in het jaar 1900 was in Parijs de tweede 4-jaarlijkse internationale wiskunde conferentie.
De Duitse wiskundige David Hilbert kwam er met 23 toen onopgeloste problemen van de wiskunde.
In iedere goed boek over de geschiedenis van de wiskunde kunt u erover lezen.
(Binnenkort komt hier een inhoudsopgave van deze pagina).
In het bijzonder de oplossing van het 1e , het 2e en het 6e probleem van David Hilbert leidt, vooral ook door het werk van de Duitse wiskundige Kurt Godel, rond 1931 en later, tot vernieuwde inzichten over de wiskunde en de wiskunde-beoefening (zoals die behoort te zijn )......In 1931 verscheen van Kurt Godel het artikel :"Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme". Dit artikel bevatte vooral beschouwingen over volledigheid, beslisbaarheid en consistentie in de wiskunde. Het voornaamste resultaat hierin was dat in het geval dat een arithmetisch systeem S geen tegenstrijdigheden bevat, men deze contradictieloosheid niet kan bewijzen binnen het raam van dit systeem.
De stand van zaken met de 23 wiskundeproblemen gepresenteerd door David Hilbert in 1900, is tegenwoordig (2014), dat ongeveer de helft is opgelost en dat er voor een enkele -waaronder probleem-1- wel een oplossing is gevonden, maar dat die oplossing niet door alle wiskundigen erkend wordt en dat er van een paar van de problemen is aangetoond, dat ze niet oplosbaar zijn.
Merk op dat wiskundigen, ook tegenwoordig, het niet altijd eens zijn over bepaalde zaken in de wiskunde. Heel bijzonder , want de wiskunde is toch exact. Zo honderd jaar geleden, rond 1910, warwn er verschillen van inzicht in verband met de zogenaamde grondslagen van de wiskunde. Je had toen het logische programma van Bertrand Russell en ook het formalisme-begrip van David Hilbert en ook nog het intuitievisme van de Nederlandse wiskundige Brouwer. Heden ten dage schijne sommige -vermeende bewijzen van stellingen soms zo ingewikkeld te zijn , dat de wiskundigen het er niet over eens zijn soms of zo#n bewijs echt helemaal sluitend is. Zo wordt de vermeende oplossing van het eerste wiskunde-probleem van Hilbert niet door alle (hedendaagse) wiskundigen erkend.(later meer hierover).
Hiier komen de 23 problemen van Hilbert met de oplossingen voor zover die er zijn.
PROBLEEM 1.De vraag van de wiskundige Cantor betreffende het kardinaal -karakter van het continuum.......Wat is de betrekking tussen het continuum en de aftelbare verzameling? Kan het continuum als welgeordend worden beschouwd?OPLOSSING. Binnen de zogenaamde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer is hier geen beslissing over te nemen . Het is echter nog niet duidelijk of dit wel of toch niet de oplossing van het probleem is .OPLOSSING. Er is geen beslissing over te nemen binnen de zogenaamde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer . Het is echter nog niet duidelijk of dit wel of toch niet de oplossing van het probleem is .(later meer hierover)
PROBLEEM 2. De logische consistentie (in feite contradictieloosheid) van de arithmetische axioma's.....Zo deze bestaat, dan kan de consistentie van de meetkundige axioma's worden bewezen. OPLOSSING. Nee, dit kan niet en dit is aangetoond door Kurt Godel in 1931 met zijn onvolledigheidsstellingen. De onvolledigheidsstellingen van Godel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen , beide bewezen door Kurt Godel in 1931 . De EERSTE onvolledigheidsstelling stelt dat ieder axiomatisch wiskundig systeem dat voldoende krachtig is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen , hetzij onvolledig is (dat wil zeggen dat er ware uitspraken zijn die niet bewqezen kunnen worden ) hetzij inconsistent is (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden. (bewijs hiervan : )Ten eerste gebruikt hij een zogenaamde odelnummering . Dit is een systeem om aan elke formule in het systeem , en elke serie uitspraken in het systeem , een getal toe te kennen . Een methode hiervoor is om aan de verschillende symbolen a van het systeem elk een uniek nummer n-a toe te kennen , en de uitspraak abc.....k ( met a, b, c, .....k symbolen) vervolgens weer te geven met het getal 2-a*3-b*5-c*.....p-k (gebruik alleen de priemgetallen) .-----Vervolgens wordt deze nummering gebruikt om aan te geven dat een serie van formules een bewijs vormt van een gegeven stelling . Dat wil zeggen...(wordt vervolgd).........................De TWEEDE onvolledigheidsstelling. De formele rekenkunde kan haar eigen consistentie niet bewijzen . Dat wil zeggen de stelling niet Bew(onwaarheid) , kan niet bewezen worden binnen een gegeven consistent axiomatisch systeem . (bewijs volgt later).********N.B. U kunt beide stellingen van Godel , met hun bewijs ook vinden op internet , bijvoorbeeld door te zoeken op www.google.nl . ( 5 december 2016) Eindelijk heb ik er binnenkort de tijd voor het vervolg van de bewijzen van de eerste en de tweede stelling van Godel hier op deze pagina van deze website verder te publiceren......
PROBLEEM 3. De inhoudsgelijkheid van twee viervlakken met gelijke hoogte en gelijk grondvlak.........Kan dat zonder infinitesimaalrekening worden bewezen? Opgelost : Dat is niet mogelijk.
PROBLEEM 4. Wanneer is de rechte lijn de kortste verbinding van twee punten?........Dit komt op in zekere vormen van meetkunde, bijvoorbeeld die van Minkowski. Oplossing : dit vraagstuk is te vaag gesteld om opgelost te kunnen worden .
