijvoorbeeld van de breedte van een getallen-interval, waarbinnen de uitkomst van een toets, of van (het  gemiddelde van uitkomsten van  diverse) toetsen, bijvoorbeeld gegevens van laboratorium experimenten, of uit de natuur,bijvoorbeeld van het weer of de sterrenkunde of medische gegevens kan dan als die (random) uitkomst daarbinnen ligt, een signifcanrie van bijvoorbeeld 90 , of 95,of 97,5 of 99 procent worden bepaald (voor verwepen of juist niet verwerpen van een hypothese , null hypothese H-0 ten gunste van de alternatieve hypothese H-1 bij H-0.Nogmaals komt hier over diverse VERDELINGEN: Binominale verdeling, Uniforme Verdeling, Poisson en Exponentiele verdeling, Gauss of ook wel (standaard-) Normale Verdeling. Alsmede komt hier binnenkort over verscillende soorten toetsen T-n verdeling met t-n Student toetsen, met n zogeheten vrijheidsgraden en CHi-kwadraat-n toetsen met n vrijheidsgraden en ook Wald-toetsen. Verder over Bayesed en  niet Bayesed,bijvoorbeeldfreqentie Statistiek.Bayesed Statistiek met eerst zogeheten prior benadering en later eventueel met posterior benadering 
  89.  BAYESIAN STATISTIEK. Het doel van deze unit is de belangrijkste concepten van Bayesian Statistiek. Bayesean Statistiek is het meest effectief wanneer experts een heleboel PRIOR-kennis hebben over een particulier fenomeen. De PRIOR kennis kan komen van experimenten. Bijvoorbeeld, in de medische wetenschappen, kunnen wij een sterke PRIOR-kennis hebben over een herhaaldelijk voorkomende ziekte als griep. Ook kan het komen van de universele wetten van de Natuurkunde, bijvoorbeeld , om het bestaan van deeltjes in hoge-energie Natuurkunde, zoals die onderzocht is (in het MIT), in hoge-energie deeltjes versnellers. Het  was actueel Bayesean Statistiek dat het bestaan van het Higgs Boson ( zie ook hierover op de pagina Onderwerpen Natuurkunde) van deze website in de -Large Hadron Colider (LHC) in Geneve , Zwitserland, in 2013. Aan het eind van deze unit, zul je vertrouwd zijn met de belangrijkste concepten van Bayesean interferentie, PRIOR en POSTERIOR VERDELINGEN en BAYESEAN SCHATTERS (ESTIMATORS).In het bijzonder wijzen we op sommige  similariteiten en verschillen met de methodes die we al gezien hebben. Zoals de MAXIMUM LIKELIHOOD-methode Schatting (ESTIMATION) :-------------OBJECTIVITEITEN :---(BAYESEAN STATISTIEK-I :)--- Beschrijf de Bayesean benadering in Statistische beslissing-maken.----- Verklaar het Mechanismes van de Bayesean benadering, in het bijzonder van de PRIOR en POSTERIOR aannames.-----Begrijp de rol en significantir van de PRIOR verdeling in een BAYESIAN-setup. ---------Identificeer de Beta-verdeling (distribution) en zijn rol in Bayesean Statistiek als een PRIOR verdeling op een een-dimensionale parameter.
  90. INLEIDING TOT HET BAYESEN KADER:---- (basis-voorbeeld van de Bayesean benadering, de PRIOR verdeling, opnieuw : voorwaardelijke waarschijnlijkheid (likelihood) en de Bayes-regel,. opstarten en opnieuw : proportionaliteit, De formule van Bayes met beta-verdeling, uitgewerkt voorbeeld, deel I en II.----------VROEGERE MENSEN waren  Bayesean of anti-Bayesean, tegenwoordig Bayesean of niet-Bayesean. U moet (met al die gekke testen) komen met een PRIOR en dan moet u uw Likelihood schrijven en u moet een POSTERIOR hebben.----Wanneer wij deze Statistiek deden, hebben we discrete en we hebben continue objecten. Wij hebben sommige verschillende aspecten van verschillende perspectieven als Bayesean statistieken. Oke,  de dingen die we gedaan hebben zijn niet de Bayesean benadering, het wordt de Frequentist benadering genoemd. En waarom Frequenties er zijn, omdat  wij denken in termen van Frequentie, van herhaling van het experiment. Alle statistieken die we hebben gemaakt, zijn gebaseerd op dit idee dat we potentieel exact hetzelfde experiment kunnen herhalen. EN DIT IS EXACT DEZELFDE INTREPETATIE DIE WE GAVEN AAN ONZE CONFIDENCE INTERVALS. Toen wij de Confidence Intervallen de interpretatie gaven, was het frequentste perspectief. als je dit experiment ging herhalen. In experimenten, zul je een Confidentie interval, met een zeker percentage van die intervallen asymptotisch de parameter bevat. Het idee, dat we oneindig hetzelfde experiment kunnen herhalen  met het zelfde aantal gegevens (DATA). Bayesean ding is : Wat betekent het om bijvoorbeeld een 95-procent interval te hebben, als ik dit maar een keer kan doen? En Bayesean Statistiek komt veel aan de orde : bijvoorbeeld : De ontdekking van het Higgs-Boson in 2013. Deze zaken, wanneer er maar een ding is dat jij kan doen, en het is niet om dingen in frequentie (is vaak) te doen. En in het bijzonder, wat Baesean ons toestaat te doen: het brengen van een heleboel PRIOR informatie over wat het resultaat zou kunnen zijn. Zo is de hoofdzaak van Baesean Statistiek :Wanneer jij frequent analyse doet, alles is wat jij hebt te  doen om hiermee met een MODEL te komen, is dat je je fossiele methode oppakt en dat je alles kan doen. Al het andere was WISKUNDE en """"we hadden geen vrije wil??"""""-daar. Voor Baesean is het extra ding dat je moet doen, de PRIOR distributie (verdeling) heet. HET IS WAT JE PRIOR AANNEEMT OVER WAT DE PARAMETERS ACTUEEL ZOUDEN ZIJN. WANNEER JE EENS JE PRIOR HEBT,  GA JE PROBEREN HET TE UPDATEN NADAT JE DE DATA IN EEN POSTERIORE AANNAME ZIET. ALS JE DENKT : 0 PROCENT VAN DE STELLEN IN EEN ZOGEHETEN KUS-EXPERIMENT (dat is :.als een stel verliefden elkaar kust, kan het -of naar de linkerkant, -of naar de rechterkant) , draaien ze hun hoofden naar links en dan verzamel je een uitkomsten en je ziet, dat iedereen hun hoofd naar rechts draait, misschien zou je dan je PRIOR aanname moeten opwaarderen ( 'updaten")  , gebaseerd op de data die je ziet. Zo is dit actueel gebaseerd op Bayes formule. OK : Bayes Formule is juist vertellend aan jou, de waarschijnlijkheid van A, gegeven  B als functie van de waarschijnlijkheid van B gegeven A. Het is twee gelijkheid-dingen. Hoe moet je PRIORS oppakken, wat voor soort PRIORS deze zijn, zo is er de impropere PRIORS. Zo zijn deze de favoriten. Wat is mijn PRIOR aanname, op wat de parameter van een exponentiele distributie (verdeling) is ? Het is misschien een soort hiervan, maar nooit wiskundig goed-geformuleerd dat, ik actueel in de BAyesean kan zettten,  Zo geef de voorkeur aan "IMPROPER"   PRIORS of niet-informatieve PRIORS. Dat zijn PRIORS die toestaan de "Bayesean