PROBLEEM 5. Lie's conceptie van een continue transformatiegroep zonder de voorwaarde van de differentieerbaarheid van de functies die de groep definieren.....Dit probleem kan tot functievergelijkingen voeren.---Opgelost voor bepaalde klassen van groepen , maar niet alle .
PROBLEEM 6. De wiskundige behandeling van de axioma's der natuurkunde......Van de axioma's der meetkunde kan men overgaan tot die van de rationale mechanica (als b.v. Boltzmann het in 1897 uitvoerde) en tot zulke gebieden als waarschijnlijkheidsrekening, statistische mechanica, enz. Nog niet opgelost .
PROBLEEM 7. De irrationaliteit en de transcedentie van zekere getallen, b.v. getallen van de vorm a-tot-de-macht-beta als a is niet 0 algebraisch is en beta algebraisch irrationaal, zoals 2-tot-de-macht-wortel-2 of e-tot-de-macht-pi = i-tot-de-macht-min2*i . Zijn deze getallen irrationaal of transcedentaal ? Hilbert dacht hierbij aan het werk van Hermite en Lindemann in verband met het getal pi. Opgelost : ja .
PROBLEEM 8. Vraagstukken in de leer der priemgetallen......Hier kunnen we aan Riemanns Zetafunctie denken of aan het vermoeden van Goldbach dat elk even getal op minstens een manier kan worden geschreven als de som van twee priemgetallen (brief aan Euler, 1742). Nog niet opgelost .
PROBLEEM 9. Het bewijs van de algemeenste reciprociteitswet in willekeurige getalvelden.......Dit had te doen met Hilberts eigen onderzoekingen over relatief kwadratische getalvelden. -------Opgelost voor bepaalde klassen van groepen , maar niet alle .
PROBLEEM 10. Te onderzoeken of een Diofantische vergelijking met een willekeurig aantal veranderlijke en gehele rationele coefficienten door gehele rationale getallen kan worden opgelost.......Dit was een oud probleem en van tijd tot tijd weer opgevat, onder andere in het zogenaamde grote probleem van Fermat (x-tot-de-macht-n + y-tot-de-macht-n = z-tot-de-macht-n). ----Oplossing : nee .
PROBLEEM 11. De theorie van kwadratische vormen met algebraische coefficienten........Dit had eveneens een rechtstreeks verband met Hilberts eigen werk.-------opgelost
PROBLEEM 12. De generalisatie van Kroneckers theorema over Abelse lichamen tot een willekeurig rationaliteitsgebied......Dit is een terrein waarop algebraische functies, getallentheorie en abstracte algebra elkaar ontmoeten.-------niet opgelost
PROBLEEM 13. De onmogelijkheid de algemene zevendegraadsvergelijking op te lossen met functies van slechts twee veranderlijken.......Dit was een kwestie die opgekomen was in nomografie, zoals D'Ocagne die had uiteengezet.-------opgelost .
PROBLEEM 14. Het bewijs van het eindige karakter van zekere stelsels van "relatief gehele" functies. .....Hier wordt het begrip van gehele functie algemener gemaakt tot relativganz. Dit houdt verband met theorema's over de eindigheid van stelsels van invarianten in de theorieen van Gordan en Hilbert.-----opgelost : stelling is niet waar .
PROBLEEM 15. Scherpe formulering van de aftellende meetkunde, door H. Schubert ingevoerd........Hiervoor moet een strenge algebraische basis worden gevonden.--------gedeeltelijk opgelost .
PROBLEEM 16. De topologie van algebraische krommen en oppervlakken.....Dit onderwerp is nog weinig ontwikkeld, al weten we al enkele eigenschappen, speciaal van krommen.---------niet opgelost .
PROBLEEM 17. De voorstelling van definiete functies (functies die voor reele waarden van de veranderlijken nooit negatief zijn) door sommen van kwadraten van rationale functies met reele coefficienten.........Dit was in een speciaal geval door Hilbert zelf gedaan.---------opgelost .
PROBLEEM 18. De ruimtevulling door congruente veelvlakken........Dit is een probleem in groepentheorie en kristallografie, geinspireerd door het werk van E.S. von Fedorov en A. Schoenfliesz.---------opgelost .
PROBLEEM 19. Zijn de oplossingen van reguliere variatieproblemen van de vorm delta-J = || F (x,y,z,p,q)dxdy altijd analytisch, als F analytisch is?.........Hilbert merkt op dat ieder oppervlak van constante positieve kromming analytisch moet zijn, doch dit is niet het geval voor oppervlakken van constante negatieve kromming.-------opgelost .
PROBLEEM 20. Het algemene randwaardeprobleem, in het bijzonder het bewijs van de existentie van oplossingen van partiele differentiaalvergelijkingen met gegeven randwaarden, en generalisaties van reguliere variatieproblemen.-------opgelost .
PROBLEEM 21. Het onderzoek naar lineaire differentiaalvergelijkingen met voorgeschreven monodromiegroep.......Dit gaat reeds op Riemann terug.---------opgelost : er bestaan specefieke gevallen die oplosbaar zijn , maar een algemene oplossing kan niet bestaan .
PROBLEEM 22. De uniformisering van analytische betrekkingen door automorfe functies........Dit gaat in principe op Poincare terug.--------opgelost .
PROBLEEM 23. Uitbreiding van de methoden der variatierekening...............Hilbert voegde deze laatste opgave, die meer een soort oproep is, aan de andere toe omdat, ondanks de bijdragen van Weierstrass en zijn school de variatierekening nog steeds een wijd open veld was, en dat onderzoekingen hier bevruchtend op verscheidene andere gebieden van wiskunde en mechanica (bijvoorbeeld het drielichamenprobleem) konden werken.-----------dit probleem is te vaag .
(later meer)