Machinery" zonder actueel een PRIOR aanname te hebben. En dan : wanneer wij actueel deze Bayesean benadering gebruiken, hoe doen we Schatting (Estimation) ? Wij hebben verschillende keuzes, bijvoorbeeld de theta-hat, en we gaan actueel een hele Waarschijnlijkheids verdeling, uit-"spitten" , zeg een PDF. En dan, wanneer wew misschien een aantal van daar moeten extracten.Zo soms nemen wij het gemiddelde en soms het maximum. Dit is ook zo een keuze. We praten snel over : Bayesean vertrouwen-regio, dat is een soort alternatief voor vertrouwens intervallen, die niet frequentiesr interpretatie vereisen. Je zult zien : zo komt de waarschijnlijkheids- (likelihood-) functie komt wanneer we spreken over Bayesean BAYESEAN STATISTIEK.  Wij zullen eenstatistisch model, en er zal een waarschijnlijkheid zijn (Likelihood) en wanneer wij een waarschijnlijkheid (Likelihood) als frequentists hebben,namen wij juist de Maximum Likelihood Estimator.LME.En hier is hetzelfde ding : zonder het gaat zeggen, wel eens heb je waarschijnlijkheid (Likelihood) ,zijn misschien nietalle theta's hetzelfde omdat ik een Prior aanname heb. Dus je zou dit als basis gewogen Waarschijnlijkheid (Likelihood) moeten beschouwen, waar het gewicht wordt gegeven door onze PRIOR aanname vanwat gegevens (DATA) zouden zijn. Dat is alles. Zo beginnen wij met een Statistisch Model, zoals eerder, en we hebben nou extra igredienten nodig, dus beginnen wij met een Statitisch Model. E.P. zo gaan wij door de frequentist benadering; Dan nemen we aan dat de gegevens (DATA)getekend waren iid van p-theta-ster voor sommige vastgestelde theta-ster. Er was een echte theta-ster, die opogepakt gaan worden om hetSAMPLE dat we hadden. Zo was er een vastetheta-ster. Nou is het belangrijk : begin dit te bevragen, omdat dit niet iets is, dat we misschien vroeger bevraagd hadden, wat zou het betekenen,om niet een vaste theta-sterte hebben. en dan wanneer we de MLE (Maximum Likelihood Estimator (schatter)) gebruiken,keken we naar alle mogelijke theta's. Er was geen theta meer waarschijnlijker dan andere, het was geheel eerlijk spel voor alle andere,geheel eerlijkspel voor alle theta's om de maximum lijkelihood estimator (schatter) te worden. Het was gebaseerd op de waarschijnlijkheid (Likelihood) , nietsanders. Voordat we de DATA zien, gaven wij niet de voorkeur aan geen enkele theta boven iedere andere. -----------------Theta was de gehele positieve reele lijn, zonder de DATA te zien. Het had ieder getal kunnen zijn op de reele positieve lijn.  Nou doen we de Bayesean benadering :probeer het feit te gebruiken dat we misschien enige PRIOR aanname hebben, wat theta-* is. Dit is gemeenschappelijke terminologie : PRIOR en POSTERIOR in Baesean Statistiek. Wij hebben deze PRIOR aanname, bijvoorbeeld in het "Kus-voorbeeld"  ( als een paar van 2 personen, een jongen en een meisje in principe,  draaien zij met hun hoofd, of naar links, of naar rechts) ..Misschien wil ik hier denken dat p actueel niet echt dichtbij 1/2. Nou kan ik niet zeggen : de PRIOR aanname is exact 1/2 , omdat in mijn voorbeeld , meen ik , nauwelijks 0 procent  van de paren draait hun hoofd naar rechts. wat de hoeveelheid DATA ook is : het is nooit mogelijk naar dit te bewegen. Maar wij zeggen : het is zeer waarschijnlijk dichtbij 1/2 , en wanneer wij weg bewegenvan 1/2 , is het minder en minder waarschijnlijk deze particuliere p te hebben. DAN ZAL DIT GEUPDATED (opgewaardeerd)WORDEN DOOR HET ZIEN VAN DATA  (gegevens). ZO DOOR TE GEBRUIK TE MAKEN VAN DE DATA (gegevens). WILLEN WE DIE AANNAME UPDATEN (opwaarderen) EN OMZETTEN IN EEN POSTERIOR AANNAME.**********
  91. (binnenkort meer)